第6章 最优控制的基本理论及应用

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第6章最优控制的基本理论及应用

6.1引言

6.2最优控制问题的提出及数学描述

6・3变分法

6・4极小值原理

6・5动态规戈ll法

6.6二次型最优调节器

6.7最小时间控制

6.8应用MATLAB解二次型最优控制问题

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6.1引言

最优控制理论是现代控制理论的核心。

从数学的观点看,最优控制研究的问题是求解一

类带有约束条件的泛函极值问题,本质上是一个变分

学问题。变分法是数学的一个古老的分支,起源于17

世纪。经典变分理论只能解决控制无约束即容许控制

属于开集的一类最优控制问题,但实际上遇到更多的

却是容许控制为闭集的一类最优控制问题。

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针对经典变分法的局限性,美国学者贝尔曼在

1953〜1957年间创立了“动态规划”，发展了变分学

中的哈密顿-雅可比理论,解决了控制有闭集约束的

变分问题；而前苏联学者庞特里亚金等则在1956〜

1958年间创立了极小值原理，也发展了经典变分原

理,成为处理控制有闭集约束的变分问题的强有力工

具。

八本章在介绍解决最优控制问题3种基本方法（变分

法、极小值原理和动态规划）的基础上，阐述两类典

型最优反馈系统的设计，即线性二次型最优控制和最

小时间控制。

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6.2最优控制问题的提出及数学描述

6.2.1最优控制问题实例

1.最速升降问题

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设有一物体M,作垂直升降

运动，如图6T所示，这里M

可以理解为一架直升飞机或

矿井中的升降机。假定在M

内部装有一个控制器，它可

以产生一个作用力〃⑺，从

而控制物体M的上下运动，

由于作用力的大小有限，所

以应满足不等式,")|工友，图6-1最速升降问题示意图

其中人是常数。设已知四在:/

时，离地面的高度为x«o),垂直运动的速度为交4),

问题是寻找作用力"(力的变化规律，使Af最快到达

地面，并使其到达地面时的速度为零。

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令物体M的质量为加，用x⑺表示"离地面的高度,

其方向规定为地面上x⑺为正，在地面下x⑺为负。作

用力”⑺是向上为正，向下为负，则物体M的运动方程

为

9

dx(Z)

........-=a3-mg

dt

式中,加g为物体所受重力,g为重力加速度。

_dY__

令"iQ)="Q)表示物体的高度，⑺=一表示

物体的升降速度，则上式可写成状态方程

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x｝。)=x2Q)

x2(t)=u(J)—mg

其初始条件是/。0)=/0，工2。0)=X20。现需寻找

一个能使物体以最短时间从初态(乙。.2。)到达终态

(0,0)的控制〃⑺。定义系统的性能指标为

J~=tf-"。

式中，％。为起始时刻，G为终止时刻。要求时间最短,

即使性能指标/最小，这样求得的控制即为最优控制

“*⑺。

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2.搅拌槽问题

设有一盛放液体的连续

搅拌槽，如图6-2所示。槽内

装有不停转动着的搅拌器S,

使液体经常处于完全混合状

态，槽中原放。七的液体。

现需将其温度升高，为此在

入口处送进一定量的液体，

其温度为〃（力，出口处流出图6-2搅拌槽问题示意图

等量的液体，以保持槽内液

面恒定。试寻找"（方）的变化规律，使槽中液体温度

经1小时后上升到40℃,并要求散失的热量最小。

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因假定槽中液体处于完全混合状态，故可用X⑺

表示其温度。由热力学知，槽中液体温度的变化率与

温差［"0—XQ)］成正比，为简便计算，令比例系数为1,

于是有

dx(/)

----="Q)—x(t)x(0)=0

dt--------------------'

在1小时内散失的热量为

/9o

JQ)=fYqx(Z)+ru(Z)］d/

式中,都是正的常数，%=。，G=1O因此该最优控

制问题是：寻找〃⑺的变化规律，使槽中液体经1小时

后从0。。上升到40。5并要求散失的热量最小，即/(〃)

取最小值。

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6.2.2最优控制问题的数学描述

综观以上实例，构成最优控制问题必须具备以下

几个基本条件：

1.被控系统的数学模型，即动态系统的状态方程

状态方程在最优控制中为等式约束条件。

2.控制变量的约束条件（容许控制）

任何实际物理系统，控制变量总是受约束的，一

般可写成

u（t）^u（6-3）

式中，。表示一个封闭的点集合，称为控制域。此时称

"⑺为容许控制。

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3.状态方程的边界条件（初始状态和终值状态）

在最优控制问题中，"L时的初态通常是已知的，

即

X«O）=Xo（6-4）

而终值状态可以是状态空间中一个确定的点，也可以

是状态空间中某一个点集（目标集）中的任一点。到

达终端的时间」和终值状态X。/因问题而异。就终端

时间前来说，它可以是固定的，也可以是变动的或自

由的。最通常的终值边界条件是

x(tf.)=xf.(6-5)

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但有时并不这样简单，如用导弹攻击运动的目标,

终值是可能运动轨迹上的一个点，此时终值状态是受

运动轨迹约束的，一般地约束可表示为

g.(xrtf)=O,i=l,2…，/(Z<n)(6-6)

4.性能指标，也称性能泛函或目标函数

性能指标是衡量系统在任一容许控制作用下性能

好坏的尺度,在最优控制中其代替了传统的设计指标

（如超调、调节时间、幅值裕度和相角裕度等）。

1)积分型性能泛函

J=广L(x(t),u(t),t)At(6-7)

J"o

2)终值型性能泛函

J=(6-8)

3)复合型性能泛函

—

J=①[xQ/)"/]+『7L[xQ),M(Z),Z]d/(69)

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最优控制问题，就是从可供选择的容许控制集

。中，寻求一个控制向量"（方），使被控系统在时间

域瓦4］内，从初态转移到终态x（tf）或目标集

Wtf）eCf时，性能泛函/取最小（大）值。

6.3.2亦A

633

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6.3.1变分法的基本概念

1.泛函

泛函是函数概念的一种扩充。如果对于某一类函

数集合相⑺｝中的每一个函数、（方），因变量J都有一个

确定的值与之对应，则称因变量，为这个宗量函数X⑺

的泛函数，简称泛函，记作」=小（勿。可见,若一个

因变量的宗量不是独立自变量,而是另一些独立自变

量的函数，该因变量则为这个宗量函数的泛函，因此

泛函可理解为“函数的函数”，其值由宗量函数的选

取而定。

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与多元函数的宗量（自变量）多于一个相类似，

多元泛函的宗量函数则多于一个,这些宗量函数可以

表示为一个向量。例如，在控制系统中，〃维状态向

量X⑺为时间，的函数,若取如下形式的积分型性能指

标

J=广L\^x(t)x(t),Z]dZ

“()f(6-11)

则/的数值取决于〃维向量函数工⑺，故式（6-n）为

（多元）泛函。

2.泛函的连续与线性泛函

(1)若对任给的£＞。，存在3＞。，使得当

卜一45时，就有

«7[%(0]-J[x*(0]＜£(6-12)

则称泛函在函数X*Q)处是连续的。

(2)连续泛函人灯若满足以下条件

J\kx\—kJ\x\(6-13)

4均+X/=(6-14)

则称JE是线性泛函。式中左是实数,乙，为为函数空间

中的函数。

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3.泛函的变分

宗量函数变分的定义设为连续泛函，则

宗量函数x⑺的变分为属于同一函数类中两个函数

X⑺，“。0)之差，即

<5x(r)=xQ)-%Q)(6-17)

泛函变分的定义设J[xQ)]为〃维线性赋范空

间R"上的连续泛函，若其增量可表示为

A7[x]=J[x(t)+3xQ)]-(6—]8)

=3x(jy\+SxQty]

式中,以⑺为宗量函数X⑺的变分，区(次是以⑺

的线性连续泛函,。[xQ),取⑺]是关于&Q)的高阶无穷

小,则定义泛函增量的线性主部

3J=乙[x(t),<5"«)](6-19)

为泛函J[xQ)]的变分，记作“o若泛函有变分，则

称该泛函可微。

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与函数的微分等于函数的导数与自变量的微分之

乘积相对应，泛函变分也可利用求导的方法来计算,即

a/J

3J=--(J[x(，)+£<ivQ)])o<£<i(6-20)

de2=0

【例6-1】求泛函J=J'%2⑺d.的变分，其中，工⑺

为标量函数。

解由式(6-20)得

d,、td2

——(y[x(0+g&Q)])—[x(0+g&Q)]2dt\1

8J=VZ7——[%«)+£&(，)]

口c00

de£1=0de£*=0

=/，2[x(?)+£&(，)]&(，)dt=「/2jr(Z)<Sx(?)d?

"oe=0zo

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4.泛函的极值与泛函极值的必要条件

如果泛函在任何一条与X*⑺接近的曲线上

所取的值不小于,即

A7=J[xQ)-J[x*(Z)]>0(6-21)

则称泛函4xQ)］在曲线“*Q)上达到极小值。反之,

若

A7=-J[x*(/)]<0(6-22)

则称泛函J［x(z)］在曲线X*⑺上达到极大值。

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定理6-1（泛函极值定理）若可微泛函4x（列在

工=%*«）上达至口极值,贝1JJ[xQ）]在x=x*Q）上的变

分等于零，即

6J=0（6-23）

定理6-1表明，泛函一次变分为零,是泛函达到极

值的必要条件。

综上可见,变分在泛函研究中的作用，相当于微

分在函数研究中的作用。事实上，求泛函极大（小）值

问题称为变分问题,求泛函极值的方法称为变分法

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6.3.2用变分法求解无约束条件的泛函极值问题

设积分型性能泛函为

J=「/L^x(t)x(t)t^t(6-24)

%ff

在区间上0，。］上，被积函数4xQ),工Q"二次连续可微，

轨线工⑺有连续的二阶导数，双…",对工⑺没有任何

约束。要求确定极值轨迹x*Q),使泛函/为极值。

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1.始端时刻和终端时刻固定时的泛函极值问题

首先讨论不仅初始时刻L、终端时刻）固定，而

且初始状态x（t°）=~、终端状态必斗）=壬固定这一最

简单情况下无约束条件的泛函极值向题（营优控制的

基本问题）。

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定理6-2设初始时刻L和初始状态x(t0)=x。

固定，且终端时刻的和终端状态xQf)=z固定，贝I]

使性能泛函式(6-24)取极值的必要条件是：x⑺

为二阶微分方程

手-"(欧拉方程)(6-25)

OXCitox

Ttf

(dL、

J取=°(横截条件)(6-26)

，0

的解。其中在区间及上，"x«)，工Q"二次连续可微，

了⑺有连续的二阶导数，xQ)e7T,对工⑺没有任何约

束。

证明设X*(t)是使两极小值J*的最佳轨迹曲线,

现在X*(t)邻近作一^微小摄动,并令

xQ)=x*Q)+卬Q)(6-27)

式中房是一个很小的参数，为任意选定的连续可微〃

维向量函数且满足

，("o)=，Q/)=〃(6-28)

将x(t)=%*«)+£〃(t)和=，*«)+切Q)代入式

(6-24)可得

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tdJc

J(£)=J，L[x(z)+刁Q),x(Z)+丽Q)"]d才

取泛函增量

A7(&)=J(&)—J(0)=j/Z[xQ)+切Q),\Q)+切Q),4d,—j/N[xQt),x(/),Qdt

将上式在2=0的邻域内展开成泰勒(Taylor)

级数，则

t「dL,~\

所(%)+夫

23=%!二切⑺+|dz(6-29)

dxyJ

式中，夫表示泰勒（Taylor）级数展开式中的高阶项。

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如果定义X⑺和Wt)的一阶变分为

dx=£"Q),dx=£力3(6-30)

由泛函变分的定义，泛函的一阶变分为

T

(dL\(6-31)

3x+----Sx|d.

^dxy

对上式积分中第二项作分部积分后可得

T

t(3LdazV

6J=\f——Sxdt+----Sx(6-32)

%(Sxdtdx)

由定理6-1，泛函取极值的必要条件为其一次变分

为零,故令＜v=o,并考虑到式(6-32)中必是任意的,

即可证得定理6-2的结论式(6-25)和式(6-26)。

在to、0、x(t0)=、x«f)=Xf均固定的情况

下，有)=〃和…)=。，这时定理6-2中的横截条件

式(6-26)退化为已知的两点边界值*3)=%和x«f)=壬,

即求解欧拉方程的边界条件为x(t0)=X。，x«f)=壬。

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在讨论固定端点问题的基础上，讨论自由端点问

题。若小」均固定但有一个端点[x(t0)或xQf)]

或两个端点自由时，没有约束条件的泛函式(6-24)

极值仍应满足式(6-25)所示的欧拉方程及式(6-26)

所示的横截条件,求解欧拉方程所欠缺的边界条件则

应由横截条件补足。例如，若小小x(t0)=x。均固

定，终端x(")自由，这时有3x(10)=0)彳)力0，则

由横截条件式(6-26)有

叱=0(6-35)

"t=tf

式(6-35)和已知的始点边界值~合起来构成该

情况下的边界条件。

【例6-2】设泛函为

7T

一22

J=]*/(文I+x2+2x1x2)dt

边界条件为项(0)=x2(0)=0，x1(一)=x2(—)=1,

求/为极值时的曲线x*Q)。

解本例泛函为二元泛函，即“=卜与『，被积函数

为

22

L—xx+x2+2X}X2

「"1「"1厂.「厂1

IJllJ”T2x2naL1^1「2兄]色匹

2X

SxIILIJ派II\_2X2\dxdt[_2X2J|_2戈2_

1_"2」[质2」

dLddL

代入欧拉方程..------=0

dxdtdx

「2与1「2%~|_「01

得_2xJ[2又2」—[。_

展开并联立方程组为

o

X1--

X-x2

xlO

2-

其通解为

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/、t一t.

Xj{t}=cxe+%e+c3sint+oncost

f-z

x2(Z)==c}e+c2e—c3sint—c4cost

代入已知的两点边界值，求出

111

/，C2=­/，CC。

q―产-产2sh5小〜2sh5m34

*sh/

故极值曲线为X]Q)=%2Q)=/

sh(7r/2)

2.终端时刻未给定的泛函极值问题（可变端点问题）

若始端时刻前给定，始端状态x（t。）固定或沿规定

的边界曲线移动，而终端时刻」自由，终端状态x（tf）

自由或沿规定的边界曲线移动，则这类最优控制问题

称之为未给定终端时刻的泛函极值问题。

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定理6-3设轨线x⑺从固定始端工3)=%到达给

定终端曲线”f)=C(tf)上，使性能泛函

J=jz>(xQ),文«),，)力彳(6~36)

取极值的必要条件是：轨迹满足下列方程

匹—色2=0(欧拉方程)(6-37)

dxdtdx

G+[C(t)-土Q)]—1=0(终端横截条件)(6-38)

I"Jt=tf

式中,x(。应具有连续的二阶导数，£至少应二次连续可

微，。⑺应具有连续的一阶导数。

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关于定理6-3的说明:

(1)定理6-3适用于始端时刻t。、始端状态x(t°)=%

给定,终端时刻tf自由但终态应落在端点约束

x(tf)

曲线。⑺上(即终端约束方程为xQQ=CQ/))的情况，

这时仅已知始点％(%)=%，而终点未知，因止匕,求解欧

拉方程所欠缺的边界条件应由终端横截条件式(6-38)

补足。式(6-38)确立了在终端处右⑺和及Q)之间的

关系，并影响着x*(t)和终端约束曲线。⑺在9时刻

的交点。

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（2）可将定理6-3对x⑺是标量函数时所得到的公式

推广到x⑺、。⑺是〃维向量函数的情况，即可得向量形

式的泛函极值必要条件

匹—色匹=〃（欧拉方程）（6-39）

dxdtdx

L+[c（t）-x{ty]T—i=o（终端横截条件）（6-40）

6.3.3有约束条件的泛函极值问题

求泛函在等式约束下的极值，称为条件泛函极

值问题。应用拉格朗日乘子法，可将这类条件泛函极

值问题转化为无约束条件的泛函极值问题。

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最优控制问题中的性能泛函为

J=①[xQ/）工尸]+j[〃xQ）,（6-41）

JJ"%

式中,泛函」所依赖的宗量函数”⑺、〃⑺受被控系统的

状态方程约束，即

£。）=/[%。）,〃（。订（6-42）

工I中9xwR"，"三R',/[*（，）,“（，）,，]（，）、〃（%）才口t

的〃维连续向量函数。最优控制问题是寻求最优控制

，⑴及最优状态轨迹-⑴，使系统式（6-42）从初始状

态xQ0）=x0转移到终端状态”（不），并使/取极值。

若初始时刻，。及始端状态x«o）=Xo给定，按照

终端状态边界条件，讨论以下几种情况。

■给定，终端xQ/）自由

■G给定，终端xQQ约束

■自由，终端xQ/）约束

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1.1尸给定，终端x(%/)自由

将状态方程式(6-42)写成约束方程形式

/[xQ),w(/)9Z]-x(t)=0(6-43)

仿照求函数条件极值的拉格朗日乘子法，将等式约束

式(6-43)和原有的指标泛函结合成增广泛函

J'=中[x(0)""+£'{L[xQ),〃Q)"]+：7(，){/[XQ),x(t)}}dt

/J"o

(6-44)

式中,：(t)w”，为待定拉格朗日乘子向量函数。显然，

不论:⑴取何种函数，只要工⑺、〃⑺满足等式约束(6-

43),即满足系统的状态方程式(6-42),则/与/总是等价

的。

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定义标量函数

T(6-45)

/Z[x,W,=Z[AT,U„t\-\-X/[x,

为哈密顿(Hamilton)函数，则增广泛函式(6-44)可

写为

J=①[xQ/),品]十f/z{7/[x(Z),o(Z),2(Z),t2—Ar«)，")}(1%(6-46)

对式(4-46)右边最后一项进行分部积分，即

『一人也=『,「Xd,_:丁X'/(6-47)

%%?0

故增广泛函式(6-44)可写为

J'=/),，/]一2/(才)x(才)+j[{//[x(Z),«(/),2Q)"]+)7«)x(才)}d/

(6-48)

设xO),〃⑺相对于最优值x*Q),〃*«)的变分分

别为必和(5〃,且注意到xQo)="0，则以(，0)=。，故式

(6-48)所示/的一阶变分为

丁T,「dHdH丁.

"=(------)区(乙)一：区Q/)+「(——)T取+(——)堤+：T取dz

&rQ/.)Z°dxdu_

(6-49)

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令犷=0，因为以、以巴)及前任意，则得增广泛

函/取极值的必要条件，再由约束方程式(6-43)及定义

的哈密顿函数式(6-45),得在t0及始端状态xQo)=X。给

定、弓给定、终端xQ/)自由情况下，满足状态方程式

(6-42(的泛函式(6-41)取极值的必要条件为同时满足

X—---=f(X,U,(状态方程)(6-50)

S2

dH(协态方程)(6-51)

dx

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dH（控制方程）(6-52)

------=0

du

S①（横截条件）(6-53)

：(tf)=

dx(tf)

)=X。（始端边界条件）(6-54)

式（6-50）、式（6-51）和式（6-52）相当于前面的欧拉方程,

式（6-53）为横截条件。式（6-50）为系统状态方程，其与式（6-

51）的右端均为哈密顿函数的适当偏导数,故式（6-50）和式

（6-51）合称为哈密顿正则方程，简称为正则方程。式（6-51）

则称为伴随方程或协态方程，相应的拉格朗日乘子向量幺又

称为伴随向量或协态向量。式（6-52）表明，最优控制"*«）使

哈密顿函数取驻值，故式（6-52）称为控制方程。

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2.，/给定，终端x(G)约束

设终端状态应满足如下目标集等式约束条件

2V[x(G),品.]=°(6-55)

式中,.£巾，即终端状态x(i)沿规定的边界曲线移

动。现在存在状态方程约束式(6-43)和终端边界约束

式(6-55)这两种类型的等式约束,为此除了引入待定的

〃维拉格朗日乘子向量函数：⑴，再引入一个待定的乘

子向量分，且加R“，构造增广泛函

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J'=中[x(G),0]+tfN.f)"/]+J,«(/),/]+A7M(O,d-£«)}}dz

=①[x«/),o]+B'N'x*»tf]+£：(a(x«),w(r),-乃⑺士⑺拉

=①[x(G),弓]+"7V[x(")"/]—/Q/)x«/)+JTa)xQ°)+J；(H(x()«(/),2(r),Z)+乃《)xQ)拉

(6~56)

式中，哈密顿函数R[x,〃,入口仍由式(6-45淀义。

同样，设工⑺，〃⑺相对于最优值x*«),"*Q)的变

分分别为必和3"，且注意到〃Qo)=。,故式(6-56)所

示了的一阶变分为

T、

s0dNT।t(OHQH丁

6J'=--+-------------fi~7。/.)取Q/.)++ASx+(-----)3uxi/

皿的)Sx(J)J°ISx)du

(6-57)

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令犷=0，并由式(6-42)、式(6-55)及式(6-45),得

当“0及始端状态x«o)=*0给定、才/给定、终端状态

xQf)受目标集等式约束式(6-55)情况下，满足状态方程

式(6-42)的泛函式(6-41)取极值的必要条件为同时满足

dH

正则方程.更x=-----=(6-58)

dx52

dH

控制方程------=0(6-59)

du

边界条件与横截条件

xQo)=Xo，7V[x(i)"/]=0(6-60)

S①[xQ/),Z/]dNT[AT(Z/]

=--------+------——P(6-61)

dx(t)dx^t.)

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3.自由，终端x(G约束

在这一类问题中，终端时刻，/为待求的变量，且终

端状态又受式(6-55)所示的目标集等式约束。显然，终

端时刻G自由时所讨论的问题,除了)自由之外，其余

与终端时刻给定时所讨论的内容相同。

和弓给定时终端状态受约束的最优控制问题一样,

引入待定的拉格朗日乘子向量:⑴右内和"尺"构造

增广泛函(参见式(6-56))

「=①[X。/),G)"/]T7(弓)x(G)+/Q0)xQ0)+

z

J(2/(AT(Z),〃Q),2Q)")+尸Q)xQ))dZ

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式中，哈密顿函数］仍按式(6-45)定义。但与

6给定情况不同的是，现在的也是需要进行最优选择

的变量。设工⑺、〃⑺、的相对于其最优值x*Q)、以*Q)、

了的变分分别为取>Su、拉，即

x«)=x*Q)+c5xQ),w(Z)=w*(t)+(5w(z),Zz.=Z*.+3tf(6-62)

且有如下近似关系式

dx(tz)=<5x(Z*)+文Q；)<5，/(6-63)

考虑到取Qo)=。，则由必、以(如)、du、3tf产生

的增广泛函J'的一次变分为

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/\

aoTdN

6J'=+P-------+H[x{t),u{t..),A(Z.),/z]

dt,---------dt,

\Jfy(6-64)

T

T

d①dNe\(dHdH下

1

++p~:(jf)——+6x+(--)---3u

Sx(t)dx{t)kdx7du

―/ff-/_**

令”=0,因为以、—Q/)、3"及为任意,则得增

广泛函/取极值的必要条件，并由式(6-42)、式(6-55)及

式(6-45),得当%。及始端状态xQo)=x0给定、的自由、

终端状态x(G)受式(6-55)约束情况下,满足式(6-42)的

泛函式(6-41)取极值的必要条件为同时满足

正贝ll方程一色-，x==(6-65)

dxaz

控制方程—(6-66)

du

边界条件与横截条件

(6-67)

xQo)=〜，N[x(Jf)"/]=〃

S①[xQ]S7V丁

：(6•)=------------+----------------—一P(6-68)

dxQ,)dvQ/)

aa>[x(Z),/]S2V[xQ),/]

H[xQ),“Q),：«)"]+------------------—+p------------------—=0(6-69)

dtfdtf

式中,〃[x（o.）,吟）,“）,金.]为哈密顿函数H在最优

轨迹终端处的值。

【例6-3】设被控系统的状态方程为

「。11「01

±Q)=xQ)+w(Z)

0oj|_1_

设初始状态为x(0)=。，终端状态约束曲线为

X,(l)+X2(l)-l=0,求使目标函数J=取极小

2°

时的最优控制"*(,)和最优轨迹『⑺o

解构造哈密顿函数

H=L/f=—〃2+义“+九"

J1NN

2

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正则方程为

dH.dH（协态方程）

A,———---------=0,A:

2=—4

dxxg

dHdH（状态方程）

X।2------=u

叫弘

dH

控制方程------=u+义2=0

du

它们的通解为

义1=,义2

U——

1

1312

Xj=一Ct——C+C^t+C7,x

{42一G2-、+G

622

边界条件与横截条件

3(0)=0,、2(°)=。

X1(1)+%2⑴T=0

dNdN

刈(1)=------P=P乙(D=-------

9

dx](1)dx2(1)

代入通解，得G=/3,c2=2/3,c3=0,C4=o=—1

则最优控制〃*Q)=一一,+—

77

最优轨迹x/co=-—t3+—t2,%2*Q)=——J+-,

147147

6.4极小值原理

在用经典变分法求解最优控制问题时，假定控制

变量〃⑺不受任何限制，即容许控制集合可以看成整

个「维控制空间开集，控制变分"是任意的，同时还

要求哈密顿函数H对“连续可微，在这种情况下，应用

变分法求解最优控制问题是行之有效的。

但是在大多数情况下，控制量的大小总是受限制

的，即

u\<a,（2=1,2,…，尸）（6-70）

这时容许控制"⑺的集合是一个升维有界闭集。一般总

可用如下不等式表示容许控制〃⑺的闭集约束条件，即

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>0(6-71)

当容许控制集合"⑺属于有界闭集时，控制变分0"

在容许控制集合边界上不能任意，最优控制的必要条

件=〃亦不满足，则不能用经典变分法处理。

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针对经典变分法应用条件过严的局限性,前苏联

学者庞特里亚金等发展了经典变分原理,在1956〜

1958年间创立了极小值原理。极小值原理由变分法引

伸而来，它的结论与经典变分法的结论有许多相似之

处，这一方法当控制变量"⑺受闭集约束时是行之有

效的，并且不要求哈密顿函数网"⑺连续可微，是

控制变量"⑺受限制时求解最优控制问题的有力工具,

而且极小值原理也可用于解决控制不受约束的最优控

制问题，因此其是解决最优控制问题的更一般的方法。

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定理6-4(极小值原理)设系统状态方程为

土(t)=w(t),z](6-73)

初始条件为xQ0)=~固定，6固定(6-74)

控制约束为w(/)eU,g[x(t),〃(t)"]N0(6~75)

终端约束为，弓自由(6-76)

式中x(t)为〃维状态向量;控制〃(t)属于「维空间中的有

界闭集。，受不等式(6-75)约束;g为/维连续可微向量函

数，/w〃;N为g维连续可微向量函数o

性能泛函为

J=中[x(金)"/]+『w(t),/]d/(6-77)

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式中，①和L为连续可微的标量函数