陕西省石泉县高中数学 第三章 统计案例 3.1.2 相关系数教案 北师大版选修2-3

陕西省石泉县高中数学第三章统计案例3.1.2相关系数教案北师大版选修2-3授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容分析本节课的主要教学内容是陕西省石泉县高中数学第三章统计案例3.1.2相关系数。该章节的内容包括相关系数的定义、计算方法及其在实际问题中的应用。在此之前，学生已经学习了数据的收集、整理和描述，以及简单的统计学知识，如平均数、中位数、众数等。

教学内容与学生已有知识的联系：学生已掌握的数据处理和统计学知识为本节课的相关系数学习提供了基础。通过本节课的学习，学生将进一步深入理解数据之间的关系，并学会运用相关系数解决实际问题。同时，本节课的内容也为后续的回归分析学习奠定了基础。核心素养目标本节课的核心素养目标主要包括：逻辑推理、数据分析、数学建模和数学交流。通过学习相关系数的概念和计算方法，学生能够提高逻辑推理能力，理解并运用相关系数分析和解决实际问题，培养数据分析的能力。同时，通过合作探讨和问题解决，学生能够提升数学建模和数学交流的能力。在本节课的教学过程中，教师将引导学生运用已有的知识经验，通过观察、分析、推理等数学活动，感悟相关系数在揭示变量之间相关关系的作用，培养学生的数学抽象和数学建模的核心素养。重点难点及解决办法重点：

1.相关系数的定义和计算方法。

2.相关系数在实际问题中的应用。

难点：

1.相关系数计算公式的推导和理解。

2.相关系数在实际问题中的灵活运用。

解决办法：

1.对于重点内容，通过示例和实际问题引导学生理解和掌握相关系数的定义和计算方法，通过练习题巩固知识点。

2.对于难点内容，通过图形和实际案例的解释，帮助学生直观理解相关系数计算公式的推导过程，通过小组讨论和问题解决，培养学生的思考和应用能力。教学方法与手段教学方法：

1.引导法：通过提出问题，引导学生思考和探索相关系数的概念和应用，激发学生的学习兴趣和主动性。

2.互动式教学：通过小组讨论和问题解决，促进学生之间的交流与合作，培养学生的思考和应用能力。

3.实践操作：通过实际案例和练习题，让学生动手计算相关系数，加深对相关系数概念的理解和记忆。

教学手段：

1.多媒体教学：利用多媒体课件和教学视频，以图文并茂的方式呈现相关系数的概念和计算方法，提高学生的学习兴趣和理解程度。

2.教学软件：运用数学软件或在线教学平台，进行相关系数的计算和演示，帮助学生直观理解相关系数在实际问题中的应用。

3.实物模型：使用相关系数模型或图表，让学生直观感受相关系数的大小和意义，增强对相关系数概念的理解。

4.练习系统：通过在线练习系统或纸质练习题，提供丰富的练习题库，让学生进行反复练习和自我检测，巩固所学知识。

5.教学反馈：利用教学反馈工具，收集学生的学习情况和问题，及时进行教学调整和改进，提高教学效果和效率。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：激发学生对相关系数的兴趣和好奇心

过程：教师通过一个生活中的实际问题引入相关系数的概念，例如分析两个人的身高和体重之间的关系，引发学生对变量之间关系的思考。

2.相关系数的基本概念（10分钟）

目标：学生能够理解相关系数的定义和性质

过程：教师通过多媒体课件和实际案例，讲解相关系数的定义和计算方法，引导学生理解相关系数的大小和符号表示的含义。

3.相关系数的计算方法（20分钟）

目标：学生能够运用相关系数计算公式进行计算

过程：教师通过示例和练习题，引导学生掌握相关系数的计算方法，学生独立完成练习题，教师进行个别指导和解答疑惑。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作交流能力和问题解决能力

过程：教师给出一个实际问题，学生分组进行讨论和分析，运用相关系数的方法解决问题，并进行小组汇报和交流。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：提高学生的表达能力和思维逻辑性

过程：教师邀请几名学生进行课堂展示，分享他们的解题过程和结果，其他学生进行点评和提问，教师进行总结和点评。

6.课堂小结（5分钟）

目标：巩固学生对相关系数知识的理解和记忆

过程：教师对本节课的主要内容和知识点进行简洁明了的总结，提醒学生重点掌握相关系数的定义、计算方法和应用。教师鼓励学生在课后进行相关系数的练习和应用，巩固所学知识。知识点梳理1.相关系数的定义：相关系数是衡量两个变量之间线性相关程度的指标，用符号ρ表示。相关系数的取值范围在-1到1之间，当ρ=1时表示完全正相关，ρ=-1时表示完全负相关，ρ=0时表示无关。

2.相关系数的计算方法：相关系数可以通过以下公式进行计算：

ρ=cov(X,Y)/(σX*σY)

其中，cov(X,Y)表示X和Y的协方差，σX和σY分别表示X和Y的标准差。

3.相关系数的性质：相关系数具有以下性质：

（1）对称性：ρ(X,Y)=ρ(Y,X)

（2）同方向性：当X增大时，Y也增大，则ρ为正；当X增大时，Y减小，则ρ为负。

（3）绝对值大小：|ρ|越接近1，表示X和Y之间的线性关系越强；|ρ|越接近0，表示X和Y之间的线性关系越弱。

4.相关系数在实际问题中的应用：相关系数可以用于分析两个变量之间的线性关系，例如在金融市场中分析股票价格之间的相关性，在气象学中分析气温和降水之间的关系等。通过相关系数的大小和符号，可以判断变量之间的线性关系的方向和强度。

5.相关系数的局限性：相关系数只能衡量两个变量之间的线性关系，对于非线性关系无法进行衡量。同时，相关系数受到极端值的影响较大，当数据中存在异常值时，相关系数的值可能会受到较大影响。

6.相关系数与回归分析的关系：相关系数是回归分析中的一个重要概念。在回归分析中，通过建立自变量和因变量之间的线性模型，可以得到回归方程。相关系数可以用来衡量回归方程的拟合程度，即自变量和因变量之间的线性关系的强度和方向。

7.相关系数的计算工具：在实际应用中，可以通过统计软件或在线计算工具来计算相关系数。这些工具通常提供了友好的用户界面，用户只需输入数据即可得到相关系数的值。

8.相关系数在实际案例中的应用实例：

（1）分析消费者的购买行为：通过调查消费者的年龄、收入和购买某种商品的数量，计算相关系数来分析年龄和收入与购买数量之间的关系。

（2）评估投资组合的风险：通过计算不同股票之间的相关系数，分析投资组合中各股票之间的相关性，以评估投资组合的风险和收益。典型例题讲解1.例题1：已知一组数据X和Y，其中X的值为1,2,3,4,5，Y的值为5,4,3,2,1。求这组数据的相关系数。

答案：首先计算X和Y的平均值，分别为(1+2+3+4+5)/5=3和(5+4+3+2+1)/5=3。然后计算X和Y的协方差，协方差为[(1-3)*(5-3)+(2-3)*(4-3)+(3-3)*(3-3)+(4-3)*(2-3)+(5-3)*(1-3)]/5=[2*2+(-1)*1+0*0+1*(-1)+2*(-2)]/5=[4-1+0-1-4]/5=-2/5。接着计算X和Y的标准差，X的标准差为sqrt([(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2]/5)=sqrt([4+1+0+1+4]/5)=sqrt(2)；“Y的标准差为sqrt([(5-3)^2+(4-3)^2+(3-3)^2+(2-3)^2+(1-3)^2]/5)=sqrt([4+1+0+1+4]/5)=sqrt(2)。最后计算相关系数，相关系数为cov(X,Y)/(σX*σY)=(-2/5)/(sqrt(2)*sqrt(2))=-1/5。所以这组数据的相关系数为-1/5。

2.例题2：某企业对两种不同广告媒体的宣传效果进行了调查，记录了两种广告媒体观看人数与销售额的关系，如下表所示：

广告媒体观看人数销售额

A10005000

B20008000

C300012000

D400017000

求两种广告媒体之间的相关系数。

答案：首先计算观看人数和销售额的平均值，分别为(1000+2000+3000+4000)/4=2500和(5000+8000+12000+17000)/4=10000。然后计算观看人数和销售额的协方差，协方差为[(1000-2500)*(5000-10000)+(2000-2500)*(8000-10000)+(3000-2500)*(12000-10000)+(4000-2500)*(17000-10000)]/4=[-15000000+5000000+7500000+15000000]/4=5000000/4=1250000。接着计算观看人数和销售额的标准差，观看人数的标准差为sqrt([(1000-2500)^2+(2000-2500)^2+(3000-2500)^2+(4000-2500)^2]/4)=sqrt([2500^2+2500^2+2500^2+2500^2]/4)=sqrt(6250000/4)=2500；销售额的标准差为sqrt([(5000-10000)^2+(8000-10000)^2+(12000-10000)^2+(17000-10000)^2]/4)=sqrt([5000^2+2000^2+2000^2+7000^2]/4)=sqrt(7050000/4)=17625。最后计算相关系数，相关系数为cov(观看人数,销售额)/(σ观看人数*σ销售额)=1250000/(2500*17625)=0.48。所以两种广告媒体之间的相关系数为0.48。

3.例题3：某班级对学生的身高和体重进行了测量，记录了30名学生的身高和体重数据，如下表所示：

学生编号身高（cm）体重（kg）

117060

216555

316862

.........

3018080

求学生身高和体重之间的相关系数。

答案：首先计算身高和体重的平均值，分别为(170+165+168+...+180)/30和(60+55+62+...+80)/30。然后计算身高和体重的协方差，协方差为[(170-平均身高)*(60-平均体重)+(165-平均身高)*(55-平均体重)+(168-平均身高)*(62-平均体重)+...+(180-平均身高)*(80-平均体重)]/30。接着计算身高和体重

的标准差，标准差为sqrt([(170-平均身高)^2+(165-平均身高)^2+(168-平均身高)^2+...+(180-平均身高)^2]/30)和sqrt([(60-平均体重)^2+(55-平均体重)^2+(62-平均体重)^2+...+(80-平均体重)^2]/30)。最后计算相关系数，相关系数为cov(身高,体重)/(σ身高*σ体重)=协方差/(标准差*标准差)。通过计算可得到相关系数的值。

4.例题4：某地区对居民的收入和消费水平进行了调查，记录了500户居民的收入和消费水平数据，如下表所示：

居民编号收入（元）消费水平（元）

150003000

260004000

370005000

.........

500800010000

求居民收入和消费水平之间的相关系数。

答案：首先计算收入和消费水平的平均值，分别为(5000+6000+7000+...+8000)/500和(3000+4000+5000+...+10000)/500。然后计算收入和消费水平的协方差，协方差为[(5000-平均收入)*(3000-平均消费水平)+(6000-平均收入)*(4000-平均消费水平)+(7000-平均收入)*(5000-平均消费水平)+...+(8000-平均收入)*(10000-平均消费水平)]/500。接着计算收入和消费水平的标准差，标准差为sqrt([(5000-平均收入)^2+(6000-平均收入)^2+(7000-平均收入)^2+...+(8000-平均收入)^2]/500)和sqrt([(3000-平均消费水平)^2+(4000-平均消费水平)^2+(5000-平均消费水平)^2+...+(10000-平均消费水平)^2]/500)。最后计算相关系数，相关系数为cov(收入,消费水平)/(σ收入*σ消费水平)=协方差/(标准差*标准差)。通过计算可得到相关系数的值。

5.例题5：某研究者对某疾病的发病率和湿度进行了调查，记录了不同地区的发病率和湿度数据，如下表所示：

地区编号发病率（例/万人）湿度（%）

12060

22555

33050

.........

104040

求疾病发病率和湿度之间的相关系数。

答案：首先计算发病率和湿度的平均值，分别为(20+25+30+...+40)/10和(60+55+50+...+40)/10。然后计算发病率和湿度的协方差，协方差为[(20-平均发病率)*(60-平均湿度)+(25-平均发病率)*(55-平均湿度)+(30-平均发病率)*(50-平均湿度)+...+(40-平均发病率)*(40-平均湿度)]/10。接着计算发病率和湿度的标准差，标准差为sqrt([(20-平均发病率)^2+(25-平均发病率)^2+(30-平均发病率)^2+...+(40-平均发病率)^2]/10)和sqrt([(60-平均湿度)^2+(55-平均湿度)^2+(50-平均湿度)^2+...+(40-平均湿度)^2]/10)。最后计算相关系数，相关系数为cov(发病率,湿度)/(σ发病率*σ湿度)=协方差/(标准差*标准差)。通过计算可得到相关系数的值。教学评价与反馈1.课堂表现：

教师通过观察学生的课堂表现，了解学生对相关系数概念的理解和掌握情况。包括学生的参与度、回答问题的准确性、对相关系数计算方法的掌握程度等。

2.小组讨论成果展示：

教师通过观察学生的小组讨论和成果展示，了解学生对相关系数应用的理解和运用能力。教师可以评价学生的讨论过程是否积极、合作是否有效、成果是否清晰且有逻辑性。

3.随堂测试：

教师可以设计一些随堂测试题，包括计算相关系数的题目和应用相关系数的实际问题。通过测试结果，了解学生对相关系数的理解和应用能力。

4.作业完成情况：

教师可以评价学生完成作业的情况，包括作业的准确性、对相关系数的理解和应用能力等。

5.教师评价与反馈：

教师根据学生的课堂表现、小组讨论成果展示、随堂测试和作业完成情况，进行综合评价，给出具体的反馈。教师可以指出学生的优点和需要改进的地方，鼓励学生的进步，并提供进一步学习的建议。板书设计1.相关系数的定义和性质

相关系数是衡量两个变量之间线性相关程度的指标，用符号ρ表示。相关系数的取值范围在-1到1之间，当ρ=1时表示完全正相关，ρ=-1时表示完全负相关，ρ=0时表示无关。相关系数具有对称性、同方向性和绝对值大小等性质。

2.相关系数的计算方法

相关系数可以通过以下公式进行计算：

ρ=cov(X,Y)/