实战演练03 导数中最常考的切线问题（5大常考点归纳）-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）解析版

第第页实战演练03导数中最常考的切线问题①求在曲线上一点的切线方程②求过某一点的切线方程③有一个切点的公切线④有两个切点的公切线⑤公切线的条数问题一、在点的切线方程切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．二、过点的切线方程设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）三、公切线问题一般思路两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.考法1：求公切线方程已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝.考法2：由公切线求参数的值或范围问题由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．①求在曲线上一点的切线方程一、填空题1．（2024·山西·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为.【答案】【分析】借助导数的几何意义及直线的点斜式计算即可得.【详解】因为，所以，又，所以函数的图象在点处的切线方程为：，整理得.故答案为：.2．（2024·河北承德·二模）函数在处的切线的斜率为.【答案】/【分析】利用导数的几何意义，求切点处切线的斜率.【详解】函数，有，则.所以函数在处的切线的斜率为.故答案为：.3．（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数．【答案】2【分析】首先求出曲线在点处的切线斜率，结合该切线与平行即可求解．【详解】因为，所以，所以，故答案为：2．4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为.【答案】/【分析】对原函数进行求导,代入得出切线斜率.曲线在处的切线倾斜角为可得出斜率.构造关于的方程，解方程即可.【详解】曲线的导数,∵曲线在处的切线的倾斜角为,∴,∴,∴故答案为:.5．（23-24高三上·安徽亳州·期末）已知直线的斜率为2，且与曲线相切，则的方程为.【答案】【分析】由题意令，解方程可得切点横坐标，进一步得到切点坐标即可得解.【详解】设，令，得，则切点为，故所求的方程为.故答案为：.6．（23-24高三上·西藏林芝·期末）若函数的图象在处的切线斜率为1，则．【答案】【分析】利用复合函数的导数计算法则，由导数的几何意义计算即可求得.【详解】由可得，根据导数的几何意义可得，解得.故答案为：7．（2024·河北·模拟预测）已知函数在处的切线方程为，则.【答案】1【分析】根据切点在曲线与切线上，代入求解即可.【详解】，故函数在处的切点为，又切点在切线上，故，故.故答案为：18．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若曲线的所有切线中斜率最小的切线方程为，则．【答案】8【分析】求导结合基本不等式得到的最小值，再根据题意得关于的方程，解方程得到的值，得到切点的坐标，将切点坐标代入直线方程得到的值，即可得解.【详解】由，得，因为，则，当且仅当时等号成立，由直线的斜率为，所以曲线的所有切线中斜率最小的切线的斜率，所以，此时，由，则，所以切点为.将代入，得，所以．故答案为：.②求过某一点的切线方程一、填空题1．（2024高三·全国·专题练习）过点作曲线的切线，则切线方程为.【答案】【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入切线求得参数，即可求解.【详解】设切点为，由得，则切点处的切线，因为切线过点，所以，解得，所以切线方程为即.故答案为：2．（23-24高三上·山东青岛·期中）曲线过原点的切线方程为.【答案】【分析】设切点，求导，即可根据点斜式求解切线方程，进而根据直线过原点即可求解切点坐标，进而可求解.【详解】由得设切点为，则切线方程为由于切线经过原点，所以，解得，所以切线方程为，即，故答案为：3．（2024·四川自贡·一模）若曲线的一条切线为，则.【答案】【分析】由是曲线的切线，求导函数利用斜率出参数即可.【详解】设切点为，因为，所以，所以在处的切线斜率为，则过该点的切线方程为：，即，又知切线为：，故得：，.故答案为:.4．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点（为自然对数的底数），则点的坐标是，切线方程为【答案】【分析】求导，根据点斜式得切线方程，代入可得，构造函数，求导，根据函数的单调性结合，可得，即可求解.【详解】设点，则.又，当时，，曲线在点A处的切线方程为，即，代入点，得，即，记，当时，，当时，，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为，切线方程为，故答案为：，5．（2024·河南信阳·模拟预测）若过点仅可作曲线的两条切线，则的取值范围是.【答案】【分析】设切点为：，根据切线过点，得到，令，再根据过点仅可作曲线的两条切线，由与的图象有两个交点求解.【详解】设切点为：，，所以切线方程为，又因为切线过点，所以，即，令，则，令，得或，当或时，，当时，，，当时，则，且；当时，则，所以的图象如图所示：因为过点仅可作曲线的两条切线，所以与的图象有两个交点，则或.故答案为：.③有一个切点的公切线一、单选题1．（23-24高二下·安徽合肥·期末）若函数与在处有相同的切线，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】对，求导，根据题意得到，再解方程组即可得到答案.【详解】因为，，则，，可得，，，，因为，在处有相同的切线，即切点为，切线斜率，所以，解得，所以.故选：D.2．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知函数与偶函数在交点处的切线相同，则函数在处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求得，得到且，根据题意，得到与相切于，且，再由为偶函数，求得，且，进而求得切线方程.【详解】由函数，可得，所以且，因为函数与偶函数在交点处的切线相同，所以函数与相切于，且，又因为为偶函数，所以，且，所以函数在处的切线方程为，即．故选：D.二、填空题3．（2024·上海·三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为.【答案】2【分析】根据两曲线在有公切线，则是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出的值，则答案可求.【详解】由已知得，解得，又，所以得，所以，所以.故答案为：24．（2024·辽宁·二模）已知函数的图象与函数且的图象在公共点处有相同的切线，则，切线方程为.【答案】【分析】设公共点为，即可得到，再由导数的几何意义得到，从而求出，即可求出切点坐标，从而求出，再求出切线方程.【详解】设公共点为，则，即，所以，所以，由，，所以，，又在公共点处有相同的切线，所以，即，所以，则，，则，则，所以切线方程为，即.故答案为：；5．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则=.【答案】4【分析】根据导数的几何意义，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.【详解】，因此曲线在点处的切线的斜率为，所以曲线在点处的切线的方程为，因为曲线在点处的切线与曲线相切，所以有一个实数解，即，当时，显然该方程不成立，当时，，舍去，故答案为：6．（23-24高三上·江西·阶段练习）若函数与，有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则的最小值为.【答案】【分析】根据两函数在公共点处的切线方程相同得及，令函数求其最小值即可.【详解】，.设曲线与的公共点为，两者在公共点处的切线方程相同，因此，即，解得或.因为，，所以舍去.又，即.令函数，则.令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，则，即，解得.则的最小值为.故答案为：④有两个切点的公切线一、填空题1．（2024·全国·模拟预测）曲线与的公切线方程为.【答案】【分析】设出两曲线的切点和，由导数的意义可得，再由点斜式得出公切线方程，把点代入直线方程可得，构造函数，求导分析单调性得到，进而得出，最后得到直线方程.【详解】设曲线上的切点为，曲线上的切点为.因为，则公切线的斜率，所以.因为公切线的方程为，即，将代入公切线方程得，由，得.令，则，当时，；当时，0，故函数在上单调递增，在上单调递减，，所以，故公切线方程为，即.故答案为：.2．（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线是曲线和的公切线，则实数a=．【答案】3【分析】先设在上的切点，然后求出切点和切线，然后再设在上的切点，即可求出a的值.【详解】设直线l与曲线相切于点，由，得，因为l与曲线相切，所以消去，得，解得．设l与曲线相切于点，由，得，即，因为是l与曲线的公共点，所以消去，得，即，解得．故答案为：3.3．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知函数，，若直线与函数，的图象均相切，则的值为；若总存在直线与函数，图象均相切，则a的取值范围是．【答案】6【分析】设出直线与函数的切点，利用，可求得切点坐标，再利用切点在直线上即可求得的值，继而列出方程组可求得的值；设出直线与两个函数的切点，利用条件列出方程组，整理后得，构造函数，利用导数考查单调性，即可求得的范围.【详解】设直线与函数的切点为，由，所以，解得，所以切点为，所以，解得，即切线方程为．设直线与函数的切点为，则，解得，即，所以；设切线方程l为，且l与的切点为，l与的切点为，则，，整理可得，，所以，整理可得，设，则.设，则，所以在上为增函数，又因为，所以在上，即，所以单调递减；在上，即，所以单调递增，所以，即，解得．故答案为：;.【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点求斜率，即求该点处的导数；(2)已知斜率求切点即解方程；(3)已知切线过某点(不是切点)求切点，设出切点利用求解．二、单选题4．（2024·河北邢台·二模）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】函数在两点处的切线平行，转化为函数在两点处的导数相等，得到的关系，在结合不等式求的取值范围即可.【详解】因为，.所以，.由因为在，两个不同点处的切线相互平行，所以，又，所以，故CD错误；因为且，所以，故A不成立；当时，.故B成立.故选：B5．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设公切线与函数切于点，设公切线与函数切于点，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得，消去，得，再构造函数，然后利用导数可求得结果.【详解】设公切线与函数切于点，由，得，所以公切线的斜率为，所以公切线方程为，化简得，设公切线与函数切于点，由，得，则公切线的斜率为，所以公切线方程为，化简得，所以，消去，得，由，得，令，则，所以在上递减，所以，所以由题意得，即实数的取值范围是，故选：A⑤公切线的条数问题一、单选题1．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设曲线切点为，的切点为，求出切线方程，根据有两条公切线转化为方程具有两个解，构造函数利用导数求解取值范围，判断选项.【详解】设曲线切点为，的切点为，则曲线在点处的切线方程为，即，同理，在点处的切线方程为，根据与有两条公切线，则，所以，化简可得具有两个交点，转化为有两个解，构造函数，则，当，，单调递增；当，，单调递减，故在时有极大值即为最大值，故，当时，，当时，，故的取值范围为，故选：A2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）若曲线与有三条公切线，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数几何意义，分别设出两条曲线的切线方程，将问题转化为一条直线与一条曲线交点个数问题，即可求出的取值范围.【详解】设公切线为是与的切点，由，得，设是与的切点，由，得，所以的方程为，因为，整理得，同理，因为，整理得，依题意两条直线重合，可得，消去，得，由题意此方程有三个不等实根，设，即直线与曲线有三个不同的交点，因为，令，则，当或时，；当时，，所以有极小值为，有极大值为，因为，，，所以，当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于，故的图象简单表示为下图:所以当，即时，直线与曲线有三个交点.故选：A.二、多选题3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数，，则（

）A．恒成立的充要条件是B．当时，两个函数图象有两条公切线C．当时，直线是两个函数图象的一条公切线D．若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为，则【答案】ACD【分析】根据导数求解恒成立即可求解A，根据导数求解切线方程，根据公切线的性质即可结合选项求解BCD.【详解】对于A，若恒成立，即恒成立，而恒成立，所以，解得，故A正确；对于B，设切点,，,，，，有，①代入②，可得，当时，代入方程解得：，，方程无解，即两个函数图象无公切线，故B错误；对于C，当时，代入方程得：，，故，，所以函数与的一条公切线为：，故C正确；对于D，如图，不妨设切线与切于，与切于，设,，,，,，,，，，故所以，，，同理，则中点即可中点，所以四边形是平行四边形，由处的切线方程为，处的切线方程为，得，即，结合可知，是方程的根，由C选项可知：是的两个切点，所以，也是方程的根，所以,且,故，则，，，，令，则，故，故D正确．故选：ACD．【点睛】关键点点睛：本题BC选项的关键是设切点，根据导数含义和斜率定义得到，再整理化简代入值即可判断.4．（2024高三下·山东烟台·期末）关于曲线和的公切线，下列说法正确的有（

）A．无论a取何值，两曲线都有公切线B．若两曲线恰有两条公切线，则C．若，则两曲线只有一条公切线D．若，则两曲线有三条公切线【答案】BCD【分析】设曲线和的公切线分别与两曲线相切于，，根据导数的几何意义得到，化简可得，结合对数的定义可判断A选项；构造函数和，利用导数分析其单调性，进而分析方程解的情况，进而求解.【详解】设曲线和的公切线分别与两曲线相切于，，因为，，所以，，所以公切线的方程为，即，也可以为，即，所以，即化简得，即，若，，则上述式子无意义，此时两曲线没有公切线，故A错误；①令，则，所以，令，则；令，则，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以.当，即时，有两解，即方程在时有两解.当，即时，只有一解，即方程在时只有一解.当，即时，无解，即方程在时无解.②令，则，所以，所以函数在上单调递减，而当时，，，则，当时，，，则，所以函数在上一定存在使得，