信号与系统第2版 课件 4连续时间信号与系统的复频域分析

信号与系统主讲：严国志课程目录

第1章绪论第2章连续时间信号与系统的时域分析第3章连续时间信号与系统的频域分析第4章连续时间信号与系统的复频域分析第5章离散时间信号与系统的时域分析第6章离散时间信号与系统的频域分析第7章离散时间信号与系统的Z域分析2024/10/162第4章

连续时间信号与系统的

复频域分析2024/10/164第4章

连续时间信号与系统的复频域分析4.1引言4.2连续时间信号的拉普拉斯变换4.3单边拉普拉斯变换的性质4.4单边拉普拉斯反变换的计算4.5连续时间系统的复频域分析4.6线性时不变系统的系统函数习题4.1引

言2024/10/165连续时间信号与系统的频域分析，就是选择虚指数信号作为基本单元信号，利用傅里叶变换作为工具，实现对信号的频谱分析以及系统的频率特性分析，这些在工程实际方面具有清晰的物理意义和广泛的应用场合。连续时间信号与系统的频域分析，在信号与系统的分析、处理以及设计方面具有重要的工程实用意义，是广泛采用的、不可或缺的重要工具。然而，傅里叶变换是一个积分，傅里叶变换要存在，必要求被变换的信号要是可积的。为了解决频域分析的局限性问题，在这一章，我们引入了复频域分析方法。复频域分析法是在频域分析法的基础上，通过引入衰减因子

来实现的。复频域分析的基本工具是拉普拉斯变换。4.1引

言先从一个人说起：奥列弗.赫维赛德，一位在科学史上被严重忽视的人。奥列弗.赫维赛德(OliverHeaviside，1850年5月18日-1925年2月3日)，英国自学成才的物理学家，出生于伦敦卡姆登镇，家庭极度贫穷，还得过猩红热，听力部分残疾，从未上过大学，完全靠自学和兴趣掌握了高等科学和数学。赫维赛德的学业成绩不俗(1865年，在五百多个学生中排第五)，16岁离校，学习摩氏密码和电磁学，成了丹麦大北电报公司的电报员。1872年，是纽卡斯尔的主电报员，开始研究电学。1874年辞职，在父母家中孤独地研究，1876年，Heaviside使用Maxwell方程组中的旋度方程，导出了含有自感项的经典电报员方程，提出了传输线上信号作无失真传输的条件。1889年，开尔文勋爵（LordKelvin）在一次演讲中承认自己的“海底电缆方程”（不含电感项的经典电报员方程）是有局限性的，并推崇了Heaviside的方程。麦克斯韦早在1873年便出版了跨时代巨著《电磁通论》，可惜的是，他英年早逝，他的方程组在生前并没有得到科学界的重视。他的理论描述复杂得令人吃惊，直接导致了在首次发表后的10多年时间内，几乎无人问津。1880年，赫维赛德研究电报传输上的集肤效应，将麦克斯韦方程组重新表述，由四元数改为矢量，将原来的20条方程缩减到4条微分方程，从而使简化后的麦克斯韦方程组呈现出无与伦比的对称性，成为历史上是最漂亮的方程式（没有之一）。麦克斯韦本人并没有见过这个方程组，它在一定程度上应该叫“赫维赛德方程组”。2024/10/1664.1引

言赫维赛德的第三个重要贡献：运算微积分。1880年~1887年之间，赫维赛德在从事电磁场研究时，为求解微积分方程，他在分析计算中引入了微分算子的概念，提出了“运算微积分法”，这个方法可以将常系数微分方程转换为普通代数方程。至于算子p代表什么，赫维赛德没有解释。由于缺乏严密数学论证而受到当时主流数学家们的攻讦，他们认为赫维赛德的运算法没有理论依据。赫维赛德的算子虽然缺乏严密的数学论证，但是往往能给出重要且正确的结果，方法确实有效，无法驳倒。于是，数学家们开始尝试将算子理论进行严格化。后来，人们在近百年前法国数学家拉普拉斯的著作里，找到了这种算法的可靠的数学依据---时域函数微分方程变换成相应的复频域函数代数方程，重新给予严密的数学定义，为之取名为拉普拉斯变换，也称“积分变换法”，赫维赛德的运算法就被拉普拉斯变换所取代。拉普拉斯变换不是拉普拉斯提出的，随着二战后拉普拉斯变换的广泛使用，赫维赛德算子的作用被取代了。但是不可否认的是，正是这种“不正规”，仅靠“天才的直觉”而发明的方法，促成了现在拉普拉斯分析方法的研究和发展。2024/10/1674.2连续时间信号的拉普拉斯变换2024/10/1684.2.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换傅里叶变换的定义为：对x(t)引入衰减因子令：上式中，积分后的变量不再是ω，而是变为了s，故命名其为X(s)，即有：称为双边拉普拉斯正变换式，记为

X(s)=L[x(t)]（4-2）2024/10/169同理，傅里叶变换的反变换为：可得

对应的傅里叶反变换为：对该式两端乘上

利用

有：

（4-3）称为双边拉普拉斯反变换式，记为

x(t)=L-1[X(s)]4.2连续时间信号的拉普拉斯变换实际工程中的信号，一般均为有始信号，其

t的取值区间不是（-∞，+∞），而是（0，+∞），因此，就有了单边拉普拉斯变换，其定义为：

（4-4）

在拉普拉斯变换中，由于s=σ+jω，因此，当σ=0时，s=

jω，即当X(s)在s=

jω上收敛时，x(t)在s=

jω上的拉普拉斯变换X(s)就是其傅里叶变换。4.2连续时间信号的拉普拉斯变换2024/10/1610

式（4-4）中的积分下限取0-，是为了能够有效地处理出现在0时刻的冲激。单边拉普拉斯变换的反变换仍为（4-3）式，只是要求t0。因此，从实质上讲，单边拉普拉斯变换只是双边拉普拉斯变换的一个特例。2024/10/1611

4.2连续时间信号的拉普拉斯变换

可见，该两式是否成立，与σ的取值有关。定义使信号x(t)的拉普拉斯变换存在的σ的取值范围就是拉普拉斯变换的收敛域ROC（RegionOfConvergence）。

由于s=σ+jω，s平面为一复平面，其横轴为σ，由于σ为实数，故横轴也称为实轴，其纵轴为jω，也称为虚轴。σ的取值决定了s的取值，σ=Re[s]，σ取某值，对应s复平面上垂直于横轴的直线，称为收敛坐标。可见，拉普拉斯变换的收敛域对应于s复平面上以垂直于实轴的直线为边界的区域。当α-σ<0时收敛，4.2连续时间信号的拉普拉斯变换2024/10/1612例4-1：求信号

的拉普拉斯变换及其收敛域。当α–σ

≥0时，X(s)不存在。故其收敛域为

σ>α，如图4-1(a)所示。解：由定义式有：当β-σ>0时，

收敛，从而有：2024/10/1613例4-2：求信号

的拉普拉斯变换及其收敛域。4.2连续时间信号的拉普拉斯变换当β-σ≤0时，X(s)不存在。故其收敛域为

σ<β

，如图4-1(b)所示。解：由定义式有：2024/10/1614例4-3：求信号x(t)的拉普拉斯变换及其收敛域。解：由定义式有：4.2连续时间信号的拉普拉斯变换因此，X(s)要存在，上述两个条件要都成立，

即当

α<σ<β

时：同理，对第二项，已由例4-2给出，对于第一项，已由例4-1给出，2024/10/1615总结上述3例，可得拉普拉斯变换收敛域的特点：4.2连续时间信号的拉普拉斯变换对于单边拉普拉斯变换:若信号为双边信号，其收敛域为收敛坐标的中间区域，σ1<σ<σ2。其中，σ1可小到-∞，σ2可大到+∞，这与x(t)的形式有关。若信号为左边信号t<0，其收敛域为收敛坐标的左边区域

σ<σ2，若信号为右边信号t>0，其收敛域为收敛坐标的右边区域

σ>σ1，对于双边拉普拉斯变换:其收敛域为收敛坐标的右边区域

σ>σ1。4.2连续时间信号的拉普拉斯变换2024/10/1616例4-4：求下列信号的拉普拉斯变换。解：故当σ<-5时，同理，当-5<σ<-3时，同理，当σ>-3时，

从这个例子可以看出，3个不同的连续时间信号，其拉普拉斯变换具有相同的表达式，当然，它们的收敛域不同。可见，对于双边拉普拉斯变换，其时域函数与其拉普拉斯变换函数不是一一对应的关系，拉普拉斯变换只有和其收敛域一起，才能唯一确定。2024/10/16174.2.3常见信号的单边拉普拉斯变换

由于工程中的信号一般常见的为因果信号，即右边信号，故本节主要讨论常见单边信号的单边拉普拉斯变换。4.2连续时间信号的拉普拉斯变换（1）指数信号，ROC：σ>-α（4-7）在（4-7）式中，令

，则有：在（4-7）式中，令

，则有：，ROC：σ>0（4-8），ROC：σ>-σ0

（4-9）4.2连续时间信号的拉普拉斯变换2024/10/1618

利用Matlab的

laplace()函数，可以实现拉普拉斯变换的计算，代码如下：运行结果为：Xs=1/(s+a)symsa;xt=exp(-a*t);Xs=laplace(xt);%拉普拉斯变4.2连续时间信号的拉普拉斯变换2024/10/1619（2）复指数信号

（4-9）（4-8）在式（4-8）中，令有：2024/10/1620（3）正弦信号

和4.2连续时间信号的拉普拉斯变换，ROC：σ>0（4-10），ROC：σ>0（4-11）4.2连续时间信号的拉普拉斯变换2024/10/1621（4）单位阶跃信号，ROC：σ>0（4-12）Matlab代码如下：xt=heaviside(t);%单位阶跃函数Xs=laplace(xt);运行结果为：Xs=1/s2024/10/16224.2连续时间信号的拉普拉斯变换（5）单位冲激信号，ROC：σ>-∞（4-13）进一步可得：，ROC：σ>-∞（4-16），ROC：σ>-∞（4-17），ROC：σ>-∞（4-15），ROC：σ>-∞

（4-14）4.2连续时间信号的拉普拉斯变换2024/10/1623Matlab代码如下：xt=dirac(t);%单位冲激函数n=1;dnxt=diff(xt,t,n);%xt的n阶微分Xs=laplace(dnxt);运行结果为：Xs=s2024/10/16244.2连续时间信号的拉普拉斯变换（6）单位斜变信号当：σ>0时，有：，ROC：σ>0（4-18）进一步可得：，ROC：σ>0（4-19），ROC：σ>0（4-20）4.2连续时间信号的拉普拉斯变换2024/10/1625Matlab代码如下：n=1;Xs=laplace(t^n);运行结果为：Xs=1/s^24.3单边拉普拉斯变换的性质2024/10/1626拉普拉斯变换可视为频域的傅里叶变换在复频域中的推广，因此，两种变换的性质存在许多相似之处。拉普拉斯变换建立了信号的时域描述与其复频域描述之间的对应关系，信号在一个域的变化，必然在另一个域也有相应的体现。拉普拉斯变换的性质反映了不同形式的信号与其拉普拉斯变换函数的对应规律，这些性质是求取拉普拉斯变换的重要方法，也是线性时不变系统复频域分析的重要基础。

拉普拉斯变换有双边和单边变换之分，因而也有双边拉普拉斯变换性质和单边拉普拉斯变换性质之分。两者的性质基本相同，由于工程上常处理因果信号与系统，本节主要讨论单边拉普拉斯变换性质。2024/10/16274.3.1线性4.3单边拉普拉斯变换的性质若：则：例4-5：已知

，

，求x(t)=2x1(t)+5x2(t)的单边拉普拉斯变换。解：由定义式有：，ROC：σ1>-2，ROC：σ1>-5则：x(t)=2x1(t)+5x2(t)ROC：σ>max[-2，-5]=-2。（4-21）以下其它特性的收敛域考虑方式与此相同，都作交集考虑，故下面如无特别需要省去收敛域讨论。2024/10/1628

关于收敛域：4.3单边拉普拉斯变换的性质如果组合后出现零极点的消除，收敛域有可能扩大。对于双边拉普拉斯变换，X1(s)的收敛域为σ11<σ<σ12，X2(s)的收敛域为σ21<σ<σ22，则两个信号的线性组合αX1(s)+βX2(s)的拉普拉斯变换的收敛域为原两信号的收敛域的交集，即：max[σ11,σ21]<σ<min[σ12,σ22]。对于单边拉普拉斯变换，X1(s)的收敛域为σ>σ1，X2(s)的收敛域为σ>σ2，则两个信号的线性组合αX1(s)+βX2(s)的拉普拉斯变换的收敛域为原两信号的收敛域的交集，即：σ>max[σ1,σ2]。2024/10/16294.3单边拉普拉斯变换的性质4.3.2时移特性若：则：，t00（4-22）

时移特性说明，信号函数的时移，对应于像函数乘以

，称为时移因子。解：已知δ(t)1，由时移特性，有：δ(t-kT)例4-6：求δ(t-kT)的拉普拉斯变换。2024/10/16304.3单边拉普拉斯变换的性质对于一般的周期信号，设主值周期

x1(t)为：再设xT

(t)为主值周期信号x1(t)以T为周期进行周期扩展而组成的有始周期信号，即：若x1(t)的拉氏变换为X1(s)，有：，ROC：σ>0（4-23）有始周期信号的单边拉普拉斯变换，可由其主值周期信号的单边拉普拉斯变换乘上

得到。

称为周期因子，其中，T为周期。4.3单边拉普拉斯变换的性质2024/10/16314.3.3复频移特性若：则：

复频移特性表明，像函数复频移s0后，对应于其时域信号乘上因子，称为复频移因子。例4-8：求

拉普拉斯变换。已知

，σ>0，利用复频移特性有：，ROC：σ>σ1+σ0

（4-24），ROC：σ>σ1解：利用欧拉公式有：2024/10/16324.3.4尺度变换特性4.3单边拉普拉斯变换的性质若：则：，ROC：σ>σ0

（4-25），ROC：σ>σ0例4-9：求

拉普拉斯变换。解：已知利用尺度变换特性有：2024/10/16334.3.5时域卷积特性4.3单边拉普拉斯变换的性质若：则：时移卷积特性表明，两个信号时域的卷积，对应于其复频域函数的乘积。

（4-26）利用这一特性，可以将时域的卷积运算变换为复频域的乘积运算。因此，在利用卷积法求取LTI系统的零状态响应时，可将时域变换到复频域求解。2024/10/16344.3.6复频域卷积特性4.3单边拉普拉斯变换的性质若：则：

复频域卷积特性表明，两个信号时域函数的乘积，对应于其复频域函数的卷积乘上

（4-27）2024/10/16354.3单边拉普拉斯变换的性质4.3.7时域微分特性若：则：

（4-28）反复利用（4-28）式，可得：

（4-29）

（4-30）

应用时域微分特性，对系统微分方程两端同时取拉普拉斯变换，可以将微分方程变换为代数方程，这是系统复频域分析的重要方法。解：由x(t)有：x(0-

)=1，

，4.3单边拉普拉斯变换的性质2024/10/1636例4-10求

的一阶导数及二阶导数的单边拉普拉斯变换。由（4-29）式：有：又：由（4-28）式：4.3单边拉普拉斯变换的性质例4-10的Matlab实现：2024/10/1637Matlab代码：symsa;xt=exp(-a*t);xt1=diff(xt,t);

%计算xt的一阶微分xt2=diff(xt,t,2);%计算xt的二阶微分Xs=laplace(xt)Xs1=laplace(xt1)Xs2=laplace(xt2)运行结果为：Xs=1/(s+a)Xs1=-a/(s+a)Xs2=a^2/(s+a)2024/10/16384.3.8时域积分特性4.3单边拉普拉斯变换的性质若：则：

（4-31）对于x(t)为因果信号的情况，反复利用（4-31）式，可得：

（4-32）

（4-33）证明：由于对该式两边取拉氏变换，并利用卷积性质即可得证：2024/10/16394.3单边拉普拉斯变换的性质4.3.9复频域微分特性若：则：

（4-34）反复利用（4-34）式，可得：

（4-35）

（4-36）2024/10/16404.3.10复频域积分特性4.3单边拉普拉斯变换的性质若：则：

（4-37）【例4-13】

求

的单边拉普拉斯变换。解：由4.3单边拉普拉斯变换的性质2024/10/16414.3.11初值定理若：则：

（4-38），x(t)在t=0处连续，即在t=0处不包含冲激信号及冲激信号的导数时：

初值定理说明，当已知信号x(t)的拉普拉斯变换X(s)时，可以直接由X(s)求取信号的初值x(0+)，而不必先由X(s)求反变换x(t)。当x(t)在t=0处包含冲激信号及冲激信号的导数时：X(s)一般为假分式，设其中的真分式项为X’(s)，有：

（4-40）4.3单边拉普拉斯变换的性质2024/10/1642【例4-15】利用初值定理求下列信号的初值。（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）（2）（3）（4）（5）4.3单边拉普拉斯变换的性质2024/10/1643【例4-16】已知

，求解：4.3单边拉普拉斯变换的性质2024/10/16444.3.12终值定理若：则：，当存在时：。

（4-41）

终值定理说明，当已知信号x(t)的拉普拉斯变换X(s)时，可以直接由X(s)求取信号的终值x(∞)，而不必先由X(s)求反变换x(t)。4.3单边拉普拉斯变换的性质2024/10/1645【例4-18】

利用终值定理求下列信号的终值。（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）不存在。2024/10/1646拉普拉斯反变换的计算式如（4-3）所示：这是一个复函数的积分，其求解往往比较困难。实际问题中，X(s)一般为s的有理多项式，对于这种形式的函数求拉普拉斯反变换，最简单的方法是部分分式展开法。4.4拉普拉斯反变换的计算式中，N(s)为分子多项式，D(s)为分母多项式。

（4-42）将N(s)和D(s)都表示成一阶因式的乘积，有：

（4-43）4.4.1单边拉普拉斯反变换的计算设X(s)为s的有理多项式形式：2024/10/16474.4拉普拉斯反变换的计算式中，zj是分子多项式N(s)=0的根，对任一zj，有s=zj时X(s)=0。同理，pi是分母多项式D(s)=0的根，对任一pi，有s=pi时X(s)=∞。当

n>m时，令：有：

（4-44）

（4-45）当

n

≤

m时，有：

（4-47）进一步将（4-43）式表示成一阶因式的和的形式：2024/10/1648对（4-45）式求拉普拉斯反变换时，根据拉普拉斯变换线性特性，只要分别求出Xi(s)的反变换

xi(t)，则可求出X(s)的反变换。4.4拉普拉斯反变换的计算此时，

（4-48）（2）对于pi有k重根p1的情况：此时，

（4-49）（3）对于pi为共轭复根的情况：此时，将一对共轭复根看成是两个复数单根，可以用（1）的单根方法得到。下面就极点pi的特点分三种情况求Xi(s)的反变换

xi(t)。（1）对于pi为单根的情况：4.4拉普拉斯反变换的计算2024/10/1649例4-19：已知

，求x(t)。解：由（4-48）式，有：

利用Matlab的ilaplace()函数，可以计算X(s)的拉普拉斯反变换，代码如下：运行结果：xt=exp(-3*t)/2-exp(-5*t)/2symss;Xs=1./(s^2+8*s+15)xt=ilaplace(Xs)%拉普拉斯反变换4.4拉普拉斯反变换的计算例4-20：已知

，求x(t)。2024/10/1650解：例4-21：已知

，求x(t)。解：2024/10/1651例4-22：已知连续信号的拉普拉斯变换为试用MATLAB求其拉普拉斯逆变换x(t)。4.4拉普拉斯反变换的计算symss;Xs=(2*s+4)./(s^3+4*s)xt=ilaplace(Xs)%拉普拉斯反变换运行结果为：xt=1-cos(2*t)+sin(2*t)解：该题可以用函数

ilaplace()来求解，Matlab代码如下：4.4拉普拉斯反变换的计算2024/10/1652再来看对于（4-47）式求拉普拉斯反变换。例4-24：已知

，求x(t)。

（4-56）（4-47）式中右边第二项的反变换与前述相同，仅看右边第一项的反变换。由于L[δ(t)]=1，根据时域微分特性有：解：利用（4-56）式，可得：对于（4-44）式，

，当收敛域为左边区域时，即

时，其双边拉普拉斯反变换为：当收敛域为右边区域时，即

时，其双边拉普拉斯反变换与其单边拉普拉斯反变换相同，为：4.4拉普拉斯反变换的计算2024/10/1653对于利用部分分式展开法进行双边拉普拉斯反变换，其方法与单边拉普拉斯反变换相同。不过，在进行双边拉普拉斯反变换时，必须根据收敛域确定各部分分式对应的时域信号形式。4.4.2双边拉普拉斯反变换的计算

（4-57）

（4-58）4.4拉普拉斯反变换的计算例4-25：已知

试用部分分式展开法求不同收敛域时的拉普拉斯反变换。2024/10/1654当-5<Re[s]<-3时，其收敛域对于极点p1=-5来看是右边区域，而对于极点p2=-3来看是左边区域，因此有：当Re[s]>-3时，其收敛域对于两个极点来看，都是右边区域，因此有：当Re[s]<-5时，其收敛域对于两个极点来看，都是左边区域，因此有：解：

式（4-59）表明，对于任意因果信号x(t)，若其单边拉普拉斯变换X(s)存在，则可将其分解为复指数信号

的线性组合，其加权系数为2024/10/16554.5连续时间系统的复频域分析4.5.1连续时间信号的复频域分解系统分析的一个基本任务是求取系统对任意输入激励信号的响应。为此，必须先将任意信号表示为基本信号的线性组合。在复频域分析方法中，选用的基本信号是复指数信号

。将任意信号分解为复指数信号的线性组合，是由拉普拉斯变换完成的。由单边拉普拉斯变换的定义（4-3）式有：（4-59）式中，X(s)为因果信号x(t)的单边拉普拉斯变换。4.5连续时间系统的复频域分析2024/10/16564.5.2复指数信号激励下系统的零状态响应由LTI系统时域分析法可知，系统的零状态响应，就是系统的激励x(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，这里由卷积运算的定义，有：对于因果系统，由于

，代入上式可得：（4-61）（4-60）4.5连续时间系统的复频域分析2024/10/1657H(s)是与t无关的以s为变量的复函数。将其与单边拉普拉斯变换的定义式对照，可见，H(s)就是h(t)的单边拉普拉斯变换。将（4-57）式代入（4-56）式中，有：（4-62）（4-63）式（4-63）表明，LTI因果系统对复指数信号的零状态响应，等于

与H(s)的乘积，它仍然是相同频率的复指数信号，只是幅度和相位发生变化而已。这里定义：由LTI系统的奇次性，该式两边同乘

有：4.5连续时间系统的复频域分析2024/10/16584.5.3任意信号激励下系统的零状态响应对于LTI系统，由（4-63）式系统对复指数信号的零状态响应为：

（4-64）（4-64）式左端中括号内，即是任意信号x(t)的复频域分解表达式。（4-64）式右端表示的是LTI系统对x(t)激励的响应，也就是LTI系统对任意激励信号x(t)的零状态响应。故有：再由LTI系统的叠加性，对上式两边同取积分，有：4.5连续时间系统的复频域分析2024/10/1659令：有：（4-66）

可见，yzs(t)正好是Yzs(s)的拉普拉斯反变换。也即yzs(t)与Yzs(s)正好是一对拉普拉斯变换对。（4-65）故对于LTI系统零状态响应的求取，可采用先求取任意信号x(t)的拉普拉斯变换X(s)以及系统单位冲激响应h(t)的拉普拉斯变换H(s)，则系统的零状态响应的拉普拉斯变换Yzs(s)即为X(s)与H(s)乘积，最后对Yzs(s)取拉普拉斯反变换，即可得到yzs(t)。4.5连续时间系统的复频域分析2024/10/1660例4-26：已知LTI系统的单位冲激响应为

，求系统对信号

激励的零状态响应。解：4.5连续时间系统的复频域分析2024/10/1661%Matlab代码：symss

t;Xs=laplace(exp(-2*t))%拉普拉斯变换Hs=laplace(exp(-5*t))%拉普拉斯变换Ys=Xs*Hsyt=ilaplace(Ys)%拉普拉斯反变换运行结果：Xs=1/(s+2)Hs=1/(s+5)Ys=1/(s+2)/(s+5)yt=exp(-2*t)/3-exp(-5*t)/34.5连续时间系统的复频域分析2024/10/16624.5.4LTI系统微分方程的复频域求解4.5.3节给出了LTI系统对任意激励信号响应的复频域求解的一种方法，这种方法基于将任意信号分解为以复指数信号作为基本信号的线性组合的思想，具有清晰的物理意义。这种方法通过利用拉普拉斯变换使时域卷积运算变换为复频域的代数运算，大大简化了系统响应求解的复杂度。但是，这种方法需要已知系统的单位冲激响应，而且也仅求出了系统的零状态响应，并未给出系统全响应的求解。实际上，在给出系统的模型时，往往是给出系统的数学模型而不是给出系统的单位冲激响应，或者说，当给定的是系统的微分方程时，如何采用复频域方法求解系统的全响应，本节就讨论这种情况。4.5连续时间系统的复频域分析2024/10/1663描述LTI系统的微分方程的一般表达式为：激励x(t)为因果信号，系统的初始状态为:（4-68）对该式两边取单边拉普拉斯变换，并利用时域微分特性，有：4.5连续时间系统的复频域分析2024/10/1664式（4-68）右端第一项为不计系统初始状态仅由激励X(s)产生的响应，称为系统的零状态响应，即：式（4-68）右端第二项为不计系统激励X(s)仅由初始状态产生的响应，称为系统的零输入响应，即：系统的全响应为：y(t)=yzs(t)+yzi(t)=L-1[Yzs(s)]+L-1[Yzi(s)]（4-71）解：对微分方程两边取单边拉氏变换，并利用时域微分特性，有：4.5连续时间系统的复频域分析2024/10/1665例4-27：已知系统的微分方程为

，初始条件为y(0-)=2，y’(0-)=0，求当激励为

时系统的零输入响应、零状态响应以及全响应。将初值代入，得：4.5连续时间系统的复频域分析2024/10/1666零输入响应为：零状态响应为：全响应为：y(t)=yzs(t)+yzi(t)与例2-9比较，结果相同。4.5连续时间系统的复频域分析2024/10/1667由此可见，利用拉普拉斯变换方法求解系统微分方程，将微分运算转化为乘法运算，从而将微分方程转化为代数方程，而且，初始条件也被自动包含在变换式中了，不仅大大简化了求解的过程，而且同时获得了系统方程的全解。因此，基于拉普拉斯变换的复频域分析方法是连续时间线性时不变系统分析的强有力的工具。4.6线性时不变系统的系统函数2024/10/16684.6.1系统函数的定义

连续时间LTI系统的数学模型一般为n阶微分方程，其通用表达式如（4-67）式所示，即：假定系统为零初始状态，对该式两边取单边拉普拉斯变换，得：即：令：有：4.6线性时不变系统的系统函数2024/10/1669式中，N(s)为分子多项式，D(s)为分母多项式。由（4-75）式可见，H(s)是复变量

s的函数，它只与微分方程的结构有关，而与系统输入x(t)及系统响应y(t)无关。当系统微分方程确定时，H(s)也随之确定。（4-75）H(s)正是LTI系统单位冲激响应的拉普拉斯变换。因此，H(s)也能完整地描述系统的特性。称H(s)为LTI系统的系统函数。解：对系统取零初始状态时，对微分方程两边取拉普拉斯变换得：4.6线性时不变系统的系统函数2024/10/1670例4-28：已知系统的微分方程为

，求系统的系统函数及其单位冲激响应。4.6线性时不变系统的系统函数2024/10/16714.6.2系统的零极点图由系统函数的（4-75）式，将其分子多项式N(s)分解为一阶因式的乘积，分母多项式D(s)也分解为一阶因式的乘积，可得：式中，zj是分子多项式N(s)=0的根，对任一zj，有s=zj时H(s)=0，称zj为系统函数H(s)的零点。同理，pi是分母多项式D(s)=0的根，对任一pi，有s=pi时H(s)=∞，称pi为系统函数H(s)的极点。一般，zj和pi为复数，将zj和pi标注在s平面上，zj用小圆“。”表示，pi用小叉“×”表示，所得的图形称为系统的零极点图。4.6线性时不变系统的系统函数2024/10/1672例4-30：已知

，画出该系统函数的零极点图。%Matlab代码num=[21]den=[1221]sys=tf(num,den)pzmap(sys)运行结果如图4-4解：注：①sys=tf(num,den)：创建连续时间LTI系统的传递函数。

②pzmap(sys)：在复平面上绘制连续时间LTI系统传递函数的零极点图，极点为’x’，零点为’o’。（2）根据初始值，从H(s)的极点可以求yzi(t)。即

，系数Ai由系统初值确定。4.6线性时不变系统的系统函数2024/10/16734.6.3系统函数的应用我们已经看到，描述系统有多种方式，系统的微分方程、系统的单位冲激响应、系统函数都能完整地表达系统的特性。因此，通过对系统函数的研究，可以有许多方面的应用。（1）根据H(s)可写出系统的微分方程。4.6线性时不变系统的系统函数2024/10/