江苏省南京秦淮外国语学校2024-2025学年八年级数学上学期月考卷

秦外八上月考卷一．选择题（共6小题）1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是A． B． C． D．2．如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点，交边于点，若长为，长为，则的长为A． B． C． D．3．如图，，，，，，则的度数等于A． B． C． D．4．如图，每个小方格的边长为1，，两点都在小方格的顶点上，点也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点的个数为A．1 B．2 C．3 D．45．如图，已知△和△都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④，其中正确结论的个数有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，，点在上，且，点到射线的距离为，点在射线上，，若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是A．或 B． C． D．或二．填空题（共12小题）7．如图，，请你添加一个条件：，使（只添一个即可）．8．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放．若，则．的点在角的平分线上.10．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，交于点．再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点．作直线，若直线经过点，则的度数为．11．如图，已知，，，、、在同一直线上，则的度数为．12．如图，在中，，，延长到，使得，连接，过点作，且．连接，与的延长线交于点，则的长为．13．如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动，已知点的运动速度是．则经过，与全等．14．如图，是外一点，，分别平分的外角，，若，则．（用含的代数式表示）15．如图，等腰三角形的底边长为10，面积是125，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为．16．如图，在边长为10的正方形中，点是边的中点，、分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为．17．如图，，，是内的一条射线，且，为上一动点，则的最大值是．18．一个三角形有一内角为，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是．三．解答题（共8小题）19．定理证明：三角形的三条角平分线相交于一点．20．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．21．代数推理：对于有理数请比较的大小.22．尺规作图：（1）已知点为内部一点，过点用直尺和圆规作直线,直线交、于点，使得．（两种方法）（2）已知点为内部一点，过点用直尺和圆规作直线,直线交、于点，使得为等边三角形.23．阅读理解和问题解决（1）如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接．此时构造出一对全等的三角形为：，全等的依据为，于是可推得，，这样就把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是；（2）如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，请你参考问题（1）的解答思路求证：．24．如图，已知等腰中，，平分交于点．点、在斜边上，于点，交于点，且满足，过点作垂直的延长线于点．（1）求证：是等腰三角形；（2）试探究与的数量关系，并说明理由．25．如图，在中，，，是中点，连接．点在线段上（不与点，重合），连接，点在的延长线上且，连接．（1）比较与的大小，并证明；（2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．26．已知中，，，为边的中点，，将绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于，．（1）当绕点旋转到于时，如图①所示，试证明．（2）当绕点旋转到和不垂直时，如图②图③所示，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，试说明，与之间的数量关系，并证明．

八年级数学练习参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：，，选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：．2．如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点，交边于点，若长为，长为，则的长为A． B． C． D．【分析】根据线段垂直平分线的性质解决此题．【解答】解：是的垂直平分线，．．故选：．3．如图，，，，，，则的度数等于A． B． C． D．【分析】在中，利用外角的知识求出的度数，再根据，得出，这样即可得出答案．【解答】解：由题意得：，，又（三角形外角的性质），，又，．故选：．4．如图，每个小方格的边长为1，，两点都在小方格的顶点上，点也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点的个数为A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据“两圆一线”画图找点即可．【解答】解：如图，点与、、重合时，均满足是等腰三角形，故选：．5．如图，已知△和△都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④，其中正确结论的个数有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①证明△△，再利用全等三角形的性质即可判断；②由△△可得，再由、证得即可判定；③分别过作、，根据全等三角形面积相等和，证得，即平分，即可判定；④由平分结合即可判定．【解答】解：，，即，在△和△中，，△△，．故①正确；△△，，、，，，故②正确；分别过作、垂足分别为、，△△，，，，，平分，无法证明平分．故③错误；平分，，，故④正确．故选：．6．如图，，点在上，且，点到射线的距离为，点在射线上，，若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是A．或 B． C． D．或【分析】分情况讨论，结合图形，即可得到答案．【解答】解：当时，，是直角三角形，的形状，大小是唯一确定的；当时，如图，有两种情况； 当时，的形状，大小是唯一确定的．或．故选：．二．填空题（共12小题）7．如图，，请你添加一个条件：答案不唯一，如，使（只添一个即可）．【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．【解答】解：添加的条件是，理由是：，在和中，，，故答案为：答案不唯一，如．8．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放．若，则105．【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：，，，．故答案为：105．9．的点在角的平分线上．【解答】解：如果角内部一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的角平分线上，故答案为：角的内部到角两边距离相等10．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，交于点．再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点．作直线，若直线经过点，则的度数为126．【分析】连接、，如图，设，利用基本作图得到，则，所以，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到，接着利用得到，则根据求出，然后利用三角形外角性质计算的度数．【解答】解：连接、，如图，设，由作法得垂直平分，，，，，，，，，，解得，．故答案为126．11．如图，已知，，，、、在同一直线上，则的度数为．【分析】由“”可证，可得，即可求解．【解答】解：，，在和中，，，，，，，故答案为：．12．如图，在中，，，延长到，使得，连接，过点作，且．连接，与的延长线交于点，则的长为．【分析】作，交的延长线于点，可证明，得，，因为，，所以，，求得，再证明，得，则，于是得到问题的答案．【解答】解：作，交的延长线于点，，，，，在和中，，，，，，，，，，在和中，，，，，故答案为：．13．如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动，已知点的运动速度是．则经过1或4，与全等．【分析】设运动的时间为，由条件分两种情况，当时，则有，由条件可得到关于的方程，当，则有，同样可得出的方程，可求出的值．【解答】解：分两种情况：①当，时，，，，，，，，点从点出发在线段上以的速度向点运动，；②当，时，，由题意得：，解得：，故答案为：1或4．14．如图，是外一点，，分别平分的外角，，若，则．（用含的代数式表示）【分析】依据三角形内角和定理以及平角的定义，即可得到，再根据角平分线的定义，即可得到，，最后依据三角形内角和定理进行计算，即可得到的表达式．【解答】解：，，，又，分别平分的外角，，，，中，，故答案为：．15．如图，等腰三角形的底边长为10，面积是125，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为30．【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接，．是等腰三角形，点是边的中点，，，解得，是线段的垂直平分线，点关于直线的对称点为点，，，的长为的最小值，的周长最短．故答案为：30．16．如图，在边长为10的正方形中，点是边的中点，、分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为30．【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，根据两点之间线段最短即可解决问题．【解答】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，，四边形的周长的最小值，正方形的边长为10，,,四边形的周长的最小值为=5+25=30．故答案为：24．17．如图，，，是内的一条射线，且，为上一动点，则的最大值是5．【分析】作点关于射线的对称点，连接、．则，，是等边三角形，在△中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．所以的最大值是5．【解答】解：如图．作点关于射线的对称点，连接、．则，，，．，，△是等边三角形，，在△中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．的最大值是5．故答案为：5．18．一个三角形有一内角为，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是，，，，．【分析】当它为顶角时，根据等腰三角形的性质，可以求得最大角是90度，如图①所示；当它是侧角时，用同样的方法，可求得最大角有4种情况．【解答】解：如图①所示，当时，那么它的最大内角是当时，有以下4种情况，故答案为：，，，，三．解答题（共8小题）19．定理证明：三角形的三条角平分线相交于一点．【分析】过作于，于，于，根据角平分线的性质得出，，求出，再得出答案即可．【解答】解：设和交于，过作于，于，于，、分别是角平分线，，，，，，在的平分线上，即的角平分线、、交于一点．所以三角形的三条角平分相交于一点．20．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．【分析】在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理求出的长，再由及的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，根据四边形的面积直角三角形的面积直角三角形的面积，即可求出四边形的面积．【解答】解：，为直角三角形，又，，根据勾股定理得：，又，，，，，为直角三角形，，则．故四边形的面积是36．代数推理：对于有理数请比较的大小.【解答】作差法：①当；②当；③当；22．尺规作图：（1）已知点为内部一点，过点用直尺和圆规作直线,直线交、于点，使得．（两种方法）（2）已知点为内部一点，过点用直尺和圆规作直线,直线交、于点，使得为等边三角形.【解答】23．阅读理解和问题解决（1）如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接．此时构造出一对全等的三角形为：，全等的依据为，于是可推得，，这样就把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是；（2）如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，请你参考问题（1）的解答思路求证：．【分析】（1）由辅助线作法得，由是的中线得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，，而，根据三角形三边的关系得，所以，于是得到问题的答案；（2）延长到点，使，连接、、，先证明，得，根据三角形的三边关系得，则，由垂直平分得，所以．【解答】（1）解：如图1，延长到点，使，连接，是的中线，，在和中，，，，，，且，，，故答案为：，，，，，．（2）证明：如图2，延长到点，使，连接、、，是边上的中点，，在和中，，，，，，，，垂直平分，，．24．如图，已知等腰中，，平分交于点．点、在斜边上，于点，交于点，且满足，过点作垂直的延长线于点．（1）求证：是等腰三角形；（2）试探究与的数量关系，并说明理由．【分析】（1）通过计算，求得，从而命题得证；（2）根据角的计算，求得，进而得出，进而证明及，进一步可求得结果．【解答】（1）证明：如图1，，，，平分，，，，，，，，，，是等腰三角形；（2）解：如图3，，理由如下：由（1）知：，，，，，，，，，，，，，，，，；25．如图，在中