2025届高考数学基础总复习提升之专题突破详解专题19空间几何体的表面积和体积含解析

PAGEPAGE1专题19空间几何体的表面积和体积一．命题类型1.几何体的体积2.与球有关的面积问题3.空间几何体的体积、面积与函数的综合4.面积、体积的最值问题5.折、展、转等问题6.与三视图有关的几何体表面积和体积【学习目标】1．相识柱、锥、台、球及其简洁组合体的结构特征，驾驭柱、锥的简洁几何体性质．2．了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图)，了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系．3．能画出简洁空间图形及实物的三视图与直观图，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．4．会用平行投影与中心投影两种方法画出简洁空间图形的三视图与直观图．2.三视图空间几何体的三视图由平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形态和大小是全等和相等的，三视图包括正视、侧视、俯视．3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取相互垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段在直观图中平行于x′轴、y′轴；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．1.有关斜二测画法的常用结论与方法(1)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原平面图形的面积S之间的关系是S′＝eq\f(\r(2),4)S.(2)对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的方法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置.2.有关三视图的基本规律(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方视察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.(2)由三视图想象几何体特征时要依据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则.3.特殊多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.特殊地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱).(2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥.特殊地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体.(3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱.二．命题类型举例及防陷阱措施1.几何体的体积例1.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深化的探讨，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱的体积为（）A.B.C.1D.2【答案】D∴当“阳马”即四棱锥体积最大时，，此时“堑堵”即三棱柱的体积：

故选D练习1.17世纪日本数学家们对于数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式“V＝kD3”中的常数k称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，D为直径，类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V＝kD3，其中，在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长．假设运用此“会玉术”，求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么，k1∶k2∶k3＝()A.∶∶1B.∶∶2C.1∶3∶D.1∶∶【答案】D【解析】球中，；等边圆柱中，；正方体中，；所以.故选D.练习2.正棱锥的高缩小为原来的，底面外接圆半径扩大为原来的3倍，则它的体积是原来体积的()A.B.C.D.【答案】B【解析】设原棱锥高为h，底面面积为S，则V＝Sh，新棱锥的高为，底面面积为9S，∴V′＝·9S·，∴＝.选B.练习3.已知四棱锥的顶点都在半径的球面上，底面是正方形，且底面经过球心，是的中点，底面，则该四棱锥的体积等于__________．【答案】【解析】画出如下图形，练习4．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点，，，分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为_______.【答案】【解析】因为，，，分别为所在棱的中点，所以棱柱的体积，设甲中水面的高度为，则，故答案为.练习5.已知球O的直径PQ＝4，A，B，C是球O球面上的三点，△ABC是等边三角形，且∠APQ＝∠BPQ＝∠CPQ＝30°，则三棱锥P－ABC的体积为________．【答案】【解析】设球心为三角形截面小圆的圆心为，

∵是等边三角形，

∴在面的投影是等边的重心（此时四心合一）是直径，

是等边的重心∴等边的高三棱锥体积即答案为练习6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则三棱锥A－B1D1D的体积为________cm3.【答案】3【解析】长方体中的底面是正方形．连接交于，则又

2.与球有关的面积问题例2.已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，，，，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因为平面，所以，又因为，所以，所以三棱锥的外接球就是以为长宽高的长方体的外接球，所以外接球的直径等于长方体的对角线，可得，此三棱锥外接球的表面积为，故选C.练习1.18．已知三棱锥中，侧面底面，则三棱锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】建系以AB为x轴，以AC为y轴，以A点为原点，建系，球心肯定在底面三角形ABC的外心的正上方，设球心点坐标为O（2，2，z）,P(0,3,1),C(0,4,0),依据球心的定义知|OC|=|OP|即故圆心为，半径为OC=3表面积为36.故答案为：D.【方法总结】：这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。一般三试图还原的问题，可以放到特殊的正方体或者长方体中找原图。找外接球的球心，常见方法有：提圆心；建系，直角三角形共斜边则求心在斜边的中点上。练习2.如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC＝PD，连接PC，得到三棱锥P－BCD，若该三棱锥的全部顶点都在同一球面上，则该球的表面积是()A.7πB.5πC.3πD.π【答案】A答案A练习3.若正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为()A.64πB.32πC.16πD.8π【答案】A【解析】如图，球心到四个顶点的距离相等，

∵正三棱锥中，底面边长为6，在直角三角形中，由得

∴外接球的半径为4，表面积为

故选A．练习4.已知是球上的点，,，,则球的表面积等于________________．【答案】【解析】练习5.．已知三棱锥的全部顶点都在球的球面上，是球的直径，若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为__________．【答案】【解析】【方法总结】(1)求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，留意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.(2)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何学问找寻几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.3.空间几何体的体积、面积与函数的综合例3.如图，在棱长为1的正四面体S－ABC中，O是四面体的中心，平面PQR∥平面ABC，设SP＝x(0≤x≤1)，三棱锥O－PQR的体积为V＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象大致为()A.B.C.D.【答案】A【解析】设点究竟面的距离为，底面的面积为∴三棱锥的体积为当点从到的过程为底面积始终再增大，高先削减再增大，当底面经过点时，高为0，

∴体积先增大，后削减，再增大，

故选A4.面积、体积的最值问题例4.∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，则三棱锥D­AEF体积的最大值为________．【答案】【解析】因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AF.又AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以AF⊥EF，AF⊥DB.又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平面AEF，所以DE为三棱锥DAEF的高．因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高，所以AE＝，设AF＝a，FE＝b，则△AEF的面积S＝ab≤·＝，所以三棱锥DAEF的体积V≤(当且仅当a＝b＝1时等号成立)．练习1.在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．已知小正方形网格的边长为1，那么该四面体的四个面中，面积最大的面的面积是_______.【答案】12【解析】由三视图知：几何体是三棱锥，边长为4的等腰直角三角形为底面，高为4，（如图），为直角三角形，∴中，即为直角三角形面积为与面积相等，为，中，的面积为故答案为12．【方法总结】本题考查的学问点是三视图投影关系，依据已知的三视图，推断几何体的形态和尺寸关系是解答的关键．练习2.把长和宽分别为和2的长方形沿对角线折成的二面角，下列正确的命题序号是__________．①四面体外接球的体积随的变更而变更；②的长度随的增大而增大；③当时，长度最长；④当时，长度等于.【答案】②④【解析】是矩形，，,的长度随的增大而增大，②对；因为，所以无最大值，③错；当时，，④对，正确的命题序号是②④.故答案为②④.【方法规律】本题主要通过对多个命题真假的推断，主要综合考查二面角的应用、多面体外接球的体积、余弦定理的应用、空间两点间的距离，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处学问点驾驭不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要留意从简洁的自己已经驾驭的学问点入手，然后集中精力突破较难的命题.解答本题的关键是，将表示为二面角的函数.练习3.已知矩形,沿对角线将它折成三棱椎，若三棱椎外接球的体积为，则该矩形的面积最大值为________.【答案】练习4．如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为__________．【答案】【解析】，平面，设，则五棱锥的体积，，得或（舍去），当时，单调递增，故，即的取值范围是，故答案为.55.折、展、转等问题例5.如图1，已知知矩形中，点是边上的点，与相交于点,且，现将沿折起，如图2,点的位置记为，此时.（1）求证：面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）推导出，，，由此能证明面；（2）推导出，，，，由此能求出三棱锥的体积.试题解析：（1）证明：∵为矩形，,∴，因此，图2中，又∵交于点，∴面.（2）∵矩形中，点是边上的点，与相交于点，且∴，，∽∴∴，，∵∴∴∴三棱锥的体积.【方法规律总结】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可干脆用公式求解的柱体、锥体或台体，则可干脆利用公式进行求解；(2)若所给定的几何体的体积不能干脆利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解；(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先依据三视图得到几何体的直观图，然后依据条件求解．练习1如图，一张纸的长、宽分别为2a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点，现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体，关于该多面体的下列命题，正确的是________(写出全部正确命题的序号).①该多面体是三棱锥；②平面BAD⊥平面BCD；③平面BAC⊥平面ACD；④该多面体外接球的表面积为5πa2.【答案】①②③④③与②同理，可得平面BAC⊥平面ACD，正确.④该多面体外接球的半径为a，表面积为5πa2，正确.【方法规律总结】:立体几何中折叠问题,要留意折叠前后垂直关系的变更,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.练习2．将半径为R的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，则r1＋r2＋r3的值为__________．【答案】R【解析】∵2πr1=，∴r1=，同理r2=，r3=∴r1+r2+r3=R，故答案为：R．练习3．如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正四边形的中心为.为圆上的点分别是以为底边的等腰三角形.沿线剪开后，别以为折痕折起,使得重合，得到四棱锥记该四棱锥的体积，表面积分别是当，则_________.【答案】【解析】，则四棱锥的高，所以体积，表面积，所以。练习4.长方形中，，是中点（图1）．将△沿折起，使得（图2）．在图2中：（1）求证：平面平面；（2）若，，求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析（2）．【解析】试题分析：（1）要证两平面垂直，就要证线面垂直，也就要证线线垂直，由长方形的条件可得，再结合已知垂直，可得平面，从而可得面面垂直；（2）由可知到平面的距离等于到平面的距离的，而到平面的距离，只要过作于，则的长就是到平面的距离，从而易求得棱锥的体积．试题解析：（1）长方形中，连结，在因为，是中点，所以，从而，所以．因为，，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）设是中点，连结，则，．因为平面平面，交线是，所以平面．因为，所以到平面距离等于．因为，所以，，△面积为．所以三棱锥的体积为．6.与三视图有关的几何体表面积和体积例6.某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A.B.C.D.【答案】A【解析】由三视图可知，该四棱锥直观图如图（图中正四棱柱的底面边长为，高为，为棱的三等分点），由图可知四棱锥底面为边长为和的矩形，高为的四棱锥，体积为，故选A.练习1．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为A.2B.3C.4D.6【答案】A【解析】由条件知原图是一个地面为梯形的即俯视图这样的梯形，的四棱锥，它的体积为：故答案为：A.练习2.如图，在边长为1的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A.15B.13C.12D.9【答案】B等于×(5×2)×3=10,三棱锥E-FBC的体积等于因此题中的多面体的体积等于10+3=13.故选B.练习3.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.7B.9C.11D.13【答案】B练习4．某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，则该此几何体的体积为A.B.C.D.【答案】A【解析】该几何体是一个半球上面有一个三棱锥，体积为，故选A.练习5．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．假如小正方形网格的边长为1，那么该四面体的体积是A.B.C.D.【答案】A练习6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形，俯视图为两个正方形，则该几何体的表面积为（）A.B.61C.62D.73【答案】C【解析】由三视图画出几何体如图所示，上、下底面分别为边长是1、4的正方形；前、后两个侧面是上底为1，下底为4，高为4的梯形；左、右两个侧面是上底为1，下底为4，高为5的梯形．其表面积为．选C．练习7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.＋πB.＋πC.＋2πD.＋2π【答案】A三．高考真题演练1.【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，结合勾股定理，底面半径，由圆柱的体积公式可得：圆柱的体积是，故选B.【考点】圆柱的体积公式【名师点睛】(1)求解以空间几何体的体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能干脆利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.2.【2017课标II，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积，上半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱的一半，其体积，该组合体的体积为：。故选B。【考点】三视图；组合体的体积【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形态时，要从三个视图综合考虑，依据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不行见轮廓线在三视图中为虚线。在还原空间几何体实际形态时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑。求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形态以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解。3.【2017天津，理10】已知一个正方体的全部顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为.【答案】【考点】球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两相互垂直时，可复原为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再依据勾股定理求球的半径；（3）假如设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.4.【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】试题分析： 该几何体直观图如图所示：考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象实力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.5.【2014高考北京理第8题】如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，则四面体P—EFQA．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关【答案】D【解析】试题分析：∵DC∥A1B1，EF＝1，∴S△EFQ＝×1×2＝(定值)．而点P到面EFQ的距离为P到面A1DCB1的距离，为DP·sin45°＝z.∴V四面体P—EFQ＝××z＝z.考点：点到面的距离;锥体的体积.【名师点睛】本题考查空间下几何体中相应点的坐标以及四面体的体积，点到面的距离，本题属于基础题，要精确确定三角形的底和高，利用锥体的体积求出多面体的体积.6.【2014湖南7】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图,侧视图,俯视图的内切圆半径最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径,则,故选B.【考点定位】三视图内切圆球三棱柱【名师点睛】解决有关三视图的题目，主要是依据三视图首先得到几何体的空间结构图形，然后运用有关立体几何的学问进行发觉计算即可，问题在于如何正确的判定几何体的空间结构，主要是依据“长对正，高平齐，宽相等”进行推断.7.【2015高考山东，理7】在梯形中，，.将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（A）QUOTE（B）QUOTE（C）QUOTE（D）【答案】C【解析】直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为：故选C.【考点定位】1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.【名师点睛】本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算，重点考查了圆柱、圆锥的结构特征和体积的计算，体现了对学生空间想象实力以及基本运算实力的考查，此题属中档题.8.【2014高考陕西版理第5题】已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）【答案】【解析】考点：正四棱柱的几何特征；球的体积.【名师点晴】本题主要考查的是正四棱柱的几何特征；球的体积，属于简洁题．解题时肯定要留意正四棱柱的几何特征（事实上是一个特殊的长方体），求出球的直径，进而得到半径，然后利用球的体积公式干脆运算即可9.【2014新课标，理6】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因为加工前的零件半径为3，高为6，所以体积，又因为加工后的零件，左半部为小圆柱，半径为2，高4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2，所以体积，所以削掉部分的体积与原体积之比为，故选C.【考点定位】1.三视图；2.简洁几何体的体积.【名师点睛】本题考查了三视图，直观图，组合体的体积，属于中档题，留意由三视图还原几何体的解题的关键，留意计算的精确性．10.【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36πB.64πC.144πD.256π【答案】C【考点定位】外接球表面积和椎体的体积．【名师点睛】本题以球为背景考查空间几何体的体积和表面积计算，要明确球的截面性质，正确理解四面体体积最大时的情形，属于中档题．11.【2015高考新课标1，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式【名师点睛】本题以《九章算术》中的问题为材料，试题背景新奇，解答本题的关键应想到米堆是圆锥，底面周长是两个底面半径与圆的和，依据题中的条件列出关于底面半径的方程，解出底面半径，是基础题.12.【2