内蒙古奈曼旗第一中学2024-2025学年高二数学上学期期中试题文含解析

PAGE16-内蒙古奈曼旗第一中学2024-2025学年高二数学上学期期中试题文（含解析）留意事项：本卷满分（150）分，考试时间（120）分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清晰，将条形码精确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必需运用2B铅笔填涂；非选择题必需运用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清晰．3．请依据题号依次在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效．4．作图可先运用铅笔画出，确定后必需用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准运用涂改液､修正带､刮纸刀．第Ⅰ卷一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.经过两点直线的倾斜角为（）A.45° B.60° C.120° D.135°【答案】A【解析】【分析】求出斜率后，由斜率与倾斜角的关系可得倾斜角．【详解】由已知直线的斜率为，∴倾斜角为．故选：A．【点睛】本题考查求直线的倾斜角，首先求出直线斜率，然后由斜率与倾斜角关系可得．2.命题“若，则且”的否命题是（）A.若，则且B.若，则或C.若，则且D.若，则或【答案】D【解析】【分析】利用四种命题关系求解.【详解】“若，则且”的否命题是：若，则或故选：D【点睛】本题主要考查四种命题的关系，属于基础题.3.已知圆与圆，则两圆的位置关系是（）A.相交 B.外离 C.内切 D.外切【答案】D【解析】【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标与半径，再由两圆的圆心距与半径的关系得答案．【详解】解：圆的圆心坐标为，半径为2；圆的圆心坐标，半径为3．由，所以两圆的位置关系是外切．故选：D．【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判定，考查两点间距离公式的应用，是基础题．4.经过点作圆的切线，则切线的方程为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】点在圆上，所以可得,即可求出切线斜率，，进而可求出切线方程.【详解】因为点在圆上，所以，因此切线斜率为2，故切线方程为，整理得【点睛】本题主要考查圆的切线方程，属于基础题型.5.已知椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一焦点的距离为（）A2 B.3 C.5 D.7【答案】B【解析】【分析】依据椭圆的定义列方程，求得到另一个焦点的距离.【详解】依据椭圆定义可知，到两个焦点的距离之和为，所以到另一个焦点的距离为.故选：B.【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，属于基础题.6.在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率的值是（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】利用双曲线的简洁性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可.【详解】双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为可得：可得，即所以双曲线的离心率为：.故选：D.【点睛】本题考查双曲线的简洁几何性质：焦点坐标、渐近线方程、离心率，还运用双曲线中焦点到渐近线的距离为以及点到直线的距离公式：，是基础题.7.已知是两条不重合的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，是异面直线，那么与相交【答案】A【解析】分析】依据线线，线面，面面的位置关系，推断选项.【详解】若，则，故A对若，也可以在内，故B错若，也可以在内，故C错若是异面直线，与也可平行，故D错故选：A8.设正方体的全面积为24，那么其内切球的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：正方体的全面积为24，所以，设正方体的棱长为：a，6a2=24，a=2，正方体的内切球的直径就是正方体的棱长，所以球的半径为1，内切球的体积：．故选B．考点：正方体的内切球的体积．9.已知，命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】依据命题的等价关系，只需推断原命题与逆命题的真假即可.【详解】若，当时，所以原命题若，则为假命题，逆否命题与原命题的真假性相同，则逆否命题为假命题，原命题的逆命题是：若，则，若可得且，即成立，所以逆命题是真命题，又逆命题与否命题的真假性相同，则否命题为真命题，综上，四个命题中，真命题的个数是2个，故选：C【点睛】本题考查四种命题之间的关系，考查命题的真假推断，属于基础题.10.已知a∈R，则“a＜3”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行推断即可.【详解】由可得，即，则a＜3是的必要不充分条件，故选：B【点睛】本题考查充分条件和必要条件的应用，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.11.抛物线，过点，F为焦点，定点B的坐标为，则值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先依据在抛物线上求出的值，然后求得焦点坐标，进而依据两点距离公式求出、的值，即可求出结果．【详解】因为抛物线过点故选：．【点睛】本题考查了抛物线标准方程，考查了两点间的距离公式，求出和点坐标是解题的关键，属于基础题．12.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（）A.平面平面 B.异面直线与所成的角为C.二面角的大小为 D.在棱上存在点使得平面【答案】D【解析】【分析】依据线面垂直，异面直线所成角的大小以及二面角的求解方法分别进行推断即可．【详解】解：对于，取的中点，连，，侧面为正三角形，，又底面是的菱形，三角形是等边三角形，，，平面，平面平面，故正确，对于，平面，，即异面直线与所成的角为，故错误，对于，底面为菱形，，平面平面，平面，，，，”则是二面角的平面角，设，则，，在直角三角形中，，即，故二面角的大小为，故错误，对于A，平面，，所以平面，平面，所以面平面，明显平面与平面不垂直，故A错误；故选：．【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系以及二面角的求解，依据相应的推断和证明方法是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．第Ⅱ卷二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13.一束光线从点处射到轴上一点后被轴反射，则反射光线所在直线的方程是_________．【答案】【解析】【分析】求出点关于轴的对称点，可知以及在反射光线上，再利用截距式即可求解.【详解】由题得点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，再依据点也在反射光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为，即．故答案为：14.若直线与圆相切，则___________．【答案】【解析】【分析】依据题意，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程，即可求解.【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，因为直线与圆相切，所以，解得.故答案为：15.直线恒过的定点坐标是______．【答案】【解析】【分析】直线方程可化为，从而可得，解方程组即可.【详解】直线方程可化为．因为对随意，方程恒成立，所以解得故直线恒过定点．故答案为：【点睛】本题考查了直线过定点问题，考查了基本学问，属于基础题.16.已知P是椭圆上的一点，，是椭圆的两个焦点，当时，则的面积为________．【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义及余弦定理求得的值，代入三角形面积公式得答案．【详解】解：如图，由椭圆，得，，则，，，由余弦定理可得：，，即．的面积．故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的简洁性质，考查椭圆定义的应用，是中档题，三､解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在轴上，，离心率为；(2)焦点的坐标为，，渐近线方程为.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设双曲线的标准方程为，利用及离心率得双曲线方程；（2）设双曲线的标准方程为，利用c=5及得到双曲线的方程.【详解】(1)因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，其中.由及离心率得，，所以，所以，所求双曲线的标准方程为.(2)由焦点的坐标为，知双曲线的焦点在轴上，故设双曲线的标准方程为，且，①因为渐近线方程为，所以，②由①②得，，所以，所求双曲线的标准方程为.【点睛】本题考查椭圆方程和双曲线方程的求法，是基础题，解题时要仔细审题，留意双曲线的简洁性质的合理运用．18.求满意下列条件的直线的方程.（1）直线过点，且与直线平行；（2）直线过点且与直线垂直.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)利用平行设出所求直线的方程为,再代入点的坐标解出,即可得到答案;(2)利用垂直设出所求直线的方程为,再代入点的坐标解出,即可得到答案.【详解】（1）设所求直线的方程为，∵点在直线上，∴，∴.故所求直线方程为.（2）设所求直线的方程为.∵点在直线上，∴，∴.故所求直线的方程为.【点睛】本题考查了平行直线系方程和垂直直线系方程的应用,属于基础题.19.设圆的方程为（1）求该圆的圆心坐标及半径.（2）若此圆的一条弦AB的中点为，求直线AB的方程.【答案】（1）；；（2）【解析】【分析】（1）将圆的方程转化为标准形式，可得结果.（2）依据弦的中垂线过圆心，可得中垂线的斜率，然后依据垂直关系，可得直线的斜率，最终依据点斜式可得结果.【详解】（1）由圆的方程为则所以可知圆心，半径（2）由弦的中垂线为,则所以可得，故直线AB的方程为：即【点睛】本题考查圆的方程以及直线方程，难点在于对圆的几何性质的相识，属基础题.20.已知抛物线的准线方程为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）直线交抛物线于、两点，求弦长.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）8.【解析】【分析】（Ⅰ）依已知得，所以；（Ⅱ）设，，由消去，得,再利用韦达定理求弦长.【详解】（Ⅰ）依已知得，所以；（Ⅱ）设，，由消去，得，则，，所以.【点睛】本题主要考查抛物线的简洁几何性质和弦长的计算，意在考查学生对这些学问的理解实力驾驭水平及其应用实力.21.如图，直三棱柱中，是的中点，是的中点．（1）证明：平面；（2）若，，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，依据四边形为平行四边形，可得，依据直线与平面平行的判定定理可证平面；（2）现依据长度可得底面时等腰直角三角形，其斜边上的高为四棱锥的高，再依据棱锥的体积公式可得结果.【详解】（1）取的中点，连接，，如图：则，，∴，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）因为，，所以，所以，所以斜边上的高为，即四棱锥的高为，∴．【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理，考查了棱锥的体积公式，属于基础题.22.已知椭圆的短轴长为，离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）若分别是椭圆的左､右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的面积的最大值．【答案】（1）；（2）3．【解析】【分析】（1）由题意,列出方程组，求得，即可得到椭圆的标准方程；（2）设，设直线的方程为，依据根与系数的关系，求得，结合三角形的面积公式，得到，利用换元法，结合函数的单调性，即可求解.【详解】（1）由题意,椭圆的短轴长为，离心率．可得，解得，故椭圆的标准方程为.（2）设，因为直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由，得，所以，又因直线与椭圆交于不同的两点