四川省川大附中2025届高三数学上学期期中试题

PAGEPAGE13四川省川大附中2025届高三数学上学期期中试题(时间：120分钟满分：150分)第一部分（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则=（）A．B．C．D．2.若复数满意，则下列说法正确的是（）A．的虚部为2B．为实数C．D．3.设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.已知变量满意约束条件，则的最大值（）A．B．1C．4D．85.记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝eq\f(1,2)n2－2n6.函数y=sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．7.已知，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．8.在△ABC中，，BC＝1，AC＝5，则AB等于（）A．4eq\r(2)B.eq\r(30)C.eq\r(29)D．2eq\r(5)9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．10.已知递增的等比数列{an}中，a2＝6，a1＋1，a2＋2，a3成等差数列，则该数列的前6项和S6等于（）A．93B．189C．eq\f(189,16)D．37811.已知是定义域为的奇函数，满意．若，则（）A．B．0C．2D．5012.双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．其次部分（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷相应的横线上.13.曲线在点（1，2）处的切线方程为．14.直线与圆交于两点，则．15.已知向量，，．若，则．16.给出以下命题：（1）已知回来直线方程为，样本点的中心为，则；（2）已知，与的夹角为钝角，则是的充要条件；（3）函数图象关于点对称且在上单调递增；（4）命题“存在”的否定是“对于随意”.其中不正确的命题序号为．三、解答题（本大题共7小题，其中17-21题为必做题，每题12分，在22、23题选做一题，10分，共70分）17.（12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．18.（12分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参与献爱心活动．（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学担当敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；（ii）设M为事务“抽取的2名同学来自同一年级”，求事务M发生的概率．19.（12分）已知向量，，其中，函数，若函数图象的两个相邻对称中心的距离为.（1）求函数的单调递增区间；（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域．20.（12分）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，离心率，的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圈相交于点，，则直线，的斜率分别为，，且，其中是非零常数，则直线是否经过某个定点？若是，恳求出的坐标．21.（12分）已知函数（a为实常数）（1）当时，求函数在上的最大值及相应的x值；（2）当时，探讨方程的根的个数；选做题：（请在下面题目中选择一题完成，留意在答题卡对应位置将你选择的题号用2B铅笔填涂，并将选做题目答案写在规定区域）22.选修4-4（极坐标与参数方程）（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线、的直角坐标方程;（2）设曲线、交于点、，曲线与轴交于点，求线段的中点到点的距离.23.选修4-5（不等式选讲）（10分）已知函数.（1）解不等式；（2）若，，且，求证：.川大附中2025届高三上半期考试数学试题(文科)(时间：120分钟满分：150分)第一部分（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则=（）A．B．C．D．【解析】∵，∴.故选A.2.若复数满意，则下列说法正确的是（）【答案】CA．的虚部为2B．为实数C． D．3.设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】由可得，易知由推不出，由能推出，故是的必要而不充分条件，即“”是“”的必要而不充分条件.故选B.4.已知变量满意约束条件，则的最大值（）【答案】DA． B．1 C．4 D．85.记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝eq\f(1,2)n2－2n解设等差数列{an}的公差为d，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S4＝0，,a5＝5，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋\f(4×3,2)d＝0，,a1＋4d＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－3，,d＝2，))∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝n2－4n.故选A.6.函数y=sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．【解析】令，因为，所以为奇函数，解除选项A,B;因为时，，所以解除选项C，故选D．7.已知，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．【解析】∵，，，∴.故选A.8.在△ABC中，，BC＝1，AC＝5，则AB等于（）答案AA．4eq\r(2)B.eq\r(30)C.eq\r(29) D．2eq\r(5)9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）【答案】AA． B． C． D．【解析】由三视图知：几何体是以半径为1，母线为3的半圆锥，（如图）可得该圆锥的高．底面面积，几何体的体积10.已知递增的等比数列{an}中，a2＝6，a1＋1，a2＋2，a3成等差数列，则该数列的前6项和S6等于（）答案BA．93B．189C.eq\f(189,16)D．37811.已知是定义域为的奇函数，满意．若，则（）A．B．0C．2D．50【解析】因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，因为，从而.故选C．12.双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C． D．【解析】由已知可得，，故选D．其次部分（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷相应的横线上.13.曲线在点（1，2）处的切线方程为．【解析】设，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．14.直线与圆交于两点，则．【解析】依据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是2，依据点到直线的距离公式可以求得，结合圆中的特别三角形，可知，故答案为.15.已知向量，，．若，则．【解析】由题可得，，，，即，故答案为.16.给出以下命题：（1）已知回来直线方程为，样本点的中心为，则；（2）已知，与的夹角为钝角，则是的充要条件；（3）函数图象关于点对称且在上单调递增；（4）命题“存在”的否定是“对于随意”.其中不正确的命题序号为．【答案】（2）（4）【解】（1）依据回来直线恒过样本的中心点，可得，故正确；（2）由有，与的夹角为钝角或平角，所以依据充要条件的定义可推断错误.故错误；（3）把代入函数，函数值为，所以函数关于对称，由，可得所以函数在上是递增的.所以函数在上是递增的.故正确；（4）命题“存在，”的否定是“对于随意，”故错误；故答案为：（2）（4）．三、解答题（本大题共7小题，其中17-21题为必做题，每题12分，在22、23题选做一题，10分，共70分）17.（12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【解析】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC−A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.18.（12分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参与献爱心活动．（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学担当敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；（ii）设M为事务“抽取的2名同学来自同一年级”，求事务M发生的概率．【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（2）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）由（1），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事务M发生的概率为P（M）=．19.（12分）已知向量，，其中，函数，若函数图象的两个相邻对称中心的距离为.（1）求函数的单调递增区间；（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域．解（1）由题意可得f

(x)＝m·n＋3＝2cosωx(sinωx－cosωx)－2＋3＝2sinωxcosωx－(2cos2ωx－1)＝sin2ωx－cos2ωx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,4))).由题意知，T＝eq\f(2π,2ω)＝π，得ω＝1，则f

(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))).由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得kπ－eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(3π,8)，k∈Z，∴f

(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,8)，kπ＋\f(3π,8)))(k∈Z)．（2）将f

(x)的图象向左平移eq\f(π,4)个单位长度，得到y＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，得到g(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4)))的图象． ∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))，∴4x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)，\f(9π,4)))，∴－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4)))≤eq\f(\r(2),2)，故函数g(x)的值域为[－eq\r(2)，1]．20.（12分）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，离心率，的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圈相交于点，，则直线，的斜率分别为，，且，其中是非零常数，则直线是否经过某个定点？若是，恳求出的坐标．解：（1）因为，的面积，且，故解得，，，则，，则椭圆的标准方程为．（2）假设，，直线与椭圆联立得消去整理得，则，，又因为，所以，，则，即，代入韦达定理得，即，化简得，因为，则，即，代入直线得，所以恒过，故直线经过定点．21.（12分）已知函数（a为实常数）（1）当时，求函数在上的最大值及相应的x值；（2）当时，探讨方程的根的个数；解：（1）当时，，函数的定义域为．．当时，，所以函数在上为减函数，在上为增函数．，，所以函数在上的最大值为，相应的x值为e．（2）由，得．若，则在上，函数在上为增函数，由知，方程的根的个数是0；若，由，得（舍）或．若，即，在上为增函数，由知，方程的根的数是0；若，即，在上为减函数，又，，所以方程在上有1个实数根；若，即，在上为减函数，在上为增函数，又，．．当，即时，，方程在上的根的个数是0；当时，方程在上的根的个数是1；当时，，，方程在上的根的个数是2