2025年上海市春季高考模拟数学试卷试题（含答案详解）

第1页/共1页2025届上海高三春季高考数学试卷时间：120分钟满分：150一､填空题：1.已知集合，集合，则____.2.若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数_________.3.现从甲、乙、丙人中随机选派人参加某项活动，则甲被选中的概率为__________.4.若一组数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差__．5.在平面直角坐标系中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为，且它的一个顶点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为____.6.设函数，若，，成等差数列（公差不为零），则______.7.已知下列两个命题：，不等式恒成立；，有最小值．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是__________．8.设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是________．9.已知，，求使向量与向量的夹角为锐角的的取值范围______.10.已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是______.11.如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形的面积为，则的最小值是______.12.给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域为，值域为；②函数在上增函数；③函数是周期函数，最小正周期为；④函数的图象关于直线对称.其中正确命题序号是________二､选择题：13.设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件14关于函数有下述四个结论：①是偶函数②的最大值为2③在有4个零点④在区间单调递减其中所有正确结论的编号是（）A.①②④ B.②③④ C.①③④ D.①②③15.如图，面为的中点，为内的动点，且到直线的距离为则的最大值为A.30° B.60°C.90° D.120°16.已知数列{an}满足：an（n∈N*）．若正整数k（k≥5）使得a12+a22+…+ak2＝a1a2…ak成立，则k＝（）A.16 B.17 C.18 D.19三､解答题：17.在平面直角坐标系中，已知点、，其中.（1）若，求证：.（2）若，求的值.18.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.19.某化工单位采取新工艺、把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨．最多为600吨，处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．已知月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为．每吨的平均处理成本．（1）该单位每月处理为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆，设圆T与椭圆C交于点M与点N.（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值.21.已知函数（1）若为极值点，求实数的值；（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；（3）当时，方程有实根，求实数的最大值．答案详解一､填空题：1.已知集合，集合，则____.【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意可知集合A表示四个实数，而集合B表示非负实数，所以两个集合交集为.最后结果需用集合形式，是解答本类题目的注意点.考点：集合的运算.2.若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数_________.【答案】【解析】【详解】试题分析：先由复数乘法化为，再由纯虚数的概念得即正确解答本题需正确理解纯虚数概念.考点：复数运算，纯虚数的概念.3.现从甲、乙、丙人中随机选派人参加某项活动，则甲被选中的概率为__________.【答案】【解析】【详解】试题分析：从甲、乙、丙人中随机选派人，共有甲乙、甲丙、乙丙三种选法，其中甲被选中有甲乙、甲丙两种选法，所以甲被选中的概率为.枚举法是求古典概型概率的一个有效方法.考点：古典概型概率计算方法.4.若一组数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差__．【答案】##5.2【解析】【分析】根据已知条件，结合平均数和方差的公式，运算求解．【详解】由题意可得：，解得a＝5，∴该组数据的方差故答案为：．5.在平面直角坐标系中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为，且它的一个顶点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为____.【答案】【解析】【详解】试题分析：因为抛物线的焦点为所以又所以而双曲线的渐近线方程为即.解答本题需注意双曲线的焦点位置.考点：双曲线的渐近线及准线，抛物线焦点.6.设函数，若，，成等差数列（公差不为零），则______.【答案】2【解析】【分析】由题意可得，化简，代入化简即可.【详解】因为，，成等差数列，所以，故答案为：2【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及分式的加减运算，属于基础题.7.已知下列两个命题：，不等式恒成立；，有最小值．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是__________．【答案】或.【解析】【分析】根据函数恒成立的等价条件及基本不等式，我们可以求出为真命题时，实数的取值范围；根据复合函数单调性及指数函数单调性，对数函数的最值，我们可以求出为真命题时，实数的取值范围；根据两个命题中有且只有一个是真命题，我们分真假和假真，两种情况讨论，即可得到实数的取值范围．【详解】解：，不等式恒成立；即恒成立；由于的最小值为2，故为真命题时，，有最小值．表示以为底的对数函数为增函数，且恒成立即，解得故为真命题时，两个命题中有且只有一个是真命题，当真假时，或，，，或，当假真时，这样的值不存在故实数的取值范围是或故答案为：或.【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假，全称命题，二次函数的性质，对数函数的值域与最值，函数恒成立问题，基本不等式在求最值时的应用，其中分别求出命题和命题为真命题时，实数的取值范围，是解答本题的关键．8.设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是________．【答案】2x2﹣2y2=1【解析】【详解】试题分析：椭圆中，∵中心在原点的双曲线与椭圆有公共的焦点，∴双曲线中，∵椭圆的离心率为，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴双曲线的离心率为，∴双曲线中，，，∴双曲线的方程为.考点：1.双曲线的标准方程；2.椭圆的简单性质；3.双曲线的简单性质．9.已知，，求使向量与向量的夹角为锐角的的取值范围______.【答案】且【解析】【分析】根据向量的夹角为锐角其数量积大于0，且不同向共线，即可得答案；【详解】，，，即，又，不共线，∴，∴且.故答案为：且.【点睛】本题考查向量夹角的计算，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量同向共线夹角不为锐角.10.已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据的范围确定的值域和的值域，根据成立，推出的值域和的值域交集非空，先求二者交集为空集时的取值范围，进而可求交集非空时的取值范围.【详解】当时，在上单调递减，所以，即，，当时，，所以，可得在单调递增，所以，即，所以的值域为，因为且，所以，即，因为，所以，所以所以的值域为，因为存在，使得成立，所以，若，则或，此时或，所以当时，的取值范围是：.所以实数的取值范围是，故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调性的判断，利用了导数研究函数的单调性，同时考查了利用单调性研究函数的值域问题，属于中档题.11.如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形的面积为，则的最小值是______.【答案】【解析】【分析】设，结合椭圆的几何性质，求得梯形的面积为，化简得到，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】设，因为，可得且，所以梯形的面积为，则，所以，令，可得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，即.故答案为：.【点睛】本题主要考查了椭圆标准方程及几何性质，以及导数的实际应用，其中解答中结合椭圆的几何性质，求得梯形的面积，利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12.给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域为，值域为；②函数在上是增函数；③函数是周期函数，最小正周期为；④函数的图象关于直线对称.其中正确命题的序号是________【答案】①③④【解析】【分析】求出函数的定义域和值域，可判断①；化简函数在上的解析式，可判断②的正误；利用函数周期性的定义可判断③；利用函数对称性的定义可判断④.【详解】对于①，函数的定义域为，对任意的，存在，使得，则，可得，则，①对；对于②，，当时，则，此时，则函数在上不单调，②错；对于③，对任意的，存在，使得，则，，所以，，故函数是周期函数，最小正周期为，③对；对于④，当时，则存在，使得，所以，，则，，，则，所以，，当时，则，，则，此时，，此时，综上所述，对任意的，当时，.所以，函数的图象关于直线对称，④对.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题考查函数基本性质的判断，解题的关键在于充分利用函数的新定义，结合函数基本性质的定义判断即可.二､选择题：13.设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可．【详解】由“”，得，得或或，即或或，由，得，故“”是“”的必要不充分条件，故选C．【点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题．14.关于函数有下述四个结论：①是偶函数②的最大值为2③在有4个零点④在区间单调递减其中所有正确结论的编号是（）A.①②④ B.②③④ C.①③④ D.①②③【答案】A【解析】【分析】函数的奇偶性可根据定义判断，最值、零点、单调性等可将函数去绝对值进行分析.【详解】解：定义域为，因为，故为偶函数，结论①正确，当，当，故当时，根据函数为偶函数，作出大致图象，如图所示故函数最大值为2，结论②正确，根据图象可得，在有3个零点，故结论③错误，由图象可以看出，在区间单调递减，结论④正确.故选：A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、三角函数的图象与性质，考查学生的推理论证能力和运算求解能力等.15.如图，面为的中点，为内的动点，且到直线的距离为则的最大值为A.30° B.60°C.90° D.120°【答案】B【解析】【详解】试题分析：解：空间中到直线CD的距离为的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆，所以P在α内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，b=，a=，则c=1，于是A，B为椭圆的焦点，椭圆上点关于两焦点的张角，在短轴的端点取得最大，故为60°．故选B考点：椭圆的简单几何性质点评：本题是立体几何与解析几何知识交汇试题，题目新，考查空间想象能力，计算能力．16.已知数列{an}满足：an（n∈N*）．若正整数k（k≥5）使得a12+a22+…+ak2＝a1a2…ak成立，则k＝（）A.16 B.17 C.18 D.19【答案】B【解析】【分析】由题意可得a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝2，a6＝a1a2a3…a5﹣1＝25﹣1＝31，n≥6时，a1a2…an﹣1＝1+an，将n换为n+1，两式相除整理得an2＝an+1﹣an+1，n≥6，求得a62+a72+…+ak2＝ak+1﹣a6+k﹣5，结合已知条件，即可得到所求值．【详解】解：an（n∈N*），即a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝2，a6＝a1a2a3…a5﹣1＝25﹣1＝31，n≥6时，a1a2…an﹣1＝1+an，所以a1a2…an＝1+an+1，两式相除可得an，则an2＝an+1﹣an+1，n≥6，由a62＝a7﹣a6+1，a72＝a8﹣a7+1，…，ak2＝ak+1﹣ak+1，k≥5，可得a62+a72+…+ak2＝ak+1﹣a6+k﹣5a12+a22+…+ak2＝20+ak+1﹣a6+k﹣5＝ak+1+k﹣16，且a1a2…ak＝1+ak+1，正整数k（k≥5）使得a12+a22+…+ak2＝a1a2…ak成立，则ak+1+k﹣16＝ak+1+1，则k＝17，故选：B．【点睛】本题考查数列的递推公式，考查累加法求和，解题关键是由n≥6时，a1a2…an﹣1＝1+an，a1a2…an＝1+an+1，两式相除得出，目的是配出．三､解答题：17.在平面直角坐标系中，已知点、，其中.（1）若，求证：.（2）若，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）用坐标表示出，，求出它们的数量积，利用可证.（2）由，可求解得，进而可求得，即可求得.【详解】（1）由题设知，.所以因为，所以.故.（2）因为，所以，即，解得.因为，所以.因此，.从而.【点睛】本题以向量为载体，考查三角函数，数量积的运算，考查两角和的正弦公式，属于中档题.18.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见详解；（2）.【解析】【分析】（1）连接与交于点，连接，由三角形中位线定理，可得，由线面平行的判定定理，即可得平面.（2）由已知中正方体的棱长为2，点到平面的距离为1，求出棱锥底面面积，代入棱锥体积公式，即可求出三棱锥的体积.【详解】（1）连接与交于点，连接；因为为的中点，为的中点.所以，又平面，平面.所以平面.（2）由于点到平面的距离为1，故三棱锥的体积.【点睛】本题考查了线面平行的判定，等体积法求三棱锥的体积，属于中档题.19.某化工单位采取新工艺、把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨．最多为600吨，处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．已知月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为．每吨的平均处理成本．（1）该单位每月处理为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【答案】（1）吨（2）该单位每月不能获利，需要国家至少补贴40000元才能使单位不亏损【解析】【分析】（1）设每吨的平均处理成本为（元），得到，结合基本不等式求解即可；（2）设该单位每月获利（元），得到函数表达式，结合二次函数性质求解即可.【小问1详解】设每吨的平均处理成本为（元），则，则，当且仅当，即时等号成立，所以该单位每月处理为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低【小问2详解】设该单位每月获利（元），则，函数图像开口向下，对称轴，所以函数在单调递减，所以，所以该单位每月不能获利，需要国家至少补贴40000元才能使单位不亏损20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆，设圆T与椭圆C交于点M与点N.（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）依题意，得，，由此能求出椭圆C的方程.（2）点与点关于轴对称，设，，设，由于点在椭圆C上，故，由，知，由此能求出圆T的方程.（3）设，则直线MP的方程为：，令，得，同理：，由此能证