流体力学-第一讲-场论与张量分析初步

流体力学-第一讲场论与张量分析初步流体力学-第一讲场论与张量分析初步流体力学-第一讲场论与张量分析初步工程流体力学从实用角度，对工程中涉及的问题建立相应的理论基础，并进行计算。静力学运动学以理想流体为主动力学引言以理论分析为主，讨论实际流体运动规律。运动学动力学高等流体力学以实际流体为主对于实际流体讨论了管流阻力计算,是在理想流体得出规律基础上进行修正,并结合实验.1/6/20212工程流体力学从实用角度，对工程中涉及的问题建立相应的理论基础，并进行计算。静力学运动学以理想流体为主动力学引言以理论分析为主，讨论实际流体运动规律。运动学动力学高等流体力学以实际流体为主对于实际流体讨论了管流阻力计算,是在理想流体得出规律基础上进行修正,并结合实验.10/16/20242主要内容：第一章场论与张量分析初步第二章流体运动学第三章流体力学基本方程组第四章粘性流动基础第五章Navier-Stokes方程的解第六章边界层理论第七章流体的旋涡运动第八章湍流理论10/16/20243第一章场论与张量分析初步第一节

场论简述第二节

张量初步第三节雅可比行列式10/16/20244第一节

场论简述

基本概念场的几何表示标量场的梯度向量的散度向量的旋度哈密顿算子▽和场论的基本运算公式10/16/20245一

基本概念1.场（field）：设在空间中的某一区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。标量场（scalarfield）：向量场（vectorfield）：g=f(r,t)均匀场（homogeneousfield）：非均匀场（non-homogenousfield）：定常流场（steadyfield）：非定常流场(unsteadyfield)：10/16/20246(1)标量:是一维的量，它只须1个数量及单位来表示，它独立于坐标系的选择。流体的温度，密度等均是标量。(2)向量(矢量):不仅有数量的大小而且有指定的方向，它必须由某一空间坐标系的3个坐标轴方向的分量来表示,因此向量是三维的量。速度,加速度是向量.常用黑体字母x、u表示空间坐标位置向量和流速向量。也用类似表示。10/16/20247对于笛卡儿坐标，X的3个分量为x1，x2，x3。而三个坐标方向的单位分别用e1，e2，e3表示。有时也常用i，,j，k表示。因此位置向量和速度向量可以写为：向量的加减：10/16/20248矢量的标量积(数量积)（点积）(内积)：功:当力F作用在质点上使之移动一无限小位移ds,此力所做功定义为力在位移方向的投影乘以位移的大小.10/16/2024910/16/202410矢量的矢量积(向量积)（叉乘）(外积)：

组成平行四边行的面积右手法则，拇指方向即为c方向，由a指向b10/16/202411平面面积可作为一个向量10/16/202412数量三重积：

循环置换向量次序,结果不变.改变循环向量次序,符号改变.10/16/202413数量三重积几何意义：作为平行六面体的体积。10/16/202414向量三重积：

括号不能交换或移动10/16/202415二、场的几何表示1、scalarfield：(1)用等值线（面）表示令：(2)它的疏密反映了标量函数的变化情况等值线（等位面）图变化快变化慢10/16/202416二、场的几何表示2、

vectorfield：大小：标量.可以用上述等位线(等位面)的概念来几何表示。

方向：采用矢量线来几何地表示。矢量线：线上每一点的切线方向与该点的矢量方向重合。矢量线的描述是从欧拉法引出10/16/202417矢量线方程：设是矢量线的切向元素，则据矢量线的定义有直角坐标：

则有：10/16/202418所以有：（向量线方程）向量管：在场内取任一非向量的封闭曲线C，通过C上每一点作矢（向）量线，则这些矢量曲线的区域为向量管。迹线的描述是从欧拉法引出10/16/202419三、标量场的梯度方向导数：函数z=f(x,y)在一点P沿某一l方向的变化率Φ为x轴到l的转角与方向导数关联的是梯度与梯度关联的是方向导数10/16/202420沿梯度方向的方向导数达到最大值10/16/202421直角坐标系中：

是一个算子（operator），它具有向量与微分的双重性质，称为哈密顿算子（Hamiltonoperator）物理量沿任一方向（其单位向量为n0）的变化率为：10/16/202422

梯度意义的证明：如图，设方向单位向量

函数沿方向的变化为：

另：与同向时，最大MM1M'流场中两相邻等势线沿梯度方向的方向导数达到最大值10/16/202423定理证明:a）满足关系式：

证明：

=10/16/202424b)若任给一封闭曲线L，，且是矢径的单值函数，则：证明：梯度的性质：①标量场不均匀程度的量度；②梯度方向和等位面的法线方向重合，指向函数值增大的方向。③在任一方向的变形等于该方向的方向导数。④梯度的方向是标量变化最快的方向。10/16/20242510/16/202426四、向量的散度(divergence)1、预备知识a.向量通过曲面的通量（flux）：

b.Gauss定理：若在有一阶连续偏导数，则：10/16/2024272、散度的定义

于是Gauss定理可以写作：由封闭曲面s流出的通量可以看成是体积V的膨胀量。所以散度也就是流体的体积膨胀量。散度是标量，而不是向量。10/16/20242810/16/202429例1：任一不可压流场，，在流场中一点M取微元体，则密速（密度速度）变化量

点源：·Source点汇：·Sink例2：令有10/16/202430

五、向量的旋度（rotation）

1、预备知识1)向量的环量（Circulation）

10/16/2024312)Stokes定理：(L围成S，S单连通）

向量为速度，为二元流动：当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的旋涡强度之和。这就是斯托克斯（G·G·Stokes）定理。通式：

10/16/20243210/16/202433

2、旋度的定义 =

于是Stokes定理可以写成：

10/16/202434

例题：

10/16/202435

六、

哈密顿算子▽和场论的基本运算公式

1、

哈密顿算子的定义：

它具有矢量和对它右边的量微分的双重性.因此：

10/16/2024362、

基本运算公式：

1)

2)

10/16/2024373）证明：令，

10/16/2024384）证明：注：

5）10/16/202439

6）证明：根据柯青法则

苏联数学家柯青的运算法则：当除了一个矢量之外，其他的矢量都是常数时，应该这样来变换表达式，以使得所有常矢量都位于算子之前，而变量则位于它之后。10/16/2024407）证明：

XZY顺变为正逆变为负10/16/202441在混合乘积中有两个矢量相同，必然为010/16/20244210/16/2024433、哈密顿算子对积分的应用：

由Gauss定理有：

10/16/202444由这些公式可以看出，只要把体积分中的哈密顿算子换成法向单位向量即是面积分的被积函数。推广的高斯公式可以写为：高斯公式（Gauss’stheorem）将体积分与面积分联系起来，在流体力学中十分有用10/16/202445第二节

张量初步前言张量的定义张量的表示法几种特殊的二阶张量张量的运算10/16/202446一.

前言1、

指标和符号1)自由指标如矢量，其分量可表示为，；则称为自由指标。2)约定求和法则和哑指标约定在同一项中，如有两个指标相同，就表示对该指标从1到3求和。这个约定称为爱因斯坦求和约定。这重复的指标称为哑指标。如：10/16/20244710/16/2024482、符号(1)克罗内克尔符号

各向同性张量，也就是说当坐标系转动后，张量的分量不变10/16/202449具有替换下标的作用10/16/202450(2)置换符号（）

（注：偶排列123，231，312）

(3)恒等式10/16/202451因为例题10/16/202452例题：例题：10/16/202453证明：

XZY顺变为正逆变为负10/16/20245410/16/202455

1、张量的定义

张量是由一组分量所构成的集合，这组分量在坐标改变时应满足一定的坐标变换关系，以保证该张量本身所描述的一个完整的几何对象或物理量对象不随坐标的变换而变化。笛卡尔坐标二、张量的定义

分别是新旧坐标系的单位基矢量

为新旧坐标之间不同坐标轴夹角的方向余弦10/16/202456(1)对于流场中，标量Φ在新旧坐标中，量值不变。(2)对于流场中的矢量，新旧关系：基矢：

在新旧坐标系中表示为：

于是：

其中是旧新坐标中不同坐标轴夹角的余弦。

新旧10/16/202457由式给出了矢量的另一种定义：对每一个直角坐标系来说，有三个量，它根据（1）式变换到另一个坐标系中的三个量中去，则此三个量定义一新的量，称为矢量。若将矢量以坐标变换的基础定义（1）加以推广，可得张量的定义。10/16/202458(3)流场中点的应力状态

它有9个分量来表示旧坐标中应力矢量：（2）新坐标系中，应力矢量（3）把（2）代入（3）有：（4）于是（5）而（6）j,l旧坐标系i,k新坐标系j,jl,lij10/16/202459凡符合可变换规律的物理量称为二阶张量。若在一直角坐标系内给定了3n个数，当坐标变换时，所得新的数则称此3n个数为一个n阶张量。

说明:标量是零阶张量，矢量是一阶张量，应力是二阶张量。10/16/202460

三、张量的表示法

一阶张量二阶张量

10/16/202461四、几种特殊的二阶张量1．零张量：在任意直角坐标系中各分量皆为零的量，以0表示2．单位张量：3．共轭张量：4．对称张量：10/16/2024624．对称张量：只有6个不同分量10/16/2024635．反对称张量：只有3个不同分量10/16/20246410/16/2024656、并矢证明：为二阶张量

（1）（2）要证是二阶张量只需证明（3）

（1），（2）代入即是。10/16/202466例题1：？