2024-2025学年高一数学必修第一册（配湘教版）教学课件 6.4.1 用样本估计总体的集中趋势

第6章统计学初步6.4.1用样本估计总体的集中趋势课标要求1.结合实例,能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数),理解集中趋势参数的统计含义.2.通过应用相关知识解决实际统计问题,培养数学建模能力.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点一平均数1.若样本容量为n,第i个个体是xi,则样本平均数为

.

代表一组数据的平均水平2.分层抽样中,用N表示总体A的个体总数,若将总体A分为L层,用Ni表示第i层(i=1,2,…,L)的个体总数,则有N=N1+N2+…+NL,称

为第i层的层权.

3.对i=1,2,…,L,用

表示从第i层抽出样本的均值,我们称

是总体均值μ的简单估计.

名师点睛平均数的特征(1)样本的平均数是刻画一组数据集中趋势最主要的指标,任何一个数据的改变都会引起平均数的变化,尤其是一组数据中的最大值和最小值.过关自诊1.一组数据x1,x2,…,xn的平均数为3,则2x1,2x2,…,2xn的平均数为(

)A.3 B.6

C.5

D.2B2.分层抽样中,总体共分为2层,第1层的样本量为20,样本平均数为3,第2层的样本量为30,样本平均数为8,则该总体均值的简单估计值为

.

6知识点二众数众数:观测数据中

是众数,用Mo表示.

名师点睛一组数据的众数若存在则一定是观测数据中的数.过关自诊一组数据8,-1,0,4,,4,3的众数是

.

出现次数最多的数

4知识点三中位数中位数:将一组观测数据按从小到大的顺序排列后,我们称

的数是中位数,用Me表示.

当数据的个数是奇数时,

就是中位数;当数据的个数是偶数时,则中间

即为中位数.

名师点睛中位数不受数据组中极端值的影响.处于中间位置

处于中间位置的数

两个数的平均数

过关自诊已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80,其中平均数、中位数和众数的大小关系是(

)A.平均数>中位数>众数B.平均数<中位数<众数C.中位数<众数<平均数D.众数=中位数=平均数D解析

平均数、中位数、众数皆为50,故选D.重难探究·能力素养速提升探究点一平均数的计算1.给定具体数据的平均数的计算【例1】

在某项比赛中,七位评委给某位选手打出的分数如下:90,89,90,95,93,94,93.若计分规则是:去掉一个最高分,去掉一个最低分,然后把其他分数的平均数作为选手的最后得分,则该选手的最后得分为(

)A.90分

B.91分

C.92分

D.93分C解析

(方法1)去掉一个最高分95分与一个最低分89分后,所得的5个得分分别是90,90,93,94,93,(方法2)去掉一个最高分95分与一个最低分89分后,所得的5个得分分别是90,90,93,94,93,由于所给数字都在90附近,因此可先将数据同时减去90后得0,0,3,4,3,规律方法

给出一组数据的值求其平均数问题,可以直接利用公式,当数据较大时,也可以将数据同时减去一个数后求其平均数,但是最后要加上整体所减数字.2.频率分布直方图中平均数的计算【例2】

某连锁超市的市场调研部为了解某城市居民是否赞成推广无人超市,随机调查了60人,作出了他们的年龄频率分布直方图(如图所示).根据频率分布直方图估计这60人年龄的平均数为

.

43.5解析

由频率分布直方图可知这60个人的年龄的平均数为(20×0.015+30×0.015+40×0.025+50×0.02+60×0.015+70×0.01)×10=43.5,即这60人年龄的平均数估计为43.5.规律方法

频率分布(表)直方图中平均数计算方法是:每一组的组中值(区间的两端点的平均数)乘以相应的频率求和.3.分层抽样中总体平均数的计算【例3】

高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛,高一年级有450人,高二年级有350人,通过分层抽样的方法抽取了160个样本,得到两年级的竞赛平均分分别为80分和90分,则(1)高一、高二年级抽取的样本量分别为

、

.

(2)高一和高二年级数学竞赛的总体平均分约为

分.

907084.375规律方法

分层抽样中(以2层为例,其余以此类推)由于用第1层的样本平变式训练1(1)某班级统计一次数学测试后的成绩,并制成了如下的频率分布表,根据该表估计该班级的数学测试平均分为(

)分组[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)人数5152010频率0.10.30.40.2A.80 B.81

C.82

D.83C(2)从有400人参加的某项运动的达标测试中,通过简单随机抽样抽取50人的成绩统计成如下表格,则这400人成绩的平均数的估计值是

.

分数54321人数51520553.2(3)在了解全校学生每年平均阅读多少本文学经典名著时,甲同学抽取了一个容量为10的样本,并算得样本的平均数为5;乙同学抽取了一个容量为8的样本,并算得样本的平均数为6.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本,则合在一起后的样本均值约为

.(结果保留1位小数)

5.4探究点二中位数与众数【例4】

(1)篮球运动员甲在某赛季前15场比赛的得分如表:得分8131822283337频数1341312则这15场得分的中位数和众数分别为(

)A.22,18 B.18,18C.22,22 D.20,18B解析

根据表中数据可知,得分频率最高的为18,故众数为18,将得分按从小到大顺序排序:8,13,13,13,18,18,18,18,22,28,28,28,33,37,37,排在中间位置的为18,故中位数为18,故选B.(2)(多选题)某工厂组织员工进行专业技能比赛,下图是7位评委对甲、乙两位员工评分(满分10分)的雷达图.根据图中信息,下列说法正确的是(

)A.甲得分的中位数大于乙得分的中位数B.甲得分的众数大于乙得分的众数C.甲得分的平均数与乙得分的平均数相等D.甲得分的最高分小于乙得分的最高分CD解析

由雷达图可知,甲的得分从小到大排列依次是8.8,9.1,9.3,9.5,9.5,9.7,9.9;乙的得分从小到大排列依次是8.5,8.9,9.4,9.6,9.6,9.8,10.甲得分的中位数为9.5,乙得分的中位数为9.6,9.5<9.6,故A错误;甲得分的众数为9.5,乙得分的众数9.6,9.5<9.6,故B错误;甲得分的最高分为9.9分,乙得分的最高分为10分,故D正确.故选CD.规律方法

1.根据一组数据的观测数据求中位数的方法是按顺序排列后,最中间一个数或两数的平均数是中位数,众数是在一组数据中出现次数最多的数.2.根据统计图表中的数据研究中位数、众数、平均数问题,首先要根据统计图表的特征从统计图表中提取数据后求解.变式训练2(1)一个样本数据如下:32,23,34,27,42,44,35,27,29,36,则该样本的中位数、众数分别为(

)A.33,27 B.33.5,27C.32,27 D.32.5,27A解析

将这些数由小到大排列为23,27,27,29,32,34,35,36,42,44,(2)某企业在举行的安全知识竞答活动中,随机抽取了30名员工,统计了他们的测试成绩(单位:分),并得到如图所示的统计图,设这30名员工的测试成绩的中位数为m,众数为n,平均数为,则(

)D解析

由统计图可知,测试成绩按从高到低的顺序排好后,中间的两个测试成绩为80分,90分,学以致用·随堂检测促达标1234561.一组数据3,4,4,4,5,6的众数为(

)A.3 B.4 C.5 D.6B解析

众数是一组数据中出现次数最多的数据,4出现了3次,是出现最多的数字,所以这组数据中的众数是4.故选B.1234562.在描述一组数据的集中趋势时,应用最广泛的是(

)A.众数

B.中位数C.平均数 D.全体数据C解析

由于平均数反映的是这组数据的平均大小,使用最广泛,故选C.1234563.有一批种子,对于一颗种子来说,它发芽的天数是不确定的.从中抽取98颗种子,下表是不同发芽天数的种子数的记录:发芽天数1234567种子数82622241242统计每颗种子发芽天数得到一组数据,估计这批种子发芽天数的中位数是(

)A.2 B.3

C.3.5

D.4B解析

将这98颗种子发芽天数从左到右按照从小到大的顺序排成一列,可得种子的发芽天数的正中间两颗的数据都是3,所以中位数为

=3,故选B.1234564.某校数学教研组,为更好地提高该校高一学生三角函数部分的选择题的得分率,对学生三角函数部分的选择题的训练运用最新的教育技术做了更好的创新,其学校教务处为了检测其质量指标,从中抽取了100名学生的训练成绩(总分50分),经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图.则所抽取的样本平均数

为

.

26.5123456解析

根据频率分布直方图可得各组的频率为:(0,10]的频率为0.010×10=0.1;(10,20]的频率为0.020×10=0.2;(20,30]的频率为0.030×10=0.3;(30,40]的频率为0.025×10=0.25;(40,50]的频率为0.015×10=0.15,1234565.为了了解我国13岁男孩的平均身高,从北方抽取了300个男孩,平均身高1.60m;从南方抽取了200个男孩,平均身高1.50m,由此可推断我国13岁男孩的平均身高为

m.

1.561234566.[2024甘肃白银高一校考期中]从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛,由成绩得到如图所示的频率分布直方图.利用频率分布直方图求:(1)这50名学生成绩的众数与中位数;(2)这50名学生的平均成绩.123456解