专题13直线与圆的位置关系重难点题型专训（十二大题型）（原卷版）

专题13直线与圆的位置关系重难点题型专训（十二大题型）【题型目录】题型一判断直线与圆的位置关系题型二已知直线与圆的位置关系求半径的取值题型三已知直线与圆的位置关系求圆心角到直线的距离题型四求直线平移到与圆相切时运动的距离题型五切线的判定定理题型六切线的性质定理题型七切线的性质与判定定理题型八切线长定理的应用题型九三角形内心的有关应用题型十直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系题型十一一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系题型十二圆的综合问题【经典例题一判断直线与圆的位置关系】1．（2021秋·甘肃定西·九年级校联考阶段练习）已知，点在的平分线上，，以点为圆心，为半径作，则与的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定2．（2022·上海·九年级专题练习）如果x的取值范围是a＜x＜b，我们就将b与a的差叫做x的变化区间长度．如图，在菱形ABCD中，对角线AC交BD于点O，且AC＝16，BD＝12．如果以O为圆心，r为半径的⊙O与菱形ABCD的各边有8个公共点，那么r的变化区间长度是（）A． B． C． D．3．（2023春·河北秦皇岛·九年级统考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以为半径的圆的圆心P的坐标为，将沿y轴负方向平移个单位长度，则x轴与的位置关系是．

4．（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如图，直线、相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，且与点O的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么秒钟后与直线相切．

5．（2023秋·九年级课时练习）如图，在中，，为边上一点（不与点重合）．若的半径为，当在什么范围内取值时，直线与相离、相切、相交？6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，要把残缺的圆片复原，可通过找到圆心的方法进行复原，已知弧上的三点A，B，C．

(1)用尺规作图法，找出弧所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在中，连接交于点E，连接，当时，求图片的半径R；(3)若直线l到圆心的距离等于，则直线l与圆________（填“相交”“相切”或“相离”）【经典例题二已知直线与圆的位置关系求半径的取值】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d的取值范围是（）A．0＜d＜3 B．0＜d＜7 C．3＜d＜7 D．0≤d＜32．（2021秋·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考期中）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，以3为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动．若过点P与OA平行的直线与⊙O有公共点，设点P在数轴上表示的数为x．则x的取值范围是（）A．0≤x≤3 B．x＞3 C．﹣3≤x≤3 D．﹣3≤x≤3，且x≠03．（2023秋·全国·九年级专题练习）对于及一个矩形给出如下定义：如果上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点、在轴上，且．若矩形的“等距圆”始终在矩形内部（含边界），则的半径r的取值范围是．4．（2022秋·河北邢台·九年级校考阶段练习）在Rt△ABC中，，，，若以点C为圆心，r为半径的圆与边所在直线相离，则r的取值范围为；若与边只有一个公共点，则r的取值范围为．5．（2023秋·九年级课时练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．

(1)求与直线相切时点的坐标．(2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围．6．（2023·江苏常州·统考二模）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“最小距离”，记作.已知点，，连接．

(1)填空：______；(2)的半径是r，若，直接写出r的取值范围；(3)的半径是r，若将点B绕点A顺时针旋转，得到点C.①当时，求此时r的值；②对于取定的r值，若存在两个不同的值使得，直接写出r的取值范围．【经典例题三已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2022春·九年级课时练习）如图，已知直线y＝x－3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最小值是（

）A．6 B． C．5 D．3．（2023秋·九年级课时练习）以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为．4．（2021·福建龙岩·统考二模）直线与轴、轴分别交于A和B点，圆心为（0，2）且与轴相切的圆上有一动点P，则点P到直线AB的距离的最小值为．5．（2020秋·安徽铜陵·九年级统考期末）在平面直角坐标系中的两个图形与，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形间的“和睦距离”，记作，若图形有公共点，则．(1)如图（1），，，⊙的半径为2，则，；(2)如图（2），已知的一边在轴上，在上，且，，．①是内一点，若、分别且⊙于E、F，且，判断与⊙的位置关系，并求出点的坐标；②若以为半径，①中的为圆心的⊙，有，，直接写出的取值范围．6．（2020秋·山东济宁·九年级校考期中）对于平面直角坐标系xOy中的点P和，给出如下定义：如果的半径为r，外一点P到的切线长小于或等于2r，那么点P叫做的“离心点”．（1）当的半径为1时，①在点中，的“离心点”是_____________；②点P(m，n)在直线上，且点P是的“离心点”，求点P横坐标m的取值范围；（2）的圆心C在y轴上，半径为2，直线与x轴．y轴分别交于点A、B．如果线段AB上的所有点都是的“离心点”，请直接写出圆心C纵坐标的取值范围．【经典例题四求直线平移到与圆相切时运动的距离】1．（2022秋·江苏·九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（

）A．1 B．5 C．3 D．1或52．（2021·四川绵阳·一模）如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（）A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4 D．2≤x≤83．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标．4．（2021春·九年级课时练习）如图，直线、相交于点，半径为1cm的⊙的圆心在直线上，且与点的距离为8cm，如果⊙以2cm/s的速度，由向的方向运动，那么秒后⊙与直线相切.5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动．（Ⅰ）当圆心O移动的距离为1cm时，说明⊙O与直线PA的位置关系．（Ⅱ）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，求d的取值范围6．（2022春·全国·九年级专题练习）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠B＝90°，AD边落在平面直角坐标系的x轴上，且点A（5，0）、C（0，3）、AD＝2．点P从点E（﹣5，0）出发，沿x轴向点A以每秒1个单位长度的速度运动，到达点A时停止运动．运动时间为t秒．（1）∠BCD的度数为______°.（2）当t＝_____时，△PCD为等腰三角形.（3）如图2，以点P为圆心，PC为半径作⊙P．①求当t为何值时，⊙P与四边形ABCD的一边（或边所在的直线）相切.②当t______时，⊙P与四边形ABCD的交点有两个；当t_____时，⊙P与四边形ABCD的交点有三个．【经典例题五切线的判定定理】1．（2022春·九年级课时练习）如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（

）A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则2．（2022春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(

)A．点(0，3) B．点(1，3) C．点(6，0) D．点(6，1)3．（2023春·安徽·九年级校联考阶段练习）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于度时，AC才能成为⊙O的切线．4．（2021春·全国·九年级专题练习）张老师在讲解复习《圆》的内容时，用投影仪屏幕展示出如下内容：如图，内接于，直径的长为2，过点的切线交的延长线于点．张老师让同学们添加条件后，编制一道题目，并按要求完成下列填空．（1）在屏幕内容中添加条件，则的长为．（2）以下是小明、小聪的对话：小明：我加的条件是，就可以求出的长小聪：你这样太简单了，我加的是，连结，就可以证明与全等．参考上面对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（此题目不解答，可以添线、添字母）．．5．（2022秋·河南濮阳·九年级校考阶段练习）已知：内接于，过点A作直线．(1)如图1，为直径，要使为的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：①___________；②_____________．(2)如图2，是非直径的弦，，求证：是的切线．6．（2020秋·江西上饶·九年级统考期末）已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．

（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：①或②；（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．【经典例题六切线的性质定理】1．（2023春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，是的直径，，是的弦，是的切线，为切点，与交于点．若点为的中点，，则的度数为（

）

A． B． C． D．2．（2022·安徽·合肥38中校考模拟预测）如图，是的直径，点是延长线上的一点，且.点是上的一点，点和点关于直线对称，设，则下列是真命题的是（

）A．当是的切线时，四边形是正方形B．当时，可能为等边三角形C．当线段与只有一个公共点点时，的范围是D．当线段与有两个交点、时，若于点，则3．（2023秋·九年级课时练习）如图是的弦，交于点，过点的切线交的延长线于点．若的半径为，则的长为．4．（2023秋·九年级课时练习）如图，是的直径，点在上，是的中点，过点作的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为．5．（2021秋·甘肃定西·九年级校联考阶段练习）如图，为的直径，切于点E，于点C．

(1)求证：平分(2)若，，求的半径．6．（2023·陕西咸阳·校考二模）如图，为的直径，点为上一点，连接、，过点作的切线，连接交于点，．

(1)求证：；(2)若，求的直径的长．【经典例题七切线的性质与判定定理结合】1．（2023·广东深圳·校考三模）矩形ABCD的对角线BD=4，DE⊥AC于点E，则当∠DBE最大时，BE的长度为（）A． B． C． D．22．（2023春·九年级单元测试）如图，在矩形中，，是边上一点，且．已知经过点，与边所在直线相切于点（为锐角），与边所在直线交于另一点，且，当边或所在的直线与相切时，的长是（

）A．9 B．4 C．12或4 D．12或93．（2023秋·江西新余·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当时，与坐标轴相切．4．（2023春·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）【观察思考】某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块在平直滑道上可以左右滑动，在滑动的过程中，连杆也随之运动，并且带动连杆绕固定点摆动．在摆动过程中，两连杆的接点在以为半径的上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点作于点，并测得分米，分米，分米．【解决问题】(1)点在上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是_________分米．(2)如图3，小明同学说：“当点滑动到点的位置时，与是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？(3)①小丽同学发现：“当点运动到上时，点到的距离最小．”事实上，还存在着点到距离最大的位置，此时，点到的距离是_________分米；②当绕点左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积的最大值．【经典例题八切线长定理的应用】1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则长为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022秋·九年级单元测试）如图，是的内切圆，、、为切点，，，，切交于，交于，则的周长为（

）

A． B． C． D．3．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，点为外一点，过点作的切线，，点，为切点，连接并延长，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点已知，，则的长为．

4．（2023·江苏·统考二模）【感知】（1）如图1，是的两条切线，切点分别为点B、C，连接交于点D，点E在优弧上，且，则线段的长为_____，的度数为_____，的度数为_____．【应用】请用无刻度的直尺与圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图2，点A是外一点，请作出一条经过点A的的切线，切点为点B；（3）图3，点P、Q分别在直线的两侧，请在直线上确定一个点T，使得与的角平分线在同一条直线上．请作出符合条件的的角平分线．

【经典例题九三角形内心的有关应用】1．（2023·陕西宝鸡·统考一模）如图所示，内接于，点M为的内心，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．2．（2023·福建宁德·校考二模）如图，点是的内心，的延长线交于，点、关于所在的直线对称，若，则的度数是（

）A． B． C． D．3．（2023·湖北·统考中考真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则．

4．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，已知内接于，且是的直径，

(1)实践与操作：请用尺规作图法作出的内心I；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)推理与计算：连接并延长，与交于另一点D．若，，求的长．【经典例题十直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】1．（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（）A．5 B．4 C．3 D．22．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，为的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知，，，则的半径为（

）A． B． C．1 D．23．（2023·江苏南京·统考二模）如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与，，相切，切点分别为，，，则的半径为．

4．（2023秋·河北沧州·九年级校考期末）阅读材料：如图，的周长为，面积为，内切圆☉的半径为，探究与，之间的关系．解：连接、、．∵，，，∴，∴解决问题：(1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径．(2)如图，若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，且面积为，各边长分别为，，，，试推导四边形的内切圆半径公式．(3)若一个边形(为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为，各边长分别为，，，，…，，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)．【经典例题十一一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系】1．（2023·湖南长沙·长沙市湘郡培粹实验中学校考三模）如图，是的内切圆，若的周长为18，面积为9，则的半径是（）

A．1 B． C．1.5 D．22．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周