2024-2025学年高一数学必修第一册（配湘教版）教学课件 5.5 三角函数模型的简单应用

第5章三角函数5.5三角函数模型的简单应用课标要求1.能根据y=Asin(ωx+φ)的部分图象,确定其解析式.2.会用三角函数解决简单的实际问题.3.可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点应用三角函数模型解决问题的一般程序应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.(2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型.(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.(4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.过关自诊如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(单位:米)在某天从0~24时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数关系式为

.解析

设h关于t的解析式为h=Asin(ωt+φ),则有h(0)=0,即sin

φ=0,因此可取φ=0;重难探究·能力素养速提升探究点一由y=Asin(ωx+φ)的图象确定其解析式(或参数值)C规律方法

给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,确定A,ω,φ的方法(1)逐一定参法:先通过图象确定A和ω,再选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”),求得φ的值.(2)待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,ω,φ.但需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入解析式.(3)图象变换法:运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式y=Asin

ωx,再根据图象平移规律确定相关的参数.变式训练1已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为(

)B探究点二三角函数模型在日常生活中的应用【例2】

已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+φ).∴ω≥300π>942,又ω∈N+,∴ω的最小正整数值是943.规律方法

例题中的函数模型已经给出,观察图象和利用待定系数法可以求出解析式中的未知参数,从而确定函数解析式.此类问题解题关键是将图形语言转化为符号语言,其中,读图、识图、用图是数形结合的有效途径.变式训练2心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),试回答下列问题:(1)求函数p(t)的周期;(2)求此人每分钟心跳的次数;(3)求出此人的血压在血压计上的读数.(3)由图可知此人的收缩压为140

mmHg,舒张压为90

mmHg.探究点三数据拟合三角函数模型问题【例3】

已知某海滨浴场的海浪高度y(单位:米)是时间t(单位:时)的函数,其中0≤t≤24,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:t03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测,y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acosωt+b的图象.(1)根据以上数据,求其最小正周期、振幅及函数解析式;(2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动?(2)因为y>1时,才对冲浪爱好者开放,又0≤t≤24,所以0≤t<3或9<t<15或21<t≤24,所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动,即上午9:00至下午15:00.变式探究若将本例(2)中“大于1米”改为“大于1.25米”,结果又如何?即12k-2<t<12k+2,k∈Z.又0≤t≤24,所以0≤t<2或10<t<14或22<t≤24,所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动,即上午10:00至下午14:00.规律方法

处理数据拟合和预测问题的几个步骤:(1)根据原始数据,绘出散点图;(2)通过散点图,作出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线;(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式;(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.学以致用·随堂检测促达标123451.若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω=(

)A.5 B.4 C.3 D.2B123452.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过

周期后,乙的位置将移至(

)A.x轴上 B.最低点C.最高点 D.不确定C解析

相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期,故乙移至最高点.123453.函数y=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示,则(

)C12345123454.交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用E=来表示,则电压的最大值是

V,第一次获得这个最大值的时间是

s.

123455.如图为函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0