第17讲二元一次方程（组）与一次函数（知识解读题型精讲随堂检测）

第17讲二元一次方程（组）与一次函数知识点1一次函数与二元一次方程一次函数y=kx+b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kxy+b=0的解；以二元一次方程kxy+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图像上.知识点2一次函数与二元一次方程组在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法.注意：1.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.2.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.知识点3方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．【题型1一次函数与二元一次方程】【典例1】下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x﹣3y＝6的解的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵2x﹣3y＝6，∴y＝x﹣2，∴当x＝0，y＝﹣2；当y＝0，x＝3，∴一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点（0，﹣2），与x轴交于点（3，0），即可得出选项D符合要求，故选：D．【变式11】如图，函数y＝kx﹣1的图象过点（1，2），则关于x的方程kx﹣1＝2的解是x＝1．【答案】x＝1．【解答】解：由图象可得：关于x的方程kx﹣1＝2的解是x＝1；故答案为：x＝1．【变式12】直线y＝2x﹣4向上平移2个单位后所得的直线与x轴交点的坐标是（1，0）．【答案】（1，0）．【解答】解：直线y＝2x﹣4沿y轴向上平移2个单位，则平移后直线解析式为：y＝2x﹣4+2＝2x﹣2，当y＝0时，则x＝1，故平移后直线与x轴的交点坐标为：（1，0）．故答案为：（1，0）．【变式13】已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴相交于点A（2，0），与y轴相交于点B（0，3），则关于x的方程kx+b＝0的解是x＝2．【答案】x＝2．【解答】解：由题意可得：当y＝0时，x＝2，即kx+b＝0时，x＝2．故答案为：x＝2．【题型2一次函数与二元一次方程组】【典例2】如图，一次函数y＝2x+1的图象与y＝kx+b的图象相交于点A，则方程组的解是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由图象可设A（a，3），则2a+1＝3，解得：a＝1，由函数和方程组的关系知：方程组的解为：，故选：B．【变式21】如图，直线y＝kx+b和直线y＝mx+n相交于点（3，﹣2），则方程组的解是（）​A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵直线y＝kx+b和直线y＝mx+n相交于点（3，﹣2），∴方程组的解是：，故选：D．【变式22】已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣2x+4交于点C（m，2），则方程组的解是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵点C（m，2）在直线l2：y＝﹣2x+4上，∴2＝﹣2m+4，解得m＝1，∴点C的坐标为（1，2），∴方程组的解为．故选：A．【变式23】如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝x+2的图象相交于点M（m，4），则关于x，y的二元一次方程组的解是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：把P（m，4）代入y＝x+2得m+2＝4，解得m＝2，所以P点坐标为（2，4），所以关于x，y的二元一次方程组的解是．故选：B．【变式24】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x，y的方程组的解为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：将点A（﹣1，b）代入y＝x+4，得b＝﹣1+4＝3，∴A（﹣1，3），∴方程组的解为，故选：B．【题型3用二元一次方程组确定一次函数的表达式】【典例3】如图，直线l1：y1＝kx+b与y轴交于点A，与x轴交于点B（，0），直线l2：y2＝﹣x+2与y轴交于点C，与直线l1交于点D，点D到y轴的距离为2．（1）求直线l1的函数表达式；（2）请直接写出方程组的解：；（3）求△ACD的面积；（4）在直线l1上是否存在异于点D的另一点M，使得△ACD与△ACM的面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝2x﹣3；（2）；（3）5；（4）M点的坐标为（﹣2，﹣7）．【解答】解：（1）∵点D到y轴的距离为2，∴点D的横坐标为2，把x＝2代入y2＝﹣x+2得，y＝﹣×2+2＝1，∴D（2，1），把B（，0），D（2，1）代入y＝kx+b，得．∴．∴直线l1的函数表达式为y＝2x﹣3；（2）∵直线l1：y1＝kx+b与直线l2：y2＝﹣x+2交于点D（2，1），∴方程组的解是；故答案为：；（3）把x＝0代入y＝﹣x+2，得y＝2，∴C（0，2），把x＝0代入y＝2x﹣3，得y＝﹣3．∴A（0，﹣3）．∴AC＝2+3＝5．∴S△ACD＝＝5；（4）存在，∵在直线l1上存在异于点D的另一点M，使得△ACD与△ACM的面积相等，∴M点到y轴的距离为2，∵点D的横坐标为2，∴点M的横坐标为﹣2，把x＝﹣2代入y＝2x﹣3得，y＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，∴M点的坐标为（﹣2，﹣7）．【变式31】若正比例函数y＝﹣2x的图象与一次函数y＝x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为﹣3．（1）求该一次函数的表达式．（2）直接写出方程组的解．【答案】（1）一次函数的解析式为y＝x+9；（2）．【解答】解：（1）将x＝﹣3代入y＝﹣2x，得y＝6，则点A坐标为（﹣3，6）．将A（﹣3，6）代入y＝x+m，得﹣3+m＝6，解得m＝9，所以一次函数的解析式为y＝x+9；（2）方程组的解为．【变式32】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+b1和l2：y＝k2x+b2相交于点A．（1）观察图象，直接写出方程组的解；（2）若直线l2：y＝k2x+b2与y轴的交点为（0，﹣4），求一次函数y＝k2x+b2的表达式．​【答案】（1）；（2）直线l2：y＝1.5x﹣4．【解答】解：（1）根据图象得，方程组的解为：；（2）由题意得：，解得：，∴直线l2：y＝1.5x﹣4．【变式33】已知一次函数y＝﹣x+b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，a）．（1）求a，b的值；（2）方程组的解为．（3）在y＝2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题知，点C（1，a）在y＝2x的图象上，所以a＝1×2＝2，所以点C的坐标为（1，2），因为点C（1，2）在的上，所以2＝﹣+b，所以b＝2.5；（2）∵一次函数y＝﹣x+b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，2），∴方程组的解为，故答案为；（3）存在，理由：∵点P在y＝2x的图象上，∴设点P的坐标为（x，2x），∵一次函数为，∴点A的坐标为（0，2.5），点B的坐标为（5，0），作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，∴△BOP的面积为，△AOP的面积为，当5|x|＝时，解得，∴，∴点P的坐标为或．【变式34】如图，过点A（﹣2，0）的直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+1交于P（﹣1，a）．（1）求直线l1对应的表达式；（2）直接写出方程组的解；（3）求三角形ABP的面积．【答案】（1）y＝2x+4；（2）；（3）3．【解答】解：（1）把P（﹣1，a）代入y＝﹣x+1得a＝2，则P点坐标为（﹣1，2）；把A（﹣2，0），P（﹣1，2）代入y＝kx+b得，解得，所以直线l1的表达式为y＝2x+4；（2）因为直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝﹣x+1交于点P（﹣1，2），所以方程组的解为；（3）∵y＝﹣x+1交x轴于B，交y轴于C，∴B（1，0），C（0，1），∴三角形ABP的面积的面积＝＝3．1．如果直线y＝3x+6与y＝2x﹣4交点坐标为（a，b），则解为的方程组是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵直线y＝3x+6与y＝2x﹣4交点坐标为（a，b），∴解为的方程组是，即，故选：D．2．若以关于x，y的二元一次方程x﹣2y+b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线上，则常数b的值为（）A．0 B．﹣1 C．2 D．1【答案】C【解答】解：因为以关于x、y的二元一次方程x﹣2y+b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线y＝x+b﹣1上，直线解析式乘以2得2y＝x+2b﹣2，变形为：x﹣2y+2b﹣2＝0，所以﹣b+2b﹣2＝0，解得：b＝2，故选：C．3．如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（）A．x≤3 B．x≥3 C．x≤ D．x≥【答案】D【解答】解：∵函数y＝2x的图象过点A（m，3），∴将点A（m，3）代入y＝2x得，2m＝3，解得m＝，∴点A的坐标为（，3），∴由图可知，不等式2x≥ax+4的解集为x≥．故选：D．4．如图，已知一次函数y＝x+1和一次函数y＝ax+3图象交于点P，点P的横坐标为1，那么方程y＝x+1和方程y＝ax+3的公共解为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：当x＝1时，y＝x+1＝2，即两直线的交点坐标为（1，2），所以方程y＝x+1和方程y＝ax+3的公共解为．故选：B．5．已知方程组的解为，则直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点在平面直角坐标系中位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解答】解：∵方程组的解为，∴直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点坐标为（3，﹣1），∵x＝3＞0，y＝﹣1＜0，∴交点在第四象限．故选：D．6．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为2．【答案】2．【解答】解：∵点A（3，m），∴点A关于x轴的对称点B（3，﹣m），∵B在直线y＝﹣x+1上，∴﹣m＝﹣3+1＝﹣2，∴m＝2，故答案为：2．7．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（m，1），则关于x、y的二元一次方程组的解是．【答案】．【解答】解：把P（m，1）代入y＝﹣x+4得﹣m+4＝1，解得m＝3，所以P点坐标为（3，1），所以关于x、y的二元一次方程组的解是．故答案为：．8．如图，已知函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1，（1）关于x，y的方程组的解是；（2）a＝﹣1；（3）求出函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的几何图形的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）把x＝1代入y＝x+1，得出y＝2，函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P（1，2），即x＝1，y＝2同时满足两个一次函数的解析式．所以关于x，y的方程组的解是．故答案为；（2）把P（1，2）代入y＝ax+3，得2＝a+3，解得a＝﹣1．故答案为﹣1；（3）∵函数y＝x+1与x轴的交点为（﹣1，0），y＝﹣x+3与x轴的交点为（3，0），∴这两个交点之间的距离为3﹣（﹣1）＝4，∵P（1，2），∴函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的几何图形的面积为：×4×2＝4．9．如图，过点A（﹣2，0）的直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+1交于P（﹣1，a）．（1）求直线l1对应的表达式．（2）直接写出方程组的解．（3）求四边形PAOC的面积．【答案】（1）y＝2x+4；（2）；（3）．【解答】解：（1）把P（﹣1，a）代入y＝﹣x+1得a＝2，则P点坐标为（﹣1，2）；把A（﹣2，0），P（﹣1，2）代入y＝kx+b得，解得，所以直线l1的表达式为y＝2x+4；（2）因为直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝﹣x+1交于点P（﹣1，2），所以方程组的解为；（3）∵y＝﹣x+1交x轴于B，交y轴于C，∴B（1，0），C（0，1），∴四边形PAOC的面积＝S△ABP﹣S△BOC＝﹣＝．10．某班“数学兴趣小组，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x可以是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…210﹣1﹣2﹣10m2其中m＝1．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象．（3）观察函数图象发现：①该函数的最小值为﹣2；该函数是轴对称图形吗？是（填“是”或“否”）；若是，其对称轴是y轴．②若y＝t与该函数有两个交点，则t的取值范围是t＞﹣2．（4）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出方程组：的解是．【答案】（1）1．（2）见解答；（3）①﹣2