角的概念、弧度制、任意角的三角函数和诱导公式

第第页三角函数专题一角的概念、弧度制、任意角的三角函数和诱导公式一、基本知识1、角的概念(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)角的分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(按旋转方向不同分类)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(正角：按顺时针方向旋转形成的角,负角：按逆时针方向旋转形成的角,零角：射线没有旋转)),\a\vs4\al(按终边位置不同分类)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角,轴线角：角的终边落在坐标轴上))))终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(l表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．（3）.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα(α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z)．4．三角函数的诱导公式（口诀：奇变偶不变，符号看象限）公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα题型精炼题型一角的认识例题（多选）(1)若角α是第二象限角，则eq\f(α,2)可以是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案AC【解答】∵α是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z．当k为偶数时，eq\f(α,2)是第一象限角；当k为奇数时，eq\f(α,2)是第三象限角．故选C．(多选）（2）在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为（）．A．135°B．－675°C．－315°D．215°答案BC【解答】所有与45°终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)，解得－eq\f(765,360)≤k<－eq\f(45,360)(k∈Z)，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°．所以选择BC练习(1)给出下列四个命题：①－eq\f(3π,4)是第二象限角；②－400°是第四象限角；③eq\f(4π,3)是第三象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()A．①②③B．①②C．②③④D．③④答案C【解答】－eq\f(3π,4)是第三象限角，故①错误．eq\f(4π,3)＝π＋eq\f(π,3)，从而eq\f(4π,3)是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．所以选择C(2)已知点P(cosα，tanα)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B【解答】由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα<0，,tanα<0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα<0，,sinα>0，))所以角α的终边在第二象限．题型二扇形的弧长与面积公式例题（1）．扇形的弧长为12，面积为24，则圆心角的弧度数为答案3【解答】由扇形面积与弧长公式可得，，，故，解得弧度数（2）．已知某扇形的圆心角为弧度，其所对的弦长为，则该扇形的周长为（

）A． B． C． D．答案D【解答】由题意得：扇形的半径，则该扇形的弧长，该扇形的周长为.故选：D.练习(1)已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是答案1【解答】设此扇形的半径为r，弧长为l，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝6，,\f(1,2)rl＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝4，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝2，,l＝2.))从而α＝eq\f(l,r)＝eq\f(4,1)＝4或α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,2)＝1．(2)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12cm，则弧长l＝________cm．答案eq\f(8\r(3),3)π【解答】设扇形的半径为rcm，如图．由sin60°＝eq\f(\f(12,2),r)，得r＝4eq\r(3)，又α＝eq\f(2π,3)，所以l＝|α|·r＝eq\f(2π,3)×4eq\r(3)＝eq\f(8\r(3),3)π(cm)．题型三任意角的三角函数例题(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为eq\f(4,5)，则cosα的值为()A．eq\f(4,5)B．－eq\f(4,5)C．eq\f(3,5)D．－eq\f(3,5)答案D【解答】因为点A的纵坐标yA＝eq\f(4,5)，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－eq\f(3,5)，由三角函数的定义可得cosα＝－eq\f(3,5)．(2)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cosα＝eq\f(1,5)x，则tanα＝()A．eq\f(4,3)B．eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(4,3)答案D【解答】因为α是第二象限角，所以cosα＝eq\f(1,5)x＜0，即x＜0．又cosα＝eq\f(1,5)x＝eq\f(x,\r(x2＋16))．解得x＝－3，所以tanα＝eq\f(4,x)＝－eq\f(4,3)．练习（1）．已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解答】根据三角函数的定义可知，．故选：A．（2）．已知角的终边经过点，则（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【解答】解：由题意得.题型四同角三角函数关系例题（1）．已知角α的终边经过点P（1，m），且sinα=−31010A．±1010 B．−1010 C．10【答案】C【解答】解：因为角a的终边经过点P（1，m），所以OP=因为sinα=−31010所以m＝﹣3．（正值舍）故cosα=1故选：C．（2）．已知a是第二象限角，tanα=−13，则cosA．31010 B．−31010 【答案】B【解答】解：∵α为第二象限角，tanα=−1∴cosα=−1故选：B．练习（1）．(多选）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】AB【解答】因为，则为第一象限角或者第二象限，所以或．故选：AB．（2）．已知cosα=，tanα=1，则sinα=（

）A． B． C． D．【答案】B【解答】.故选：B题型五齐次方程例题（1）．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：因为，所以，故选：D.（2）．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解答】因为，故故选:C.练习（1）．已知tanα＝2，则2sinA．9 B．6 C．﹣2 D．﹣3【答案】A【解答】解：因为tanα＝2，则2sin故选：A．（2）．已知tanα=−12，则A．−54 B．−58 C．【答案】B【解答】解：1sin2α−co故选：B．题型六诱导公式例题（1）．已知sin（π+α）=35，则【答案】−【解答】解：∵s