点到直线的距离公式

第第页2.3.3点到直线的距离公式教学设计教学目标掌会用向量工具推导点到直线的距离公式.掌握点到直线的距离公式,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题.通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力.教学重难点重点：掌握点到直线的距离公式．难点：能应用点到直线距离公式解决有关距离问题,通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力.学情分析与教材分析学情分析：学生在此之前已学习了两点之间的距离公式、相交直线求交点坐标的方法、线线位置关系，初步掌握了“用代数的方法研究曲线的性质”这一研究平面解析几何问题的重要方法，并且高二的学生已经基本能够从特殊的情况中发现规律，从而推广为一般情况，所以本节课只要做好这种引导工作，学生是比较容易理解的。这也是本节课要突出的“从特殊到一般”的课堂设计的原因，能使学生充分地参与进来，体会到成功的喜悦。教材分析：本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习点到直线的距离公式。在前面已经研究了两点间的距离公式、直线方程、两直线的位置关系，同时也介绍了“以数论形，以形辅数”的数学思想方法．“点到直线的距离”是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算；《点到直线的距离》的研究，又为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．教学过程引入新知学校计划在校园内新建一座小型花园，以提高校园绿化率和美化环境。花园的设计需要考虑多个因素，其中之一就是确保花园边缘与校园内一条主要步行道的适当距离，以保证行人的安全和花园的独立性.设计团队已经确定了步行道的直线方程和花园边缘上一个关键点P的坐标。现在，他们需要计算这个点P到步行道的最短距离，以确定花园边缘与步行道的最佳间隔.任务：利用点P的坐标和步行道的直线方程，如何求点P到步行道的最短距离呢？有没有一个数学公式可以直接帮助我们计算得到这个距离？设计意图：通过创设生活中点到直线距离的问题情境，引出在坐标系下探究点到直线距离公式的问题，帮助学生学会联系旧知，制定解决问题的策略，最终探索出点到直线的距离公式，让学生感悟运用坐标法研究几何问题的方法。新课探究回顾：在初中，“点到直线的距离”定义是什么？学生：回顾初中知识，并得出结论：定义：直线外一点到直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离.如右图，点P到直线l的距离是垂线段PQ.探究：如图，已知点，直线，如何求点到直线的距离?教师：提示：可以考虑用上节课学习的两点间距离公式和求两直线交点坐标方法的知识，解决这个距离问题.学生：根据教师的提示，得到解决思路，并将该解题思路应用到课堂引入情境中，完成老师布置的任务.任务：求花园边缘上关键点到步行道的最短距离.预设：如图，过P作PQ垂直于l，垂足为Q，因为，以及直线的斜率为，可得的垂线的斜率为，因此，垂线的方程为，即．解方程组①得直线与的交点坐标，即垂足的坐标为．于是即花园边缘上关键点到步行道的最短距离为米.教师：完成任务是在具体的定点和直线的前提下，现在由特殊到一般情况，将此方法再次应用到以上探究题上，并尝试着完成探究过程，并得到一般化的点到直线的距离公式.学生：再一次用此方法（坐标法）自行解决“探究”中提出的问题.预设：设，由，以及直线的斜率为，可得的垂线的斜率为，因此，垂线的方程为，即．解方程组①得直线与的交点坐标，即垂足的坐标为：．设计意图：这个推导过程是坐标法的直接体现，思路自然，但运算化简过程稍显繁杂.师生一起做一方面可以给学生起到示范作用，另一方面也让学生掌握这种运算.运算需要训练和积累.于是．．因此，点到直线的距离．可以验证，当，或时，上述公式仍然成立．公式：点到直线的距离公式：问题1：上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大．反思求解过程，你发现引起复杂运算的原因了吗?学生：回顾推导过程，总结产生计算量大的几个步骤预设：一是求点Q的坐标复杂，二是代入两点间距离公式造成了运算的复杂.问题2：有何简化运算的方法？教师：提示：（1）在上述方法中，若设垂足的坐标为，则．②对于②式，你能给出它的几何意义吗?（2）结合方程组①，能否直接求出，进而求出呢?学生：着手试一试，上述运算思路师生共同探讨分析提出，运算过程由学生自己完成.预设：（1）几何意义：表示点到原点的距离（2）利用方程组①，求出点的横、纵坐标.教师：引导学生体会“设而不求”数学思想，并进行板书.预设：“设而不求”思想：设的是，求的是探究：我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离?学生：回顾向量的知识，进行知识迁移推导点到直线的距离公式.预设：设是直线上的任意一点，是与直线的方向向量垂直的单位向量，则是在上的投影向量，．问题3：如何利用直线的方程得到与的方向向量垂直的单位向量?学生：讨论交流，尝试着求出答案.预设：设，是直线上的任意两点，则是直线的方向向量．把，两式相减，得．由平面向量的数量积运算可知，向量与向量垂直．向量就是与直线的方向向量垂直的一个单位向量．我们取，从而．因为点在直线上，所以．所以．代人上式，得．因此．问题4：请你比较一下上述推导点到直线距离公式的坐标法和向量法，它们各有什么特点？除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？教师：柯西不等式法回顾：在必修第二册《平面向量及其应用》中习题6.3的第16题中：学生：理解柯西不等式形式，并尝试着应用柯西不等式来推导点到直线的距离公式.预设：已知点为直线上任意一点，则点P到直线l的距离d为|PQ|的最小值.设计意图：通过不同方法推导点到直线的距离公式，体会算法的多样性，同时比较不同推导方法，比较算法的优劣，优化思维品质，发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。师生：认真观察分析点到直线距离公式，并进行总结：公式分子的特点：保留直线方程一般式的结构，只是把点P的坐标代入到了直线方程中，体现了公式与直线方程关系;注意，因为所求的是距离，所以要加绝对值保证结果为正；公式分母的特点：未知数系数的平方和再开根号.从向量法的推导过程中，我们也能发现实际是与已知直线垂直的方向向量的模.特殊情况：①如果在直线上，点P到直线的距离为0，②如果直线为，点P到直线的距离，③如果直线为，点P到直线的距离应用新知例5求点到直线的距离．分析：将直线的方程写成，再用点到直线的距离公式求解．详解：点到直线的距离．问题5：直线有什么特性?由此你能给出简便解法吗?学生：思考并回答，一条垂直于x轴的直线，类比：求点到直线的距离．学生：思考并回答，跟踪练习：求点到直线的距离．预设：教师：巡视学生练习情况，挑选典型解答示范，并要求学生独立完成，并归纳总结，用点到直线的距离公式求点到直线的距离的一般步骤.师生：归纳总结，用点到直线的距离公式求点到直线的距离的一般步骤：第1步：确认点的坐标，和将直线方程化为一般式第2步：将点横、纵坐标及直线一般式方程中A、B、C的五个值代入公式计算距离即可重点强调：将直线方程化为一般式方程是非常关键的！例6已知的三个顶点分别是，，，求的面积．分析：由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边的长和边上的高即可．详解：如图，设边上的高为，则．．边上的高就是点到直线的距离．边所在直线的方程为，即．点到直线的距离．因此，.跟踪练习：以BC为底，重新按照例题5方法在计算一遍三角形面积分析：由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边BC的长和边BC上的高即可．详解：设计意图：在典例分析和练习中熟悉公式的基本结构，并体会点到直线距离公式的初步应用。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。能力提升题型一：利用点到直线的距离公式求参数值（范围）例题1（1）点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3，求C的值预设：因为点到直线的距离为，所以，解得或.（2）点到直线的距离大于3，则实数a的取值范围为()A．a>7 B．a<-3C．a>7或a<-3 D．a>7或-3<a<7预设：根据题意，得>3，解得a>7或a<-3.（3）（多选题）已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于()A．B．C． D．预设：因为和到直线的距离相等，由点和点到直线的距离公式，可得化简得，,解得或，故选BC.（4）若点在直线上，且到直线的距离为，则点的坐标为_________.预设：点在直线上，设，到直线的距离为，，解得：a=1或a=2，点的坐标为或.方法总结：根据点到直线的距离公式求参数值（范围）的方法第1步：确定点的坐标和直线方程：坐标或方程中可能含参第2步：利用点到直线的距离公式建立关于参数的方程（不等式）第3步：解方程（不等式）即可得到参数的值（范围）题型二：点到直线的距离有关的最值问题例题2（1）已知，若点P是直线上的任意一点，则的最小值等于（

）A． B． C． D．预设：过点M作交l于点N，则有，因此的最小值就是点M到直线的距离，即．故选：C方法总结：已知直线外一定点和直线上的动点，求两点距离最小值等价于定点到直线的距离.（2）设直线l：与直线平行，则点到l的距离的最小值为（

）A． B．1 C． D．预设：由已知两直线平行，∴,∴直线,∴到l的距离的,当时取到最小值,故选：方法总结：已知直线外含一个参的动点到直线的最小距离，利用点到直线距离公式表示含有参数的式子，然后利用函数的观点求最值.（3）设已知定点和直线：，则点到直线的距离的最大值为（

）A． B． C． D．预设：直线，整理得，由，解得，故直线过定点故点到直线的距离的最大值为，故选：C方法总结：已知直线外一个定点到过某一定点的动直线的最大距离：最大距离等于两定点的距离.课堂小结随堂限时小练求点P(3，－2)到下列直线的距离：①3x－4y＋1＝0；②y＝6；③y轴．预设：①根据点到直线的距离公式，得d＝eq\f(|3×3－4×（－2）＋1|,\r(32＋（－4）2))＝eq\f(18,5).②因为直线y＝6平行于x轴，所以d＝|6－(－2)|＝8.③d＝|3－0|＝3.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,6)、B(－4,3)、C(2，－3)，则点A到BC边的距离为()A． B． C． D．4预设：BC边所在直线的方程为，即x＋y＋1＝0；则d＝,故选：B.求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是的直线l的方程.预设：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，d＝eq\f(|3×－1－0＋m|,\r(32＋－12))＝eq\f(|m－3|,\r(10))＝eq\f(3\r(10),5).所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3，故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.已知直线恒经过定点，则点到直线的距离是（

）A．6 B．3 C．4 D．7预设：由直线方程变形为：，由，解得，所以直线恒经过定点，故点到直线的距离是，故选：B.点到直线l：（为任意实数）的距离的最大值为．预设：∵直线，∴可将直线方程变形为，∴，解得，由此可得直线系恒过点，P到直线l的最远距离