第二章有理数（压轴题专练）-2023-2024学年学年七年级数学上学期单元精讲速记巧练（苏科版）

第二章有理数（压轴题专练）一、数轴与绝对值的综合应用1．阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：

(1)表示数轴上________与________所对应的两点之间的距离．(2)表示数轴上有理数所对应的点到________所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数所对应的点到________所对应的点之间的距离．(3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数，使得．这样的整数有________．(4)利用绝对值的几何意义，写出的最小值为________．(5)利用绝对值的几何意义，写出的最小值为________．【答案】(1)4，1(2)5，(3)，，0，1，2，3，4，5(4)5(5)5【分析】（1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解；（2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解；（3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到5的距离的和为7，继而求解；（4）（5）首先结合数轴判断出式子的几何意义，再结合数轴判断．【详解】（1）解：表示数轴上4与1所对应的两点之间的距离；（2）表示数轴上有理数所对应的点到5所对应的点之间的距离；，则表示数轴上有理数所对应的点到所对应的点之间的距离；（3）表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到5的距离的和为7，∴这样的整数点有，，0，1，2，3，4，5，共8个；（4）表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到2的距离的和，则当时，的最小，且为5；（5）表示数轴上有理数所对应的点到1和以及3的距离的和，∴当时，的最小，且为5．2．大家知道，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离，即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：，根据以上信息，回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______；数轴上表示和的两点之间的距离是______；(2)点A、B在数轴上分别表示实数x和．①用代数式表示A、B两点之间的距离；②如果，求x的值；(3)直接写出代数式的最小值及相应的x的取值范围．【答案】(1)3，3(2)①；②或(3)5，【分析】（1）根据题意，可得数轴上表示2和5的两点之间的距离是：；数轴上表示和的两点之间的距离是：．（2）①根据点、在数轴上分别表示实数和，可得表示、两点之间的距离是．②如果，则，据此求出的值是多少即可．（3）根据题意，可得代数式表示数轴上有理数所对应的点到4和所对应的两点距离之和，所以当时，代数式的最小值是表示4的点与表示的点之间的距离，即代数式的最小值是5．【详解】（1）解：根据分析，可得数轴上表示2和5的两点之间的距离是：；数轴上表示和的两点之间的距离是：．（2）①．②如果，则，或，解得或．（3）代数式表示数轴上有理数所对应的点到4和所对应的两点距离之和，当时，代数式的最小值是：，即代数式的最小值是5，的取值范围是．3．数轴上表示数的点与原点的距离可记作；表示数的点与表示数的点的距离可记作．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为点表示的数记为b．则两点间的距离就可记作．回答下列问题：(1)数轴上表示和2的两点之间的距离是_____________，数轴上表示和3的两点之间的距离是_____________；(2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离为5，那么x为_____________；(3)①找出所有使得的整数x；②求的最小值．【答案】(1)5，5(2)3，(3)①，0，1，2．

②4【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式直接代入计算即可；（2）根据数轴上两点间的距离公式直接代入可得之间的距离为；当时，即时，可求得x的值；（3）①从数轴上可以看出只要x取和2之间的数（包括，2）就有，可得这样的整数是；②对x进行讨论，可得的最小值．【详解】（1）表示和2的两点之间的距离是，表示和3的两点之间的距离是；故答案为：5，5；（2）由题意可得，，∴或，∴或；故答案为：3，．（3）①从数轴上可以看出只要x取和2之间的数（包括，2），就有，因此这样的整数是；②对x进行讨论：当时，，恒成立；当时，；当时，；综上，的最小值为4．4．如图，请回答问题：(1)点B表示的数是，点C表示的数是．(2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字重合．(3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7．①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝．②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是．③当x＝时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值．④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？【答案】(1)﹣2，6(2)9(3)①3；②4；③4；④x＝，最小值为【分析】（1）根据数轴上点的特点，直接求解即可；（2）由折叠可知，折痕点对应的数是2，再由对称性可知点A与数字9重合；（3）①当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小；②当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7，再求出符合条件的整数即可求解；③找到2，2，3，3，4，4，4，4，4的中间数即为所求；④由2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，可得4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，当x＝时，式子有最小值．【详解】（1）解：由图可得，点B表示的数是﹣2，点C表示的数是6，故答案为：﹣2，6；（2）解：∵折叠后点B和点C重合，∴BC的中点为折痕点，∴折痕点对应的数是2，∴点A与数字9重合，故答案为：9；（3）解：①|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上表示x的点到表示3的点和6的点的距离之和，∴当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小，∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为3，故答案为：3；②|x﹣4|+|x+3|表示数轴上表示x的点到表示﹣3的点和4的点的距离之和，∴当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7，∵|x﹣4|+|x+3|＝7，∴x的整数值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，∴，∴满足条件的所有整数x的和是4，故答案为：4；③2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|表示2倍的x到2的距离，2倍的x到3的距离，5倍的x到4的距离之和，∴2，2，3，3，4，4，4，4，4的中间数是4，∴当x＝4时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|的最小值；故答案为：4；④2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，表示4倍的x到的距离，3倍x到的距离，x到的距离，2倍x到的距离，3倍x到3的距离之和，∴4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，∴当x＝时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|的值最小，最小值为．数轴动点问题5．数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．(1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________；(2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇；(3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等．【答案】(1)12(2)，，(3)或；8或【分析】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，即的M、N两点在折线数轴上的和谐距离为；（2）当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，而M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，即得，可解得答案；（3）根据M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得，可解得或，由时，M运动到O，同时N运动到C，可知时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当，即M在从点O运动到点C时，有，可解得或，当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，即可得答案．【详解】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离为，故答案为：12；（2）由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C，∴当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，∴O、M两点间的和谐距离，C、N两点间的和谐距离，∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，∴，解得，故答案为：，，；（3）∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，∴，即，∴或，解得或，由（1）知，时，M运动到O，同时N运动到C，∴时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当，即M在从点O运动到点C时，，即，∴或，解得或，当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，故答案为：或；8或．6．如图，在数轴上有三点，分别表示有理数，，，且，，满足式子；如图：动点从点出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点运动5秒后，长度为6个单位的线段（为线段左端点且与点重合，为线段右端点）从点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点到达点后，线段立即以同样的速度返回向左运动，当点到达点后线段再以同样的速度向右运动，如此往返．设点运动时间为秒．(1)求，，的值；(2)当______秒时，点与点重合，并求出此时线段上点所表示的数；(3)记线段的中点为，在运动过程中，当点与点的距离为1个单位时，求的值．【答案】(1)，，(2)22秒，11(3)或15【分析】（1）根据绝对值的非负的性质求解即可；（2）结合（1）确定之间的距离，然后根据点运动的速度可计算当秒时，点与点重合；当秒时，线段的运动时间为秒，即可确定线段从运动到所用时间为秒，结合数轴上点起始位置所表示数为，即可确定线段运动17秒后，点所表示数为；（3）由点为线段的中点，首先确定点的起始位置所表示数为，然后结合在运动过程中点所表示数为，分，，三个阶段逐一分析计算即可获得答案．【详解】（1）解：，，，，，，，，，；（2）所表示数为，所表示数为14，，点从运动到所用时间为秒，即当秒时，点与点重合；线段的运动时间为秒，线段从运动到所用时间为秒，数轴上点起始位置所表示数为，线段运动17秒后，点所表示数为；（3）点的起始位置所表示数为：；在运动过程中，点所表示数为：，①当时，点所表示数为：，，（舍），（舍）；②当时，点所表示数为：，，，；③当时，点所表示数为：，，，．综上所述，或15．7．观察、理解与应用．题目：如图数轴上有三点A、B和C，其中A点在处，B点在2处，C点在原点处．(1)，表示的意义是；(2)，，即用字母表示线段长，，猜想：，设P、Q在数轴上分别表示的数为和220，则线段；(3)归纳：如果M、N在数轴上表示的数分别为，，则线；(4)应用：若动点P，Q分别从点和2处同时出发，沿数轴负方向运动；已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，问：①t为2秒时P，Q两点的距离是多少？（列算式解答）②t为秒时P，Q两点之间的距离为2？【答案】(1)3，数轴上表示的点到原点的距离(2)5，320(3)(4)①3；②3或7【分析】（1）根据绝对值的几何意义进行解答即可得出答案；（2）根据题目所给的例题，根据数轴上两点间的距离计算方法进行计算即可得出答案；（3）根据（2）中的结论进行解答即可得出答案；（4）①根据题意先计算出为2秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据（3）结论进行计算即可得出答案；②设经过秒，点表示的数为，点表示的数为，根据（3）中的结论可得，化简得，根据绝对值的性质可得或，计算即可得出答案．【详解】（1）解：，表示的意义是数轴上表示的点到原点的距离；故答案为：3，数轴上表示的点到原点的距离；（2），；故答案为：5，320；（3）根据题意可得：；故答案为：；（4）①根据题意可得，为2秒时，点表示的数为，点表示的数为，；②设经过秒，点表示的数为，点表示的数为，则，化简得，可得或，解得：或．故答案为：3或7．8．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为3．(1)直接写出：