专题24角（7个知识点4种题型2个中考考点）

专题24角（7个知识点4种题型2个中考考点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.角的定义及表示方法（重点）知识点2.角的和、差知识点3.角的度量单位和换算（重点）知识点4.角的画法（难点）知识点5.角平分线（重点）（难点）知识点6.角的比较知识点7.方位角【方法二】实例探索法题型1.数角的个数题型2.角平分线的应用题型3.角度的运算题型4.角探究问题【方法三】仿真实战法考法1.度、分、秒的换算考法2.角平分线【方法四】成果评定法【学习目标】认识并会表示角，知道角的常用度单位：度、分、秒，并会进行简单的换算。会比较、估计角的大小，会利用三角尺、量角器、圆规和直尺等画图工具画一个角等于已知角。在操作过程中理解角的平分线的概念，并会进行简单的计算、推理。发展有条理的思考和用语言加以表达的能力。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.角的定义及表示方法（重点）角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图2图1图2图1（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．【例1】的两边分别是（

）A．射线AC、BC B．射线CA，CB C．线段AC，BC D．直线CA，CB【答案】B【分析】根据角的定义可进行求解．【详解】解：的两边分别是射线CA，CB，故选B．【点睛】本题主要考查角的定义，熟练掌握定义是解题的关键．【变式】（2022秋•绥宁县期末）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；C、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；故选：D．知识点2.角的和、差【例2】角的和差关系：∠AOB是∠AOC与∠COB的和，记作∠AOB＝＋∠COB∠AOB是∠AOC与∠COB的和，记作∠AOC＝∠AOB－【答案】∠AOC∠COB【变式】如图，(1)∠AOC是哪两个角的和；(2)∠AOB是哪两个角的差；(3)如果∠AOB＝∠COD，那么∠AOC与∠DOB相等吗？【答案】解：(1)∠AOC是∠AOB与∠BOC的和；(2)∠AOC与∠BOC的差或∠AOD与∠BOD的差；(3)∠AOC＝∠BOD，理由见解析.【分析】(1)∠AOC是∠AOB与∠BOC的和；(2)∠AOB是∠AOC与∠BOC的差或∠AOD与∠BOD的差；(3)由∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC得∠AOC＝∠BOD.【详解】解：(1)∠AOC是∠AOB与∠BOC的和；(2)∠AOC与∠BOC的差或∠AOD与∠BOD的差；(3)∠AOC＝∠BOD.理由如下：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC.即∠AOC＝∠BOD.【点睛】此题主要考查角度的计算.知识点3.角的度量单位和换算（重点）角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．【例3】（2022秋•六盘水期末）34.37°＝34°′″．【解答】解：34.37°＝34°22′12″，故答案为：22，12．【变式】（2022秋•新抚区期末）计算：18°42′+42°58′＝．【答案】61°40'．【解答】解：18°42'+42°58'＝60°100'＝61°40'．故答案为：61°40'知识点4.角的画法（难点）（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．【例4】（2022上·辽宁盘锦·七年级统考期末）借助一副三角尺画出15°角和105°角．【分析】由再利用三角板画即可.【详解】解：如图，画出15°角和105°角如下：【点睛】本题考查的是角的和差运算，掌握“利用三角板画特殊角的方法”是解本题的关键.【变式1】．（2023上·江西吉安·七年级统考期末）如图是正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．(1)在图1中，延长线段AB至C，使；(2)在图2中，作．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）利用网格特征解决问题即可，注意有两种情形．【详解】（1）解：线段即为所作；（2）如图，或即为所作．【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式2】．（2023上·广东佛山·七年级统考期末）同时使用如图所示的一副三角尺能画出哪些角度（小于的角）？至少画出3个表示不同角度的图形，说明理由．

【答案】、、、、、、、、、、，图见解析，【分析】先了解一副三角尺有，，，，然后根据这些角的和差可画出是的倍数的角，于是得到结论．【详解】解：用三角板画出角，是用角度加减法．比如：画个的角，先将角在纸上画出来，再将角叠加就画出了角．如图：

用一副三角板可以画出：、、、、、、、、、、．【点睛】用三角板直接画特殊角的步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，标出角的度数．知识点5.角平分线（重点）（难点）从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．【例5】（2022秋•内江期末）如图，点A、O、B在同一条直线上，OC平分∠DOB，已知∠DOC＝65°，则∠DOA的度数是（）A．45° B．50° C．55° D．65°【答案】B【解答】解：∵OC平分∠DOB，∠DOC＝65°，∴∠DOB＝2∠DOC＝65°×2＝130°，∵A、O、B在同一条直线上，∴∠DOA+∠DOB＝180°，∴∠DOA＝180°﹣∠DOB＝50°，故选：B．【变式】（2022秋•新华区校级期末）如图，∠AOB是直角，OD是∠AOB内的一条射线，OE平分∠BOD，若∠BOE＝24°，则∠AOD的度数（）A．46° B．54° C．42° D．67°【答案】C【解答】解：∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠BOE＝48°∵∠AOB＝90°∴∠AOD＝90°﹣∠BOD＝90°﹣48°＝42°故选：C．知识点6.角的比较【例6】．（2022上·河南驻马店·七年级校联考期末）在的内部任取一点C，作射线，则一定存在（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：∵射线OC在∠AOB的内部，那么∠AOC在∠AOB的内部，且有一公共边；∴一定存在∠AOB＞∠AOC．故选：A．【点睛】本题考查角的大小比较，解答的关键是明确题意，得出角之间的关系．【变式1】比较大小：32°24′32.5°．（填“＜”或“＞”）【答案】＜【分析】先将32.5°转化为32°30′，再比较大小．【详解】∵32.5°=32°30′，∴32.5°＞32°24'．故答案为＜．【点睛】此题考查了角的大小比较，以及角的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式2】把两个三角尺按如图所示那样拼在一起，试确定图中的度数及其大小关系．【答案】．【分析】首先要知道一副三角板的各角度数，然后求出∠AEB，最后比较大小．【详解】解：∠B=30°，∠E=60°，∠BAD==90°+45°=135°，∠DCE=90°∴∠B＜∠E＜∠DCE＜∠BAD．【点睛】本题考查了角的比较与运算，要知道一副三角板各角的度数，比较简单．知识点7.方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．【例7】如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线成角，则的方位角是（

）A．北偏西方向 B．北偏西方向 C．南偏东方向 D．南偏东方向【答案】D【分析】根据题意，结合方向角与垂直的定义即可求出答案．【详解】解：如图所示：射线与射线成角，，是北偏东方向的一条射线，，，，即的方位角是南偏东方向，故选：D．【点睛】本题考查方向角及角的互余，看懂图形中各个角度的关系是解决问题的关键．【变式】地图上三个地方用A，B，C三点表示，若点A在点B的正东方向，点C在点A的南偏西方向，则______度．【答案】【分析】首先根据题意画出图形，然后可知∠CAD=，∠BAD=，从而可求得∠CAB的度数．【详解】解：如图所示：根据题意可知：∠BAD=，∠CAD=，∠CAB=∠BAD∠CAD=．故答案为：65．【点睛】本题主要考查的是方向角的定义，根据题意画出图形是解题的关键．【方法二】实例探索法题型1.数角的个数数角与之前数线段是同一类问题，同样可从角的顶点出发引出n条射线，共有角的个数为：1.在中，直线EF交OA于C点，交OB于D点，如图所示，则图中一共有________个角（小于平角的角），其中能用顶点处一个字母表示的角有个_______个．【答案】

9

1【分析】根据角的概念，以不同顶点确定角的个数；根据顶点处角的多少确定能用顶点处一个字母表示的角有几个即可．【详解】解：观察图形可以发现，以点C、D为顶点的角各有4个，以点O为顶点的角有1个，其中以点O为顶点的角可以用表示；故答案为：9，1．【点睛】本题考查了角的识别和角的表示，解题关键是明确角的定义和角的表示方法，准确识图与判断．题型2.角平分线的应用2.如图，O为直线AB上一点，，平分，．(1)求出的度数；(2)试判断是否平分，并简要说明理由．【答案】(1)(2)平分,理由见解析【分析】（1）根据角平分线的定义以及平角的性质进行解答即可；（2）分别求出和的度数，即可得出结论．【详解】（1）解：∵，平分，∴，∴，答：的度数为；（2）∵，，∴，∴，∴，∴，∴平分．【点睛】本题考查了角平分线的定义，角度计算，读懂题意，熟练掌握相关定义是解本题的关键．3．如图，，，平分，平分，(1)求的度数=___________．(2)如果将题目条件中“”改为“”，其他条件不变，求的度数=___________．(3)如果将题目条件中“”改为“（为锐角）”，其他条件不变，求的度数=___________．(4)从（1）（2）（3）所求的结果中你能看出与的关系___________．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）由已知结合图形可求得的度数，再由角平分线的定义可分别求得与的度数，再由角的差的关系即可得结果；（2）分析与（1）相同；（3）分析与（1）相同；（4）设，（为锐角），余下与（1）相同．【详解】（1）解：∵，，∴，∵平分，平分，∴，，∴；故答案为：．（2）解：∵，，∴，∵平分，平分，∴，，∴；故答案为：．（3）解：∵，，∴，∵平分，平分，∴，，∴；故答案为：．（4）解：设，（为锐角），∴，∵平分，平分，∴，，∴；故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差运算等知识，结合图形确定角的和差关系是关键．本题也体现了由特殊到一般的数学思想题型3.角度的运算4.（2023春•河口区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；（2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵OA平分∠EOC，∴∠AOC＝∠EOC＝×70°＝35°，∴∠BOD＝∠AOC＝35°；（2）设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°，∴∠EOC＝2x＝72°，∴∠AOC＝∠EOC＝×72°＝36°，∴∠BOD＝∠AOC＝36°．5.（2022秋•大足区期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC的度数；（2）过点O作射线OD，若∠AOD＝∠AOB，求∠COD的度数．【答案】（1）40°；（2）20°或100°．【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠AOB＝×120°＝40°；（2）∵∠AOD＝∠AOB，∴∠AOD＝60°，当OD在∠AOB内时，∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，当OD在∠AOB外时，∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．故∠COD的度数为20°或100°．6.（2022秋•市北区校级期末）已知如图，∠AOB：∠BOC＝3：2，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，且∠BOE＝12°，求∠DOE的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：设∠AOB＝3x，∠BOC＝2x．则∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝5x．∵OE是∠AOC的平分线，∴∠AOE＝，∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝，∵∠BOE＝12°，∴，解得，x＝24°，∵OD是∠BOC的平分线，∴，∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝24°+12°＝36°．7.（2023春•烟台期末）如图，将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．（1）当∠BON＝60°时，求∠COM的度数；（2）若∠AOM＝2∠COM，求∠AON的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠BON＝60°，∴∠AON＝120°，∵OC平分∠AON，∴，∵∠MON＝90°，∴∠COM＝90°﹣60°＝30°；（2）设∠COM＝x，∵∠AOM＝2∠COM，∴∠AOM＝2x，∴∠AOC＝3x，∵OC平分∠AON，∴∠AOC＝∠CON，∴∠CON＝∠AOC＝3x，∵∠COM+∠CON＝90°，∴x+3x＝90°，解得x＝22.5°，∴∠AON＝6x＝135°．8．（2022秋•济阳区期末）如图，O为直线AB上的一点，∠AOC＝48°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．（1）求∠BOD的度数；（2）OE是∠BOC的平分线吗？为什么？【答案】（1）156°；（2）OE是∠BOC的平分线，理由见解答．【解答】解：（1）∵∠AOC＝48°，OD平分∠AOC，∴∠1＝∠2＝∠AOC＝×48°＝24°，∵∠1+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝180°﹣24°＝156°；（2）OE是∠BOC的平分线．理由如下：∵∠DOE＝90°，∠2＝24°，∴∠3＝90°﹣∠2＝66°，∵∠DOE＝90°，∠BOD＝156°，∴∠4＝∠BOD﹣∠DOE＝66°，∴∠3＝∠4＝66°，∴OE是∠BOC的平分线．题型4.角探究问题9．如图，是内的一条射线，、分别平分、．(1)若，，求的度数；(2)若，，试猜想与、的数量关系并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】（1）先求出的度数，再根据角平分线的定义和的度数，最后根据即可求解；（2）用和（1）相同的方法即可求解．【详解】（1）解：，，，、分别平分、，，，，；（2），，，、分别平分、，，，．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，根据角平分线的定义和各个角之间的和差关系计算角度．10．射线在内部，射线从射线的位置开始以每秒的速度绕点O逆时针方向旋转；同时，射线从射线的位置开始以每秒的速度绕点O逆时针方向旋转：(1)若，当射线运动了秒，求的值；(2)若射线在内部时，总有，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，过点作射线，且，求的值．【答案】(1)(2)；理由见解析(3)【分析】（1）根据角的和差关系计算即可；（2）由题意可知：，再根据角的和差关系得出；进而得出结论；（3）根据、可得出；由可得出，从而得出结论；【详解】（1）解：由题意可得：，∴（2）解：；理由如下：由题意可知，在相同的时间内满足：∵∴即：∴；（3）解：如图：∵，∴∴由（2）可知：∴∴∴【点睛】本题考查了角的和差关系；熟练掌握几何图中角的和差关系是解题的关键．【方法三】仿真实战法考法1.度、分、秒的换算1．（2021•兴安盟）74°19′30″＝°．【分析】先将30″化成“分”，再将19.5′化成“度”即可．【解答】解：30×（）′＝0.5′，19′+0.5′＝19.5′，19.5×（）°＝0.325°，74°+0.325°＝74.325°，故答案为：74.325．【点评】本题考查度、分、秒的换算，掌握度、分、秒的换算进率和换算方法是得出正确答案的前提．2．（凉山州）已知两个角的和是67°56′，差是12°40′，则这两个角的度数分别是．【分析】设这两个角的度数为x、y，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：设这两个角的度数为x、y，则，解得：x＝40°18′，y＝27°38′，故答案为：40°18′、27°38′．【点评】本题考查了角的计算和度、分、秒之间的换算，能根据题意列出方程组是解此题的关键，注意：1°＝60′．考法2.角平分线3．（百色）如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是（）A．∠BAC＝∠BAM B．∠BAM＝∠CAM C．∠BAM＝2∠CAM D．2∠CAM＝∠BAC【分析】根据角平分线定义即可求解．【解答】解：∵AM为∠BAC的平分线，∴∠BAC＝∠BAM，∠BAM＝∠CAM，∠BAM＝∠CAM，2∠CAM＝∠BAC．故选：C．【点评】此题考查了角平分线定义，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．4．（2023•乐山）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠BOD的度数为．【分析】根据邻补角定义求得∠BOC的度数，再根据角平分线定义即可求得答案．【解答】解：∵∠AOC＝140°，∴∠BOC＝180°﹣140°＝40°，∵OD是∠BOC的平分线，∴∠BOD＝∠BOC＝20°，故答案为：20°．【点评】本题主要考查角平分线的定义，此为几何中基础且重要知识点，必须熟练掌握．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2022上·江苏淮安·七年级校考期末）钟面上3点时，时针与分针的夹角度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】钟表的一周，分成12个大格，求出每个大格的度数是，根据时针与分针的格数解答即可．【详解】解：钟面上3点时，时针与分针相距3格，∴时针与分针构成的锐角度数为．故选：A．【点睛】此题主要考查了钟面角的有关知识，得出钟表上从1到12一共有12格，每个大格是解决问题的关键．2．（2023下·山东聊城·七年级统考期末）下列四个图中，能用三种方法表示同一个角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据角的表示方法和图形选出即可．【详解】解：A、图中的不能用表示，故本选项错误；B、图中的和不是表示同一个角，故本选项错误；C、图中的和不是表示同一个角，故本选项错误；D、图中、、表示同一个角，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力．3．（2023上·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）把用度、分、秒表示正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查度、分、秒的换算．运用度、分、秒的换算方法运算即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故选：C．4．（2023上·江苏·七年级专题练习）用度、分、秒表示为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了度分秒的换算，掌握换算公式是解题的关键．根据1度等于60分，1分等于60秒，由大单位转换成小单位乘以60，按此转化即可．【详解】解：故选：A5．（2023上·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）如图，甲沿北偏东方向前进，乙沿射线前进，甲与乙前进方向的夹角为，则此时乙位于A地的（

）A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西【答案】A【分析】此题主要考查了方向角，正确掌握方向角的表示方法是解题的关键．直接根据题意得出各角度数，进而结合方向角表示方法得出答案．【详解】解：如图所示：由题意可得：，，则，故乙位于A地的南偏东．故选：A．6．（2023上·全国·七年级专题练习）如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，，则的大小为()A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义、直角的定义等知识；先根据是直角，，求出的度数，再根据平分求出的度数，进而求出的度数，根据对顶角相等即可得出结论．【详解】是直角，，，平分，，，．故选：A．7．（2023上·江苏徐州·七年级校考阶段练习）在钟面上，9点整时的时针和分针所成的角的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】9点整时的时针指向数字，分针指向数字，间隔3个数字，求解即可．【详解】解：9点整时的时针指向数字，分针指向数字，间隔3个数字，则所成的角的度数为故选：A【点睛】本题考查了钟面角，解题的关键是确定时针和分针的位置，以及每两个数字间隔的度数．8．（2023上·全国·七年级专题练习）从分到分，时钟的分针转过的角度是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查钟面角，根据钟面角的定义求出钟面上每个“大格”和“小格”所对应的圆心角的度数即可．【详解】解：钟面上每两个数字之间所对应的圆心角为，每一个“小格”所对应的圆心角为，从分到分，分钟转过个“小格”，所以从分到分，分针转过的角度是，故选：B．9．（2023上·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）用一副三角板（其中一个内角分别为与）不能画出的角度是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了利用三角板画角已知角，根据角的和差关系即可逐一判断，掌握用三角板画角是解题的关键．【详解】解：∵，，，∴、、的角可以用三角板画出，而不能写成三角板上已有角度的和与差，故选：．10．（2018上·北京海淀·七年级统考期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，，求出的度数，再根据，即可求出的度数．【详解】解：，，，，．故选：C．【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，解题的关键是能够正确求出的度数．二、填空题11．（2013上·辽宁丹东·七年级统考期末）9时30分，时针与分针所成的角是．【答案】105【分析】在钟面上平均分成12个大格，时针与分针相间1大格是，9时30分，此时时针位于9、10之间，分针位于6，此时时针和分针相差个大格，即，据此解答．【详解】解：根据分析，此时分针与时针相差3.5个大格，则组成的角为．故答案为：105．【点睛】本题考查了钟面角的计算方法，解题的关键是搞清楚时针与分针之间的格子数，属于基础题．12．（2021上·江苏南京·七年级南京钟英中学校考阶段练习）计算：【答案】【分析】利用角度加减法则计算即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】此题考查了角度的计算，正确掌握计算法则及进率是解题的关键．13．（2023上·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）如图，直线相交于点O，，垂足为O，平分，若，则的度数为．【答案】/130度【分析】本题考查了角度的计算．先求得，再利用角平分线和余角的性质求得，据此求解即可．【详解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴．故答案为：．14．（2023上·江苏·七年级专题练习）已知，，则．（填“”、“”或“”）【答案】【分析】本题考查了度分秒的换算以及角的大小比较，先统一单位，再比较大小即可求解，注意是解此题的关键．【详解】解：，，，，，故答案为：．15．（2023上·江苏·七年级专题练习）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么．

【答案】/141度【分析】本题主要考查了方向角，解题的关键是根据题意找出图中角的度数．利用方向角的定义求解即可．【详解】解：如图：

∵A在北偏西，∴，∴，∵B在南偏东，∴，∴．故答案为：．16．（2023上·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）如图，点O为模拟钟面的圆心，在一条直线上，指针分别从出发绕点O转动，均顺时针转动，运动速度为每秒转动，运动速度为每秒转动，设转动时间为t秒，在与第1次同时回到初始位置之前，当时，直线平分．【答案】6s，18s，30s【分析】本题考查了角平分线的定义，分类思想，根据运动，正确分类计算是解题的关键．【详解】解：在OA与OB第一次重合前，，，，，解得；在OA与OB第一次重合在点M处重合，依题意有：，．点B在点M点往点N运动的过程中，，，，，故当时，直线MN平分．故答案为：6s，18s，30s．17．（2023上·江苏南通·七年级校考阶段练习）如图，直线，交于点．射线平分，若，则等于．【答案】/156度【分析】根据对顶角相等得到，利用角平分线的性质求出的度数，再根据邻补角求出，利用角的和，即可解答．【详解】解：根据对顶角相等，得：，射线平分，，，，故答案为：．【点睛】本题考查对顶角和邻补角，角平分线的定义，解决本题的关键是熟记对顶角和邻补角的定义．18．（2023上·江苏南京·七年级期末）如图，一副三角板中，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，如果，那么的大小是度．【答案】57【分析】本题主要考查角的计算，根据已知角求出未知角即可得到答案．【详解】解：由于在三角板中，，，，．故答案为：．三、作图题19．（2022上·湖南长沙·七年级校联考期末）如图，已知，是内的一条射线，且．

(1)求的度数；(2)过点作射线，若，求的度数．（画出草图即可）【答案】(1)(2)或【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，根据已知条件，判断射线在内和外两种情况是解答本题的关键．（1）根据已知角度之间比例关系，找到所求角度的关系式，进而计算出结果．（2），有两种情况，射线在内，射线在外，分别计算出对应的大小．【详解】（1）解：，，，故答案为．（2），当在内时，

如图，当在外时，

如图，故答案为或四、问答题20．（2023上·陕西西安·七年级高新一中校考期中）将一副直角三角板和的一个顶点B重合在一起，按如图所示方式摆放，其中，，三角板在内可任意转动

(1)以点B为顶点的所有锐角有________个；(2)求以点B为顶点的所有锐角的度数和．【答案】(1)5(2)【分析】此题考查了直角三角板中角度的性质，锐角的概念，（1）根据锐角的概念求解即可；（2）根据即可求解．【详解】（1）∵，，三角板在内可任意转动，∴，∴以点B为顶点的所有锐角有，，，，，共5个；解题的关键是熟练掌握直角三角板中角度的性质，锐角的概念．小于的角是锐角．（2）∵，∴．21．（2023上·河北石家庄·七年级石家庄市第二十五中学校考期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起．(1)若，则的度数为；(2)若，求的度数；(3)猜想与之间存在什么数量关系？并说明理由：【答案】(1)(2)(3)，理由见解析【分析】本题考查了角的和与差，能够根据图形正确表示两个角的和与差是解题关键．（1）根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；（2）根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；（3）根据以及，进行计算即可得出结论．【详解】（1）解：由题意可得：，∵，∴，∵，∴；故答案为：；（2）解：∵，∴，∴；（3）解：猜想：，理由如下：∵，又∵，∴，即．22．（2023上·广东佛山·七年级校考阶段练习）一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边、与直线重合，，．(1)求图1中的度数；(2)如图2，三角板固定不动，将三角板由图1所处位置开始绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方．当平分时，求满足要求的旋转角度的值．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图形中角度计算；（1）根据平角的定义即可得到结论；（2）根据角平分线的定义求出，得出，根据平角求出．解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义．【详解】（1）解：∵，，∴；（2）解：∵，∴当平分时，，∴，∴．23．（2023上·河北石家庄·七年级校考期中）如图1，已知，点为直线上一点：在直线的上方，．一个含的直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方．(1)在图1的时刻，的度数为，的度数为；(2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数；(3)如图3，当三角板绕点旋转至一边在的内部时，的度数为；(4)在三角板绕点逆时针旋转的过程中，直接写出与的数量关系．【答案】(1)，；(2)；(3)；(4)或【分析】本题考查了角度的和差关系，角平分线的定义．（1）由平角的定义可求和的度数，进而可求的度数；（2）由角平分线的定义求出，再根据角的和差关系解答即可；（3）由，，可得，，然后作差即可；（4）分两种情况讨论，当在内部时