专题7.1不等式的基本性质（举一反三）（沪科版）（原卷版）

专题7.1不等式的基本性质【十一大题型】【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1不等式的定义】 1【题型2取值是否满足不等式】 2【题型3在数轴上表示不等式】 2【题型4根据实际问题列出不等式】 3【题型5根据不等式的性质判断正误】 3【题型6根据不等式的性质比较大小】 4【题型7根据不等式的解集求字母取值范围】 4【题型8根据不等式的性质求式子取值范围】 5【题型9根据不等式的性质求最值】 5【题型10不等关系的简单应用】 5【题型11利用不等式性质证明不等式】 6【知识点1认识不等式】用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的式子，叫做不等式。用符号这些用来连接的符号统称不等式.【题型1不等式的定义】【例1】（2023春·安徽宿州·七年级校考期中）下列式子：x−1≥1；2x+2；−2<0；x−12y=0；x+2y≤0．其中是不等式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式11】（2023春·七年级统考课时练习）某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每100克内含钙＞150毫克”，它的含义是指（）A．每100克内含钙150毫克B．每100克内含钙不低于150毫克C．每100克内含钙高于150毫克D．每100克内含钙不超过150毫克【变式12】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x＋30y≥500”表示的实际意义是()A．两种客车总的载客量不少于500人 B．两种客车总的载客量不超过500人C．两种客车总的载客量不足500人 D．两种客车总的载客量恰好等于500人【变式13】（2023春·河南驻马店·七年级统考期中）在数学的发展史中，符号占有很重要的地位，它不但书写简单，而且表达的意义很明确．在不等式中，除了我们熟悉的符号外，还有很多：比如：<表示不小于；>表示不大于，≫表示远大于；≪表示远小于等．下列选项中表达错误的是（

）A．2<2 B．−1>0 C．【题型2取值是否满足不等式】【例2】（2023秋·七年级课时练习）试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件：（1）x=−2是不等式的一个解；（2）−2，−1，0都是不等式的解；（3）不等式的正整数解只有1，2，3；（4）不等式的非正整数解只有−2，−1，0；（5）不等式的解中不含0．【变式21】（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）x=3是下列不等式（

）的一个解．A．x+1<0 B．x+1<4 C．x+1<3 D．x+1<5【变式22】（2023春·广东深圳·七年级统考期末）下列各数中，能使不等式12A．6 B．5 C．4 D．2【变式23】（2023春·广西南宁·七年级三美学校校考期末）下列说法中，正确的是（

）A．x=2是不等式3x>5的一个解 B．x=2是不等式3x>5的唯一解C．x=2是不等式3x>5的解集 D．x=2不是不等式3x>5的解【题型3在数轴上表示不等式】【例3】（2023秋·浙江温州·七年级统考期中）如图，在数轴上表示的是下列哪个不等式(

)A．x＞－2 B．x＜－2 C．x≥－2 D．x≤－2【变式31】（2023春•永丰县期中）不等式x≥a的解集在数轴上表示如图所示，则a＝2．【变式32】（2023春·全国·七年级专题练习）把下列不等式的解集在数轴上表示出来．(1)x≥－3；(2)x＞－1；(3)x≤3；(4)x<－32【变式33】（2023春·全国·七年级专题练习）在数轴上表示不等式﹣3≤x＜6的解集和x的下列值：﹣4，﹣2，0，41【题型4根据实际问题列出不等式】【例4】（2023春·吉林松原·七年级校联考期中）用不等式表示：x的2倍与y的34的和不大于5，正确的是（

A．2x+34y>5 B．2x+34y≥5【变式41】（2023春·河南周口·七年级校考期中）据气象台报道．2023年2月14日郑州市的最高气温为14°C，最低气温为6°C，则当天气温t°【变式42】（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）某校女子100m跑的记录是14秒．在今年的校春季运动会上，很遗憾，没有人能打破该项记录，若参加运动会的女生小丽的100m成绩为t秒，则用不等式表示为．【变式43】（2023春·吉林长春·七年级统考期中）将“a与b的和是负数”用不等式表示为．【知识点2不等式的基本性质】性质1：若a＜b，b＜c，则a＜c.这个性质叫做不等式的传递性.性质2：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。若a＞b，则a±c＞b±c.性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。若a＞b，c＞0，则ac＞bc，ac＞若a＞b，c＜0，则ac＜bc，ac＜【题型5根据不等式的性质判断正误】【例5】（2023秋·湖北鄂州·七年级校考期末）下列说法中，错误的个数为()①若a>b，则a+c>b+c；②若a>b，则ac>bc；③若a>b，则ac④若a>b，c>d，则ac>bd；⑤若a<b<0<c，则aA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式51】（2023·四川南充·七年级校考期末）若m＞n，则下列不等式不成立的是（

）A．m2＞n2 B．am＞an C．ma2+1>n【变式52】（2023春·山东威海·七年级统考期末）设x，y，z是实数，则下列结论正确的是（

）A．若x>y，则xz>yz B．若x<y，则z−x<z−yC．若x<y，则xz<yz 【变式53】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如果4x−1<4y−1，那么下列不等式正确的是（

）A．5x<5y B．−2x<−2y C．3x−1>3y−1 D．2x+1>2y+1【题型6根据不等式的性质比较大小】【例6】（2023春·上海普陀·六年级校考期中）比较大小：如果ac>bc，c<0时，那么ab；如果ab>1，b<0，那么【变式61】（2023春·北京大兴·七年级统考期末）比较5a−3b−3a2【变式62】（2023春·河北保定·七年级统考期末）比较7a与4a的大小关系是（

）A．7a<4a B．7a=4a C．7a>4a D．不能确定【变式63】（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）若a−b>0，则a>b；若a−b=0，则a=b；若a−b<0，则a<b，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小．(1)试比较代数式5m2−4m+2(2)已知代数式3a+2b与2a+3b相等，试用等式的性质比较a，(3)已知12m−1【题型7根据不等式的解集求字母取值范围】【例7】（2023·安徽合肥·七年级统考期末）不等式（2a1）x＜2（2a1）的解集是x＞2，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜12 C．a＜−12【变式71】（2023春·福建泉州·七年级校考期末）若x<y，且a−2x>a−2y，则a【变式72】（2023春·广西南宁·七年级统考期末）若关于x的不等式mx﹣x＞1﹣m的解集是x＜﹣1，则m的取值范围是（

）A．m＞1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1【变式73】（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）若x>y，且(a+3)x<(a+3)y，求a的取值范围．【题型8根据不等式的性质求式子取值范围】【例8】（2023春·福建泉州·七年级统考期末）已知x−y=5，且x>3,y<0，则x+y的取值范围是（

）A．1<x+y<5 B．3<x+y<5 C．1<x+y<2 D．2<x+y<5【变式81】（2023春·河南漯河·七年级统考期末）已知−1<x≤0，则1−1A．12<1−1C．1≤1−12x≤【变式82】（2023春·上海杨浦·六年级校考期中）已知2a+3b+c=0,a>b>c，求2−3c【变式83】（2023春·四川德阳·七年级统考期末）若6a=2b−6=3c，且b≥0，c≤2，设t=2a+b−c，则t的取值范围为【题型9根据不等式的性质求最值】【例9】（2023春·安徽六安·七年级校考阶段练习）若a+b=−2，且a≥2b，则（

）A．a有最小值43 B．b有最小值为−23 C．ab有最大值2 【变式91】（2023·甘肃天水·校联考一模）若x+y=3，x≥0，y≥0，则2x+3y的最小值为（

）A．0 B．3 C．6 D．9【变式92】（2023秋·浙江·七年级专题练习）若a，b，c，d为整数，且a＜2b，b＜3c，c＜4d，d＜100，则a可能取的最大值是（

）A．2367 B．2375 C．2391 D．2399【变式93】（2023春·江苏南通·七年级统考期末）已知实数aa≥0，b满足a−23=1−b2，若m=a+3bA．9 B．7 C．5 D．7【题型10不等关系的简单应用】【例10】（2023春·四川泸州·七年级统考期末）P   ,   A．R<Q<P<S B．Q<R<P<S C．Q<R<S<P D．Q<P<R<S【变式101】（2023春·七年级课时练习）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（

）A．a+b2>c+d2 B．a+b2【变式102】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）在数的学习过程中，我们通过对其中一些具有某种特性的数进行研究探索，发现了数字的美和数学的灵动性，现在我们继续探索一类数．定义：一个各位数字均不为0的四位自然数t，若t的百位、十位数字之和的2倍等于千位与个位数字之和，那我们称这个四位数t为“优数”．例如：当t＝6414时，∵2×（4+1）﹣（6+4）＝0，∴6414是“优数”；当t＝4257时，∵2×（2+5）﹣（4+7）＝3≠0，∴4257不是“优数”．（1）判断1318和7401是否为“优数”，并说明理由；（2）已知：t＝4abc（1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9且a，b，c均为正整数）是“优数”，且满足4a与bc的差能被7整除，且F（t）＝|4+a﹣b﹣c|，求F（t）的最大值．【变式103】（2023春·重庆渝北·七年级统考期末）中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委组织义务植树活动，让七、八、九三个年级的学生到某苗圃为本年级的种植点选购树苗，购买树苗的钱由学校统一支付．该苗圃共有a种树苗可供选择，每种树苗分别有大、中、小三类树苗，且每种树苗大、中、小三类的单价分别为80元/棵、10m元/棵、10n元/棵，其中3≤n<m<8，m，n均为整数；三个年级每种树苗都选择了一棵，但对于同一种树苗，三个年级选择的树苗大小又各不相同．结账时，七年级花费了730元，七年级和七年级共花费了1220元，则七年级购买小树苗共花费元．【题型11利用不等式性质证明不等式】【例11】（2023春·全国·七年级专题练习）【阅读】在证明“如果a>b>0，c<0，那么a2证明：∵a>b>0，∴a2>．∴a2∵a>b，c<0，∴bc>．∴ab+bc>．∴a2【问题解决】(1)请将上面的证明过程填写完整；(2)有以下几个条件：①a>b，②a<b，③a<0，④b<0．请从中选择两个作为已知条件，得出