15.2.2分式的加减（讲练）-2022-2023学年八年级数学上册重要考点(人教版)

15.2.2分式的加减同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：.注意：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.题型1：同分母的分式相加减1.计算.（1）2ab（2）x2【答案】（1）解：原式=2−4−1ab=（2）解：原式=x【解析】【分析】（1）根据同分母分式的减法运算整理可得结果；

（2）根据同分母分式的减法进行运算，分解分子进行约分可得结果.【变式11】计算：（1）；（2）； （3）；（4）【答案】解：（1）；（2） （3）；（4）.【总结】本例为同分母分式加减法的运算，计算时注意运算符号，结果一定要化简．异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：.注意：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.题型2：异分母的分式相加减2.计算：（1）aa2【答案】解：原式=====【解析】【分析】先通分，再计算即可。（2）化简：2x【答案】解：2x=2x=2−(=−xx=−1【解析】【分析】先通分，再利用分式的减法计算即可。（3）x2解：原式=(x+2)(x−2)=x+2=x+2−x+1=3x【变式21】（1）；（2）；（3）．【点拨】（1）题中的两个分母都是单项式，最简公分母为；（2）题是异分母分式的加减，为了减少错误应先把分母按字母降幂排列，并且使最高次项系数为正，再将分母因式分解；（3）题是分式与即的和，可将整式部分当成一个整体，且分母为1，使运算简化．【答案】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式．【总结】（1）异分母分式的加减法关键是确定最简公分母；（2）整式和分式相加减时，把整式看作分母是1的“分式”，按异分母分式的加减法的步骤进行运算．【变式22】计算：（1）；（2）.【答案】解：（1）．（2）.分式的混合运算与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算.分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式.注意：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握.（2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.（3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度.题型3：分式的混合运算3.计算（1）x−2x解：x−2===x−1(解：1==−=−x−1a−21+2a+a2解：a−2===1【变式31】计算：（1）； （2）．【答案】解：（1）．（2）．【变式32】（1）；（2）．【答案】解：（1）原式．（2）原式零指数幂任何不等于零的数的零次幂都等于1，即.注意：同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.即（，、为整数）当时，得到.负整数指数幂任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.注意：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）.题型4：整数指数幂与计算4.计算：（1）20210+（13）﹣1．【答案】解：20210+（13）＝1+3＝4．（2）(π−2022【答案】解：原式＝1﹣4＝﹣3【解析】【分析】先利用0指数幂和负指数幂的性质化简，再计算即可。【变式41】计算：(−1)【答案】解：原式=1+=1【解析】【分析】根据有理数的乘方运算法则、0次幂的性质及负整数指数幂的法则，先算乘方运算，再利用有理数的加减法法则进行计算，可求出结果.【变式42】计算：（1）5解：原式=5（2）12020+（3.14π）0（12）解：12020+（3.14π）0（12）=1+14=4科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.题型5：用科学计数法表示小数5.新型冠状病毒的直径约为0.000000907米，0.000000907用科学记数法表示为（）A．9.07×1010B．9.07×1011C．9.07×108D．9.07×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：0.000000907=9.07×107．

故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【变式51】用科学记数法表示：3105000=，；0.000305=。【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：3105000=3.105×106．

0.000305=3.05×104．

故答案为：3.105×106；3.05×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【变式52】人体红细胞与我们的生命活动息息相关，是通过血液运送氧气的最主要的媒介．红细胞的直径约为0.00000767米，请把数0.00000767用科学记数法表示为【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：0.00000767=7.67×106．

故答案为：7.67×106．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．题型6：分式化简求值直接代入6.已知x＝−32，对代数式x【答案】解：原式＝x＝x＝(＝x+1，当x＝−32时，原式＝【解析】【分析】待求式可变形为x2【变式61】先化简，再求值：x+3x−2÷(x+2−【答案】解：原式＝x+3===1当x=2时，原式=【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后将x值代入计算即可.

【变式62】先化简，再求值：(1x−1−【答案】解：原式=[==当x=12时，原式【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。题型7：分式化简求值整体代入7.已知x2+2x−5=0，求代数式(x+1−【答案】解：(x+1−=[(x+1)(x−1)=x=x=(x+2)(x−2)=(x+2)x，=x当x2+2x−5=0时，∴原式=5．【解析】【分析】先化简分式，再求出x2【变式71】已知m2+3m−4=0，求代数式【答案】解：(m+2−5=((m+2)(m−2)=m=m=(m+3)(m−3)=m(m+3)，∵m∴m∴原式=m(m+3)=【解析】【分析】先化简分式，再根据m2【变式72】已知m2−m−1=0，求【答案】解：3====3m(m−1)=3(m由已知m2−m−1=0得：m2−m=1，∴原式=3×1=3【解析】【分析】先化简分式，再求出m2−m=1，最后代入计算求解即可。题型8：分式化简求值选值代入8.先化简分式(a2+2a+1a【答案】解：原式=[===根据分式有意义的条件，a≠−2且a≠−1且a≠1，且a≠0，所以当a=2时，原式【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。【变式81】先化简x+11−x÷(1+x【答案】解：x+1====x+1因为−1<x<2且x是整数且x≠1和−1，所以x=0，当x=0时，原式=0+1=1【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的加法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，接着约分化简，最后再从−1<x<2的范围内选取一个使分式有意义的整数值代入计算即可.【变式82】化简：(3x−1−x−1)÷【答案】解：(=====−(2+x)(x−1)=−(=−x2x−3(x−2)≥2①解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x>−1，∴不等式组的解集为−1<x≤2，∴不等式组的整数解为0，1，2，∵分式要有意义，∴x−1≠0x−2≠0∴x≠1且x≠2，∴满足题意的整数x的值是0，∴当x=0，原式=2．【解析】【分析】先化简分式，再求出不等式组的整数解为0，1，2，最后计算求解即可。题型9：分式混合运算的实际应用9.如图，A种小麦试验田是边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形蓄水池后余下的部分；B种小麦试验田是边长为（a+b）的正方形．

（1）设两块试验田都收获了m（kg）小麦，求A，B两种小麦单位面积产量的比．

（2）当a=2b时，A，B两种小麦单位面积产量哪个较大？

（3）若A，B两种小麦单位面积产量相同，求a,b满足的关系式．【分析】（1）分别表示出两个阴影部分面积，根据收获的小麦重量求出各自的单位面积产量，进而求出之比即可；

（2）把a=2b代入比较大小即可；

（3）根据两种小麦单位面积产量相同，确定出a与b的关系式即可．【解答】解：（1）根据题意得：A种小麦：，B种小麦：，

则A，B两种小麦单位面积产量的比为；

（2）把a=2b代入得：，，

∴B种小麦单位产量较大；

（3）根据题意得：，

整理得：4a24b2=4（a+b）（ab）=（a+b）2，

∵a＞b,∴ab≠0，

∴4（ab）=a+b,

整理得：3a=5b.【点评】此题考查了分式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．【变式91】“杂交水稻之父”袁隆平团队示范基地的“水稻1号”的试验田是边长为a米（a＞1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“水稻2号”的试验田是边长为（a1）米的正方形，两块试验田的水稻都收获了1000千克．

（1）试说明哪种水稻的单位面积产量高？

（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？【分析】（1）分别计算出两种水稻的单位面积产量，再比较那种的水稻的产量高；

（2）利用分式的除法法则计算即可．【解答】解：（1）“水稻1号”试验田的面积是（a21）米2，单位面积产量是千克/米2；

“水稻2号”试验田的面积是（a1）2米2，单位面积产量是千克/米2；

∵a＞1，

∴（a1）2＞0，a21＞0．

∵a21（a1）2=2a2=2（a1）＞0，

∴a21＞（a1）2．∴所以，“水稻2号”的单位面积产量高．所以，“水稻2号”的单位面积产量是“水稻1号”的单位面积产量的倍．【点评】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式除法的运算法则和分式比较大小的方法是解决本题的关键．题型10：探究类题型新定义问题10.定义新运算：a+b=，若a⊕（b）=4，则的值是。【解答】解：由题意可知：=4，∴原式=故答案为：−【变式101】定义运算：a⊗b＝，比如2⊗3＝．下面给出了关于这种运算的几个结论：

①2⊗(−3)＝；

②此运算中的字母a,b均不能取零；

③a⊗b=b⊗a；

④a⊗（b+c）=a⊗b+a⊗c.

其中正确的是．（把所有正确结论都写在横线上）【分析】利用题中的新定义计算各项得到结果，即可做出判断．【解答】解：∵2⊗（3）=，∴①正确；

∵a⊗b=，

∴a≠0且b≠0，

∴②正确；

∵b⊗a=，a⊗b=∴a⊗b=b⊗a,

∴③正确；

∵a⊗（b+c）=，a⊗b+a⊗c=，

∴④不一定正确．

故答案为：①②③【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式102】对于任意非零实数a,b,定义运算“☆”如下：a☆b=，则2☆1+3☆2+4☆3+…+2010☆2009+2011☆2010=根据题中的新定义将所求式子变形，拆项抵消后即可得到结果．【解答】解：根据题意得：2☆1+3☆2+4☆3+…+2010☆2009+2011☆2010题型11：探究类题型条件形变求值11.已知实数a、b、c满足a+bc=计算：(a+b)(b+c)(a+c)abc【答案】解：设a+bcb+c=ka①，a+c=kb②，a+b=kc③，①+②+③得，2（a+b+c）=k（a+b+c），当a+b+c≠0，则k=2，∴(a+b)(b+c)(a+c)abc=kc·ka·kbabc=k当a+b+c=0，则a+b=c，b+c=a，a+c=b，∴(a+b)(b+c)(a+c)abc=(−a)(−b)(−c)abc【解析】【分析】先设a+bc=b+ca=a+cb=k，易得b+c=ka①，a+c=kb②，a+b=kc③，①+【变式111】比较大小有求差、求比等方法，但灵活应用已知巧妙变形也会起到简化计算的效果．已知a、b为实数，且ab=1，设P=aa+1+bb+1，Q=1a+1【答案】解：P=aa+1+bb+1=a(b+1)+b(a+1)(a+1)(b+1)=2ab+a+b(a+1)(b+1)=a+b+2(a+1)(b+1)，Q=1【解析】【分析】首先把P和Q通分相加，把ab=1代入，然后进行比较即可．【变式112】已知a、b、c均为非零的实数，且满足a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca【答案】解：当a+b+c≠0时，利用比例的性质化简已知等式得：a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca=a+b−c+a−b+c−a+b+ca+b+c=a+b+ca+b+c=1，即a+b﹣c=c，a﹣b+c=b，﹣a+b+c=a，整理得：a+b=2c，a+c=2b，b+c=2a，此时原式=8abc【解析】【分析】根据比例的等比性质进行解答，分情况进行讨论，共有a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况，对分式进行通分和约分，求出最终的值即可。一、单选题1．化简x2A．x+1 B．x﹣1 C．x D．﹣x【答案】C【解析】【解答】解：原式＝x(x−1)x−1故答案为：C【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果2．若a+2b＝0，则分式（2a+ba2−ab+1A．32 B．92 C．﹣3b【答案】A【解析】【解答】解：原式＝[2a+ba(a−b)+a−ba(a−b)＝3aa(a−b)•＝3a+3ba∵a+2b＝0，∴a＝﹣2b，∴原式＝3×(−2b)+3b−2b＝3故答案为：A．

【分析】先对括号内的分式进行通分，并将除法转化为乘法运算，然后将各分子、分母中能因式分解的进行因式分解，最后约分即可将式子化简，根据已知可得a=2b，将其代入化简后的式子计算即可.3．化简4x2−4A．x﹣2 B．1x+2 C．1x−2 【答案】C【解析】【解答】解：4x2＝4(x+2)(x−2)+＝2+x＝1x−2故答案为C．【分析】先把分母因式分解，再通分，然后进行计算，最后约分即可解答．4．已知5x+1(x−1)(x−2)A．3 B．3 C．6 D．6【答案】C【解析】【解答】5x+1(x−1)(x−2)5x+1(x−1)(x−2)得到5x+1=A(x2)+11(x1)=(A+11)x2A11，∴A+11=5，2A11=1，∴A=6.故答案为：C.【分析】已知等式右边两项通分并利用同分母分式的加法法则变形，利用多项式相等的条件即可求出a的值.5．化简a2+2ab+bA．aa−b B．ba−b C．aa+b【答案】A【解析】【解答】原式=(a+b)2(a−b)(a+b)﹣ba−b=a+ba−b﹣b【分析】原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．二、填空题6．计算2xx2−9【答案】1【解析】【解答】解：原式=2x(x+3)(x−3)−x+3(x+3)(x−3)=x−3(x+3)(x−3)7．计算ba2−b2【答案】1【解析】【解答】原式=b(a+b)(a−b)÷a+b−aa+b=b(a+b)(a−b)•a+b故答案为：1a−b【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．8．如果x2+x−5=0