专题06综合探究题-2023年江苏常州中考数学真题模拟题分类汇编

专题06综合探究题1．（2022•常州）现有若干张相同的半圆形纸片，点是圆心，直径的长是，是半圆弧上的一点（点与点、不重合），连接、．（1）沿、剪下，则是三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”；（2）分别取半圆弧上的点、和直径上的点、．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点，一定存在线段上的点、线段上的点和直径上的点、，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．【答案】（1）直角；（2）见解析；（3）正确【详解】（1）是直径，直径所对的圆周角是直角，是直角三角形，故答案为：直角；（2）如图，四边形或四边形即为所求．（3）小明的猜想正确．理由：如图2中，设，，取，则，，，，四边形是平行四边形，，，，，，四边形是菱形，边长为，小明的猜想正确．2．（2021•常州）在平面直角坐标系中，对于、两点，若在轴上存在点，使得，且，则称、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点、，点在一次函数的图象上．（1）①如图，在点、、中，点的关联点是（填“”、“”或“”；②若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是；（2）若在线段上存在点的关联点，求实数的取值范围；（3）分别以点、为圆心，1为半径作、．若对上的任意一点，在上总存在点，使得、两点互相关联，请直接写出点的坐标．【答案】（1）①，②；（2）或（3），或【详解】（1）如图1中，①如图1中，取点，连接，，，，，是等腰直角三角形，在点、、中，点的关联点是点，故答案为：．②取点，连接，，则是等腰直角三角形，线段上存在点的关联点，则点的坐标是，故答案为：．（2）如图中，当，是互相关联点，设，是等腰直角三角形，过点作轴于，，，，，，，，，，．如图中，当，是互相关联点，是等腰直角三角形，此时，观察图象可知，当时，在线段上存在点的关联点，如图中，当，是互相关联点，是等腰直角三角形，设，过点作轴于，同法可证，，，，．如图中，当，是互相关联点，是等腰直角三角形，同法可得，观察图象可知，当时，在线段上存在点的关联点，解法二：在上任取一点，然后作出‘的两个关联点和，其中在第二象限，在第四象限，则可以求出的坐标是分别是、，再根据可以求出的取值范围．综上所述，满足条件的的值为或．（3）如图中，由题意，当点，点是互为关联点时，满足条件，过点作轴于，过点作于．设．，，，，，，，，，，，，，．如图中，由题意，当点，点是互为关联点时，满足条件，过点作轴于，过点作于．设．，，，，，，，，，，，，．综上所述，满足条件的点的坐标为，或．3．（2020•常州）如图1，与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，且交于、两点在、之间）．我们把点称为关于直线的“远点“，把的值称为关于直线的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为．半径为1的与两坐标轴交于点、、、．①过点画垂直于轴的直线，则关于直线的“远点”是点（填“”、“”、“”或“”，关于直线的“特征数”为；②若直线的函数表达式为．求关于直线的“特征数”；（2）在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作．若与直线相离，点是关于直线的“远点”．且关于直线的“特征数”是，求直线的函数表达式．【答案】（1）①，10；②关于直线的“特征数”．（2）或【详解】（1）①由题意，点是关于直线的“远点”，关于直线的特征数，故答案为：，10．②如图1中，过点作直线于，交于，．设直线交轴于，，交轴于，，，，，，，关于直线的“特征数”．（2）如图2中，设直线的解析式为．当时，过点作直线于，交于，．由题意，，，，，，，，是等腰直角三角形，的中点，，，把，代入，则有，解得，直线的解析式为，当时，同法可知直线经过，可得直线的解析式为．综上所述，满足条件的直线的解析式为或．4．（2019•常州）已知平面图形，点、是上任意两点，我们把线段的长度的最大值称为平面图形的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点、，是坐标平面内的点，连接、、所形成的图形为，记的宽距为．①若，用直尺和圆规画出点所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点在上运动，的半径为1，圆心在过点且与轴垂直的直线上．对于上任意点，都有，直接写出圆心的横坐标的取值范围．【答案】（1）①2，②；（2）①；②或【详解】（1）①半径为1的圆的宽距离为2，故答案为2．②如图1，正方形的边长为2，设半圆的圆心为，点是上一点，连接，，．在中，，，这个“窗户形“的宽距为．故答案为．（2）①如图中，连接、、所形成的图形是图中阴影部分和（分别以、为圆心，以为半径所作的圆心角为的两条弧所形成的阴影部分即为点所在的区域）．点所在的区域的面积为．②如图中，当点在轴的右侧时，连接，作轴于．设点坐标为，，由题意可知：，，由图象可知：，又对于上任意点，恒成立，，，，在中，根据勾股定理得：，，，，，，满足条件的点的横坐标的范围为．当点在轴的左侧时，同理可得，满足条件的点的横坐标的范围为．综上所述，满足条件的点的横坐标的范围为或．5．（2022•金坛区模拟）面对新冠疫情，中国举全国之力采取了很多强有力的措施，将疫情及时控制，其中对感染者和接触者进行隔离治疗和观察有效地控制住病毒的传播，数学中为对两个图形进行隔离，在平面直角坐标系中，对“隔离直线”给出如下定义：点，是图形上的任意一点，点，是图形上的任意一点，若存在直线满足且，则称直线是图形与的“隔离直线”．例如：如图1，直线是函数的图象与正方形的一条“隔离直线”．（1）在直线，，中，是图1函数的图象与正方形的“隔离直线”的为；（2）如图2，第一象限的等腰直角三角形的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点的坐标是，，与的“隔离直线”有且只有一条，求出此“隔离直线”的表达式；（3）正方形的一边在轴上，其他三边都在轴的右侧，点是此正方形的中心，若存在直线是函数的图象与正方形的“隔离直线”，求的取值范围．【答案】（1）；（2）与的“隔离直线”是；（3）或【详解】（1）如图，从图可知：与双曲线和正方形没有公共点，，不在双曲线及正方形之间，根据“隔离直线”定义可知，直线是双曲线与正方形的“隔离直线”，故答案为：．（2）如图1，连接，以为圆心，长为半径作，作轴于点，过点作的切线，则．，，，直线是与的“隔离直线”．，，，，，设直线的解析式为，则，解得，与的“隔离直线”是；（3）由得，直线与抛物线有唯一公共点，△，，解得，此时的“隔离直线”为，当正方形在直线上方时，如图：点是此正方形的中心，顶点，顶点不能在直线下方，得，解得；当正方形在直线下方时，如图：对于抛物线，当时，；当时，直线恰好经过点和点；对于直线，当时，，由不能在直线上方，得，解得，综上所述，或．6．（2022•金坛区一模）在平面内，为线段外的一点，若以，，为顶点的三角形是直角三角形，则称为线段的直角点．特别地，当该三角形是以为斜边的等腰直角三角形时，则称为线段的等腰直角点．（1）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在点，，中，线段的直角点是；（2）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，直线．①如图2，是直线上一个动点，若是线段的直角点，求点的坐标；②是直线上一个动点，将所有线段的等腰直角点称为直线关于点的伴随点．若半径为的上恰有3个点是直线关于点的伴随点，直接写出的值．【答案】（1），；（2）①点的坐标为或或或；②上恰有3个点是直线关于点的伴随点时，的值为5或．【详解】（1）点的坐标是，点，点，，，，，，，，，，，，，，是直角三角形，不是直角三角形，线段的直角点是，，故答案为：，；（2）①分三种情况讨论：如图1，当时，则轴，点，轴，的纵坐标为4，把代入得：，解得：，，如图2，当时，过点作于点，设坐标为，则，，，，，，△△，，即，整理为：，解得：，，坐标为或，如图3，当时，则轴，点，轴，的纵坐标为，把代入得：，解得：，，综上所述，点的坐标为或或或；②如图4，以为对角线，作正方形，过作轴，作于点，于点，过作轴，作于点，于点，设，，，在△和△中，，△△，，，设，则，，，，解得：，，，即在直线上运动，如图4所示，同理，即在直线上运动，如图4所示，与的交点坐标为，当圆与相切时，上恰有3个点是直线关于点的伴随点，此时，当圆过与的交点时，上恰有3个点是直线关于点的伴随点，此时，上恰有3个点是直线关于点的伴随点时，的值为5或．7．（2022•武进区校级模拟）在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这两个三角形叫做“共边全等”．（1）下列图形中两个三角形不是“共边全等”是；（2）如图1，在边长为6的等边三角形中，点在边上，且，点、分别在、边上，满足和为“共边全等”，求的长；（3）如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与直线、轴相交于、两点，点是的中点，、在的边上，当以、、为顶点的三角形与“共边全等”时，请直接写出点的坐标．【答案】（1）③；（2）或；（3）或或或【详解】（1）①②均符合共边全等的特点，只有③，没有公共边，所以③不符合条件，答案是③；（2）①如图1，当，且是共边全等时，，，是等边三角形，是等边三角形，，，，②如图2，当，且是共边全等时，，，，，又，，又，，，设，则，，解得，，，，综上所述，或；（3）联立，解得，，令，得，，，为中点，，，由题可得，点只能在边和上，①在上时，如图3，，，，，四边形为平行四边形，为中点，为中点，又，为中点，，②当在边上，如图4，，，如图5，过作于，则，，，，过作于，，设，则，，，，，，③当在边上，在边上时，如图6，，，，过作于，，，，，设，，，，，④当在上，在上时，，如图7，，过，分别作得垂线，垂足分别为，，，，，四边形是平行四边形，为中点，为中点，，综上所述，或或或．8．（2022•常州一模）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．（1）如图，在中，为角平分线，，，求证：为的“优美分割线”；（2）请构造一个三角形和它的“优美分割线”，标出相关角的度数；（3）在中，，，为的“优美分割线”，且是等腰三角形，求线段的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或【详解】（1）证明：，，，不是等腰三角形，平分，，，为等腰三角形，，，，为的“优美分割线”；（2）解：如图，中，为“优美分割线”；（3）解：①若时，如图，此时，，则，故，在中，，，，在中，，，；②若时，如图，作于，则，，，此时，，，，，，，，，，③若时，图形不成立，综上，或．9．（2022•天宁区模拟）如图是证明勾股定理时用到的一个图形，、、是和的边长，显然，我们把关于的一元二次方程称为“弦系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）判断方程是否为“弦系一元二次方程”？（填“是”或“否”，并说明理由；（2）求证：关于的“弦系一元二次方程”必有实数根；（3）若是“弦系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．【答案】（1）是；（2）见解析；（3）1【详解】（1）解：，，，，，，能构成直角三角形，方程是否为是弦系一元二次方程”．故答案为：是．（2）证明：根据题意，得△，，△，弦系一元二次方程必有实数根；（3）解：当时，有，即，，，，，，，，．10．（2022•常州模拟）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点的坐标为，，且，．给出如下定义：若平面上存在一点，使是以线段为斜边的直角三角形，则称点为点、点的“直角点”．（1）已知点的坐标为．①若点的坐标为，在点、和中，是点、点的“直角点”的是；②点在轴的正半轴上，且，当直线上存在点、点的“直角点”时，求的取值范围；（2）的半径为，点为点、点的“直角点”，若使得的边与有交点，直接写出半径的取值范围．【答案】（1）①、；②；（2）【详解】（1）①点的坐标为，点的坐标为，点，，，，，不是点、的“直角点”；同理得，、是点、点的“直角点”，故答案为：、；②由题意知，的中点为，，点、的“直角点”在以为圆心，为半径的上，当直线与相切于点，如图，连接，，，，，，同理：当直线与相切于时，，，，综上：；（2）如图，由题意知，，，，，，，的边与有交点，．11．（2022•武进区校级一模）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，（1）连接，若把线段绕点逆时针旋转，则得线段，请在图①中用无刻度的直尺和圆规作出点的对应点（不写作法，保留作图痕迹），直接写出点的坐标；（2）若把绕点逆时针旋转，得△，点，旋转后的对应点分别为，，如图②，求点和点的坐标；（3）在（2）的条件下，边上的一点旋转后的对应点为，求的最小值．【答案】（1）；（2），；（3）【详解】（1）如图①所示，点为所求点，过点作轴于，，点，点，，，把线段绕点逆时针旋转，，，，，△，，，点；（2）如图②，过点作轴于，过点作于，把绕点逆时针旋转，得△，，，，，，，，，，点，，，，，，，点，；（3）如图③，过点作于，，，，，，旋转，，，作点关于轴的对称点，过点作于，交轴于，此时的最小值为的长，，，，，的最小值为．12．（2022•钟楼区校级模拟）在平面直角坐标系中，点坐标为，点为图形上一点，我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点视角图形的“宽度”．（1）如图，半径为2，与轴交于点、．①在点视角下，的“宽度”为，线段的“宽度”为；②点为轴上一点，若在点视角下，线段的“宽度”为2，求的取值范围；（2）的圆心在轴上，且半径为，，一次函数与轴，轴分别交于点，．若线段上存在点，使得在点视角下，的“宽度”可以为2，求圆心的横坐标的取值范围．【答案】（1）①4；2；②或；（2）所以为任意实数．【详解】（1）①如图，作直线交于，，，在点视角下，的“宽度”为4，连接，，，，，线段的“宽度”为2，故答案为：4；2．②当在点右侧时，当时，，此时线段的“宽度”大于2，不符合题意，当时，，，当在点左侧时，，，，．综上所述，或；（2）的“宽度”为2，，当时，点出现在内部，其轨迹为以点为圆心，半径为1的圆．又点在线段上．该轨迹圆需要与线段有交点．如图．当在点左侧时，与相切时，，如图中，当在点右侧时，经过点时，．综上所述，时，满足条件的为：．当时，在圆外任何一点的视角下，的“宽度”均为2．所以为任意实数．13．（2022•常州二模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图，在中，，是的角平分线，，分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形；（2）如图2，在的方格纸中，，在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，，在格点上；（3）如图3，已知四边形是以为邻余线的邻余四边形，，，，，求的长度．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【详解】（1）证明：，是的角平分线，，，，与互余，四边形是邻余四边形；（2）解：如图所示（答案不唯一），（3）解：如图3，延长，交于点，四边形是以为邻余线的邻余四边形，，，，，，，，（负值舍去），．14．（2022•武进区一模）阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是，则这个平行四边形的变形度是；（2）若矩形的面积为，其变形后的平行四边形面积为，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，在矩形中，是边上的一点，且，这个矩形发生变形后为，为的对应点，连接，，若矩形的面积为，的面积为，求的大小．【答案】（1）；（2）见解析；（3）【详解】（1）平行四边形有一个内角是，，；故答案为：；（2），理由：如图1，设矩形的长和宽分别为，，变形后的平行四边形的高为，，，，，，；（3）如图2，，，即，，△△，，，，，由（2）知，；可知，，，．15．（2022•天宁区校级二模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数中，当时，；当时，．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．（4）若方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是．【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）【详解】（1）在函数中，当时，；当时，，，解得，这个函数的表达式是；（2），，函数过点和点；函数过点和点，该函数的图象如图所示，性质：当时，的值随的增大而增大；（3）由函数的图象可得，不等式的解集是：；（4）由得，作出的图象，由图象可知，要使方程有四个不相等实数根，则，故答案为：．16．（2022•天宁区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点与点的坐标分别是与．对于坐标平面内的一动点，给出如下定义：若，则称点为线段的“等角点”．（1）当时，①若点为线段在第一象限的“等角点”，且在直线上，则点的坐标为；②若点为线段的“等角点”，并且在轴上，则点的坐标为；（2）已知直线上总存在线段的“等角点”，则的范围是．【答案】（1）①，；②；（2）时，直线上总存在线段的“等角点”．【详解】（1）①如图1，作的外接圆，设圆心为，连接，，点与点的坐标分别是与，，，，，是等腰直角三角形，，，点在直线上，，，，，，，故答案为：，；②如图2所示，同理作的外接圆，设圆心为，过作轴于，作于，连接，，在轴上存在，则①知：，，，由勾股定理得：，，同理得：，，综上分析，点的坐标为．故答案为：；（2）作的外接圆，，，，，，，，设直线与轴、轴的交点分别为、，，，，，过点作轴于直线交于点，，，当时，，，，，，解得或，时，直线上总存在线段的“等角点”．17．（2022•钟楼区校级模拟）在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别为，，，．对于图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为正方形边上任意一点，如果，两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形的“正方距”，记作．已知点．①直接写出（点的值；②过点画直线与轴交于点，当（线段取最小值时，求的取值范围；③设是直线上的一点，以为圆心，长为半径作．若满足，直接写出圆心的横坐标的取值范围．【答案】①4；②；③或．【详解】①，，（点；②（线段取最小值，（线段的最小值（点，（点，当（点时，或，当时，，当时，，；③由②可知，（点（点，点在第二象限或第四象限，设，当点在第二象限时，时，，解得或（舍；当点在第四象限时，时，，解得或（舍；，或．18．（2022•天宁区校级一模）如图，点，在函数（其中的图象上，连接．取线段的中点．分别过点，，作轴的垂线，垂足为，，，交函数（其中的图象于点．小明运用几何知识得出结论：，．设点，的横坐标分别为，．（1）①点的横坐标为．②请你仔细观察函数其中的图象，并由此得出一个关于，，，之间数量关系的真命题：若，则．（2）请你说明在（1）中你提出的命题是真命题的理由；（3）比较与的大小，并说明理由．【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）见解析【详解】（1）①，，都垂直于轴，，是的中点，，是的中点，设点，的横坐标分别为，，，故答案为：；②点，，在上，，，，，，，，，，故答案为：；（2），，，，；（3），，．19．（2022•溧阳市模拟）规定：如果一个凸四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此凸四边形为广义菱形．（1）下列图形是广义菱形的有：．①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；（2）若、的坐标分别为，，是二次函数的图象上在第一象限内的任意一点，垂直直线于点，试说明四边形是广义菱形；（3）如图，在反比例函数的图象上有一点，在轴上有一点，请你在轴和反比例函数上分别找出两点、，使得四边形是广义菱形且，请直接写出、的坐标．【答案】（1）③④；（2）见解析；（3），或，【详解】（1）解：①平行四边形符合一组对边平行，不符合一组邻边相等，不是广义菱形，②矩形符合一组对边平行，不符合一组邻边相等，不是广义菱形，③菱形符合一组对边平行，且一组邻边相等，是广义姜形，④正方形符合一组对边平行，且一组邻边相等，是广义菱形，故答案为：③④；（2）证明：设点，则，，，点在第一象限，，，，又，四边形是广义菱形；（3）解：由题意，设，，，，，，，解得，，四边形是广义菱形时，有两种情况：当时，如图，作轴，轴，与交于，，，轴，，，，设，，，，，解得或（此时，与重合，舍去），；当时，如图，作轴，轴，与交于，作轴于点，，，轴，，，，，，，，，设，，，，，解得或（舍去），当时，，，；综上，，或，．20．（2022•金坛区二模）在平面直角坐标系中，对任意两点，与，的“识别距离”，给出如下定义：若，则点，与，的“识别距离”是；若，则点，与，的“识别距离”是．（1）如图1，已知点，点是轴上一个动点．①若点与点的“识别距离”为2，则点的坐标是；②直接写出点与点的“识别距离”的最小值是；（2）如图2，已知点，点是一次函数图象上一个动点，求点与点的“识别距离”的最小值及相应的点的坐标；（3）如图3，已知点，点是一次函数图象上的一个动点，以为圆心，长为半径作，设是上任上一个动点，若点与点的“识别距离”满足，直接写出点的横坐标的取值范围．【答案】（1）①或；②1；（2）；（3）或【详解】（1）①设的坐标为，根据识别距离的概念，可知，，．解得，或，的坐标为或．，故答案为或；②，与的最小识别距离为1，故答案为：1；（2）如图，过点作平行于轴的直线，与过点作平行于轴的直线交于，根据定义“若，则点，与，的识别距离是”，当取点与点的“识别距离”的最小值时，则，即，设，则，解得：，，，，此时点与点的“识别距离”的最小值是；（3）点与点的“识别距离”满足，满足条件的位于一、三象限，当在第三象限时，位于直线和直线之间，如图3（1），此时，所以，，；当在第一象限时，位于切线直线和直线之间，如图3（2），此时，，所以，，即，当或时，直线和均为切线，直线为，、均为等腰直角三角形，．，；综上所述，的横坐标的取值范围为：或．21．（2022•天宁区校级二模）如图，已知平面直角坐标系，、两点的坐标分别为，．（1）若是轴上的一个动点，则当时，的周长最短；（2）若，是轴上的两个动点，则当时，四边形的周长最短；（3）设，分别为轴和轴上的动点，请问：是否存在这样的点、，使四边形的周长最短？若存在，请求出，（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3），【详解】（1）设点关于轴的对称点是，其坐标为，设直线的解析式为，把，代入得：，解得，，令得，即．（2）过点作轴于点，且延长，取．做点，连接．那么．直线的解析式为，即，点的坐标为，且在直线上，．（3）存在使四边形周长最短的点、，作关于轴的对称点，作关于轴的对称点，连接，与轴、轴的交点即为点、，，，直线的解析式为：，，，．，．