重难点03旋转综合题（4种题型）（原卷版）

重难点03旋转综合题（4种题型）技巧技巧方法1.生活中的旋转现象注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．．2.旋转的性质注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．3.旋转对称图形常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．4.坐标与图形变化旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．5.中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．6.中心对称图形注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．7.关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．能力拓展能力拓展题型一：线段问题一、填空题1．（2022·四川省成都市七中育才学校八年级期末）已知直线与直线，若将绕平面内一点P顺时针旋转后恰好能与重合，则称点P为关于的“顺合点”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点，，中是y轴关于x轴的“90°顺合点”的是______；如图2，已知直线与直线交于点A，点C，D是直线上不重合的两点，．位于直线右侧的一点P是关于的“60°顺合点”，，连接PC，PD．点B在上，连接BP，若且，则______．二、解答题2．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图1，已知在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，点的坐标是，点的坐标是，作点关于轴的对称点，连接，，．(1)求点的坐标和的度数；(2)如图2，将点绕点逆时针转动度（）得到点，点是平面内一点，以、、、为顶点形成的四边形为平行四边形．①当该平行四边形为菱形且是其一边时，求点的坐标；②当内部（包含边界）存在满足条件的点时，直接写出点的横坐标的取值范围．3．（2022·山东济南·八年级期末）如图1，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，点A在DG上，连接AE，CG．(1)求证：；(2)猜想：AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想；(3)在其它条件不变的前提下，如果将正方形ABCD绕着点D按逆时针旋转任意角度（如图2）．那么（2）中结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(4)如图3，将正方形ABCD绕着点D旋转到某一位置时恰好使得，．当正方形DEFG的边长为时，请直接写出正方形ABCD的边长．4．（2022·重庆·西南大学附中八年级期末）ABC是等边三角形，在CDE中，CD＝ED，∠CDE＝120°，连接AD，BE．(1)如图1，若E是线段AB上一点，sin∠ACD＝，CE＝3，则AD长度为多少？(2)如图2，取BE中点为F，连接AF，DF，DE与AF的交点为G．若DE平分∠FDA，猜想并证明AG与DF的数量关系；(3)如图3，若AB＝2，E是线段AB上一点，点M是线段CD上一点，将绕点C顺时针旋转90°得到，连接，请直接写出当面积最大时，的最大值．5．（2022·陕西渭南·八年级期末）数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边中有一点，且，，，试求的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断．(1)在图中画出绕点顺时旋转60°后的，并判断的形状是___________；(2)试判断的形状，并说明理由；(3)由（1）、（2）两问可知：___________．6．（2022·重庆大渡口·八年级期末）在中，，，点D在直线AB上，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，点F是线段DE的中点，连接AF．(1)如图1，当点D在BA的延长线上时，连接AE，若DE=4，求线段AF的长度；(2)如图2，当点D在AB的延长线上时，若点G是线段AD的中点，连接FG，求证：；(3)如图3，连接CF和BE，若，当线段CF取最小值时，请直接写出的面积．（2021·江西景德镇·八年级期末）7．[方法探索]如图1，在等边中，点在内，且，，，求的长．小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1，把绕着点顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出的长．解：把绕着点顺时针旋转得到，连接．接着写下去：8．[方法应用]请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题：①如图2，点在等边外，且，，若，求度数．②如图3，在中，，，是外一点，连接、、．已知，．求的长．9．（2022·广东深圳·八年级期末）△ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，．(1)【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．(2)【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(3)【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．10．（2022·重庆市育才中学八年级期中）已知为等边三角形，边长为4，点D、E分别是、边上一点，连接、．．(1)如图1，若，求的长度；(2)如图2，点F为延长线上一点，连接、，、相交于点G，连接，已知，求证：；(3)如图3，点P是内部一动点，顺次连接，请直接写出的最小值．11．（2022·重庆实验外国语学校八年级阶段练习）菱形的对角线交于点．

(1)如图1，过菱形的顶点作于点，交于点，若，求四边形的面积；(2)如图2，过菱形的顶点作，且，线段交于点，交于点，若、、三点共线，求证：；(3)如图3，菱形中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，直接写出线段的最小值．题型二：面积问题一、解答题1．（2022·辽宁锦州·八年级期末）在与中，，，．(1)如图1，若点，，在同一直线上，连接，，则与的关系为_________；(2)如果将图1中的绕点在平面内顺时针旋转到如图2的位置，那么请你判断与的关系，并说明理由；(3)如图3，若，，连接，分别取，，的中点，，，连接，，，将绕点在平面内顺时针旋转一周，请直接写出旋转过程中面积的最小值和最大值．2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．题型三：角度问题一、单选题1．（2022·山东济南·八年级期中）如图，P是平分线上一点，OP＝10，，在绕点P旋转的过程中始终保持不变，其两边和OA，OB分别相交于M，N，下列结论：①是等边三角形；②MN的值不变；③OM＋ON＝10；④四边形PMON面积不变．其中正确结论的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、解答题2．（2022·江苏泰州·八年级期中）如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为5和2，点E、G分别在边AB和边AD上，连接BG、DE，P为BG的中点，将正方形AEFG绕着点A从图1位置顺时针旋转度（）．(1)当A、G、B三点不共线时，；（填“＞”、“＝”或“＜”）(2)如图2，当时，求的值；(3)在正方形AEFG转动一周的过程中，①求点P运动的路径长；②当时，请直接写出满足条件的的值．3．（2022·广东深圳·八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，△ABO为直角三角形，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝3，点C为OB上一动点．(1)点A的坐标为；(2)连接AC，并延长交y轴于点D，若△OAD的面积恰好被x轴分成1∶2两部分，求点C的坐标；(3)如图2，若∠OAC＝30°，将△OAB绕点O顺时针旋转，得到△OA'B'，如图2所示，OA'所在直线交直线AC于点P，当△OAP为直角三角形时，直接写出点的坐标．4．（2022·广东·惠来县第一中学八年级阶段练习）如图1，点为直线上一点，将一副三角板的各一锐角顶点放在点上，边，分别在射线，上，其中，，，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．(1)如图2，三角板旋转到的内部．①当恰好平分时，求旋转时间以及的度数；②的度数是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．(2)在三角板开始旋转的同时，三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，当三角板旋转时两个三角板都停止运动，在运动过程中，当时，请直接写出所有符合条件的运动时间（本题中所研究的角都是小于等于的角）．5．（2022·北京通州·八年级期末）如图，，点与点关于射线对称，连接．点为射线上任意一点，连接．将线段绕点顺时针旋转60°，得到线段，连接．（1）求证：直线是线段的垂直平分线；（2）点是射线上一动点，请你直接写出与之间的数量关系．6．（2022·福建·厦门市莲花中学八年级期中）如图①②③，平面内三点O，M，N．如果将线段OM绕点O旋转90°得ON，称点N是点M关于点O的“等直点”，如果OM绕点O顺时针旋转90°得ON，称点N是点M关于点0的“正等直点”，如图②．（1）如图2，在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）．①在（－1，2），（2，－1），（1，－2）三点中，_________是点P关于原点O的“等直点”：②若直线：交轴于点M，若点N是直线上一点，且点N是点M关于点P的“等直点”，求直线的解析式：（2）如图3，已知点A的坐标为（2，0），点B在直线：上，若点B关于点A的“正等直点”C在坐标轴上，D是平面内一点，若四边形ABCD是平行四边形，直接写出点D的坐标．题型四：其他问题一、解答题1．（2022·四川达州·八年级期末）综合与探究【问题】王老师给了一个思考题：如图（1），E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的动点，∠EAF=45°连接EF，求证：EF=BE+DF．思考后，王老师归纳了思路：可将△ADF绕A点顺时针旋转90°到△ABG的位置，如图（2），这时，易知C、B、G在同一直线上，△ADF≌△ABG，BG=DF，可证△AEF≌△AEG，所以，EF=EG=BE+BG=BE+DF．最后，王老师希望同学们进一步研究．【探索研究】研究后，小明发现原题条件核心有：AB=AD，∠EAF=∠BAD，对角∠ABC和∠ADC互补．于是将问题演变为：如图（3），等边三角形ABM中，AB=4，将AM沿BM方向平移到CD，使CM=BM，连接AD，E是线段BM上一个动点（不与B、M重合），连接AE，并在AE右侧作正△AEN，延长AN交直线CD于F，连接EF．(1)探索是否仍存在关系：EF=BE+DF？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．(2)连接CN，E点运动中，何时CN最短？并求CN的最小值．2．（2022·北京铁路二中八年级期中）如图，等腰中，，点P为射线BC上一动点（不与点B、C重合），以点P为中心，将线段PC逆时针旋转角，得到线段PQ，连接、M为线段BQ的中点．(1)若点P在线段BC上，且M恰好也为AP的中点，①依题意在图1中补全图形：②求出此时的值和的值；(2)写出一个的值，使得对于任意线段BC延长线上的点P，总有的值为定值，并证明；3．（2022·江苏·南京市第二十九中学八年级阶段练习）正方形中，对角线、交于点O，点E、F、G分别在边、、上．(1)在图①中，于点P，连接、；①判断线段、之间的关系____________；②若，，P、Q两点关于直线对称，直接写出线段的长度______；③若，当E、F在边、上运动时，的最小值是______；(2)在图②中，于点P，连接，比较

与的大小关系，并说明理由．4．（2022·重庆巴蜀中学八年级开学考试）在边长为的正方形ABCD中，点N为BA延长线上一点，连接DN．(1)如图1，以BC为边向内作正△BCM，连接MN，当C，M，N三点共线时，求：△ADN的面积；(2)如图2，以BC为边向外作正△BCM，连接DM，CP平分∠BCD交DM于点P，连接PB，当∠AND＝60°时，连接NP．证明：；(3)