专题12锐角三角函数的相关计算重难点题型专训（11大题型）

专题12三角函数值的相关计算与应用（11大题型）【题型目录】题型一求特殊角的三角函数值题型二特殊角三角函数值的混合运算题型三由特殊角的三角函数值判断三角形形状题型四由计算器求锐角三角函数值题型五根据特殊角三角函数值求角的度数题型六已知角度比较三角函数值的大小题型七根据三角函数值判断锐角的取值范围题型八利用同角三角函数关系求值题型九求证同角三角函数关系式题型十互余两角三角函数的关系题型十一三角函数综合【知识梳理】知识点1：特殊锐角三角比的值1.特殊锐角的三角比的值30°45°1160°3.通过观察上面的表格，可以总结出：当090，的正弦值随着角度的增大而增大，的余弦值随着角度的增大而减小；的正切值随着角度的增大而增大，的余切值随着角度的增大而减小．【经典例题一求特殊角的三角函数值】1．（2023上·湖南娄底·九年级校考阶段练习）下列各式中不正确的是（

）．A． B．C． D．

【答案】B【分析】本题考查特殊角三角函数值及同角三角函数的关系，互余两角三角函数的关系．根据特殊角三角函数值及同角三角函数的关系，互余两角三角函数的关系解答即可．【详解】解：，，，，A、正确，符合同角三角函数的关系，不符合题意；B、错误，，符合题意；C、正确，符合同角三角函数的关系，不符合题意；D、正确，，，不符合题意．故选：B．2．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）若是锐角，，则的值是（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】本题考查了特殊角三角函数的函数值，根据是锐角，，得到，即可求的值．【详解】解：是锐角，，，，故选：B．3．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）的算术平方根等于．【答案】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值及求算术平方根，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．【详解】解：根据特殊角的三角函数值可知，，的算术平方根为，故答案为．4．（2023上·重庆万州·九年级重庆市万州第二高级中学校考期中）．【答案】【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及负整数与零指数幂、特殊角三角函数．根据负整数指数幂、特殊角三角函数及零指数幂进行计算即可．【详解】解：原式．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）先化简，再求代数式的值，其中；．【答案】；【分析】分别化简代数式和字母的值，再代入计算．【详解】原式，∵；，∴原式．【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，特殊角三角函数值，解题的关键是先化简，然后把给定的值代入求解．【经典例题二特殊角三角函数值的混合运算】1．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）计算的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查特殊角三角函数值的计算，运用特殊角的三角函数值计算．【详解】解：．故选：A．2．（2023下·黑龙江大庆·八年级校考期中）下列计算结果是有理数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的运算法则和特殊角的三角函数值计算各选项，再判定即可得出答案．【详解】解：A、，结果是无理数，故此选项不符合题意；B、，结果是有理数，故此选项符合题意；C、，结果是无理数，故此选项不符合题意；D、，结果是无理数，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查二次根式运算，特殊角三角函数，有理数．熟练掌握二次根式运算和特殊角三角函数值是解题的关键．3．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第九中学校考期中）．【答案】【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，直接利用特殊角的三角函数值代入，进而化简得出答案．【详解】解：原式．故答案为：．4．（2023下·九年级课时练习）．【答案】【详解】原式．【易错点分析】三角函数的定义、特殊角的三角函数值容易混淆．解决办法分别有画图、整体规律记忆、各特殊角的三角函数值相互之间的联系记忆．5．（上海市闵行区20232024学年九年级上学期期中数学试题）计算：【答案】【分析】直接利用特殊角的三角函数值，分别代入计算得出答案．【详解】解：原式．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．【经典例题三由特殊角的三角函数值判断三角形形状】1．（2022下·全国·九年级专题练习）若，则是（）A．直角三角形B．等边三角形C．含有的任意三角形D．顶角为钝角的等腰三角形【答案】B【分析】根据利用非负数的性质求得，再利用特殊角的三角函数值求出，即可得到结论．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴是等边三角形．故选：B．【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值、等边三角形的判定等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．2．（2019上·广东梅州·九年级广东梅县东山中学校考期末）在中，、都是锐角，且，，则是（

）.A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数，即可解答．【详解】解：∵，，∴，∴，∴是等边三角形，故选：B．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．3．（2022上·山东泰安·九年级校考阶段练习）在中，若，则是三角形．【答案】等边【分析】直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，再利用特殊角的三角函数值求出答案．【详解】解：，，，，，是等边三角形．故答案为：等边．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．4．（2023上·山东威海·九年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的形状是．【答案】钝角三角形【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴的形状是钝角三角形；故答案为钝角三角形．【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键．5．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值．【答案】【分析】取，连接，作，于交轴于，先利用坐标求出线段长，得到，进而得到，推出，，得到，再利用垂线段最短，得到当与重合，与重合时，最短，即为的长，利用三角函数即可求出答案．【详解】解：如图，取，连接，作，于交轴于，，，，，，，，，，，，当与重合，与重合时，最短，最小值即为的长，在中，，的最小值为．【点睛】本题考查了垂线段最短，锐角三角函数，30度角所对的直角边等于斜边一半，学会转化线段是解题关键．【经典例题四由计算器求锐角三角函数值】1．（2022·山东东营·模拟预测）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：2yx3－16＝，按键的结果为m；2ndF64－2x2＝，按键的结果为n；9ab/c

2

－

cos

60＝，按键的结果为k．下列判断正确的是（

）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k【答案】C【分析】分别计算出m，n，k的值即可得出答案．【详解】解：m＝23−＝8−4＝4；n＝−22＝4−4＝0；k＝−cos60°＝−＝4；∴m＝k，故选：C．【点睛】本题考查了计算器的使用，注意二次根式的副功能是立方根．2．（2023秋·九年级课时练习）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．B．用科学计算器计算：13××sin14°≈（结果精确到0.1）【答案】911.3【分析】A、首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数；B、利用科学计算器计算可得．【详解】解：A．∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°140°=40°，则这个正多边形的边数为：360°÷40°=9．故答案为：9．B.13××sin14°≈13×3.61×0.24≈11.3，故答案为：11.3．【点睛】此题主要考查了多边形的外角与内角和计算器的使用，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．3．（2023秋·九年级课时练习）用计算器求下列各式的值（精确到0.0001）：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)0.7314(2)0.2164(3)0.9041(4)【分析】利用计算器求出结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【点睛】本题考查计算锐角三角函数值，熟练使用计算器是解题的关键．【经典例题五根据特殊角三角函数值求角的度数】1．（22·23上·西安·阶段练习）如图，点A为反比例函数图像上一点，B、C分别在x、y轴上，连接AB与y轴相交于点D，已知，且的面积为2，则k的值为（

）

A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】先根据，得，根据同底等高可以得到，即可求得k的值．【详解】解：连结

，轴，故选C．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．2．（22·23下·九江·三模）如图，已知在抛物线上有一点，轴于B点，连接，将绕O点顺时针方向旋转一定的角度后，该三角形的A．B两点中必有一个顶点落在抛物线上，这个角度是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，设抛物线与y轴的交点为点C，则点C坐标为，再根据可得当点A与抛物线顶点C重合时满足题意，再利用锐角三角函数求得，从而求得旋转角度．【详解】解：如图，设抛物线与y轴的交点为点C，则点C坐标为，∵，轴于B点，∴，，，∵，∴，∴，∴将绕O点顺时针方向旋转，该三角形的A与抛物线的顶点C重合，故选：B．

【点睛】本题考查抛物线与y轴的交点，旋转的性质、勾股定理及锐角三角函数，根据抛物线求得顶点坐标，从而确定旋转角度是解题的关键．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，．

(1)求这条抛物线的表达式；(2)联结，求的度数；(3)联结、、，若在坐标轴上存在一点，使，求点的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根据已知条件求出点的坐标，将，的坐标代入，即可求得、，从而求得抛物线的表达式.（2）应用二次函数的性质，求出点的坐标，从而求得，进而求得的大小.（3）根据（2）的结论得出，进而分类讨论，即可求解．【详解】（1）解：∵∴，∵∴，则将，代入得：，解得，∴这条抛物线的表达式为；（2）过点作轴于点，过点作轴于点，∵∴，∴，则∵

∵∴，即，∴，∴.∴.（3）解：∵,∴∵∴，∴，∵∴轴或如图所示，

当轴时，，当时，，则是等边三角形，∴，∴，综上所述，或．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，已知特殊角的三角函数值求角度，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【经典例题六已知角度比较三角函数值的大小】1．（2019上·淮北·阶段练习）已知，那么锐角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据当α=45°时sinα=cosα和正弦函数和余弦函数的增减性即可得出答案．【详解】解：∵α=45°时sinα=cosα，当α是锐角时sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小，∴45°＜α＜90°．故选D．【点睛】考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小．2．（2022上·邵阳·期末）下列说法中正确的是（

）A． B．若为锐角，则C．对于锐角，必有 D．若为锐角，则【答案】B【分析】根据锐角三角函数的定义及性质、特殊角三角函数逐项判断即可．【详解】A、，故说法不正确；B、对于任一锐角，这个角的正弦等于它的余角的余弦，即若为锐角，则，故说法正确；C、当β=60°时，，则，故说法不正确；D、当α=45°时，，故说法不正确；故选：B【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及性质、特殊角的三角函数等知识，掌握它们是关键．3．（2021春·全国·九年级专题练习）我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示.（1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试分别比较，，，角的正弦，余弦，正切值的大小.【答案】（1）锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小.锐角的正切值随着角度的增大面增大；（2）见解析【分析】（1）根据概念结合图中几个锐角角，就能发现随着一个锐角的增大，它的对边在减小，邻边在增大，即可找到正余弦变化规律（2）根据（1）中规律即可【详解】解：（1）由题图可知，.∵，，，又∵，且，∴，∴∵，，，又∵，∴，∴．∵，，又∵，，∴.∴.规律：锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小.锐角的正切值随着角度的增大面增大.（2）；；.【点睛】本题考查锐角三角函数的求法以及比较大小，熟练掌握锐角函数的定义是解题关键【经典例题七根据三角函数值判断锐角的取值范围】1．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考开学考试）已知，则锐角的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值，，，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度增大而减小即可得到答案【详解】解：，，由可得，在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，，故选：D．【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数值性质是解决问题的关键．2．（2022春·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，E为AD上一点，若，则AB的最大值为．【答案】4【分析】设，则，根据，，根据正弦的增减性可得，当最大值，取得最大值，进而即可求解．【详解】设，则，则过点，则，当点与点重合时，取得最大值，此时最大，则最大，即取得最大值，此时，的最大值为故答案为：4【点睛】本题考查了矩形的性质，正弦的增减性，掌握三角函数的关系，矩形的性质是解题的关键．3．（2022春·九年级单元测试）（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试比较，，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“>”或“=”）若，则___________；若，则__________；若，则__________；（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，．【答案】（1）见解析；（2）；；（3）=，＜，>；（4）【分析】（1）在图（1）中，令，于点，于点，于点，有，．利用正弦公式求得；依据余弦公式得到；（2）由（1）得，当角度越大时，正弦值越大；当角度越大时，余弦值越小，即可得到答案；（3）利用概念分别得到、、的正弦值和余弦值，比较即可得到答案；（4）由，，利用（1）的结论解答即可．【详解】（1）在图（1）中，令，于点，于点，于点，显然有：，．∵，，，而．∴．在图（2）中，中，，，，，∵，∴．即．（2）由（1）得，当角度越大时，正弦值越大；当角度越大时，余弦值越小，∴；．（3）∵，，∴若，则；∵，，∴若，则；∵，，∴若，则．故答案为：=，<，>；（4）∵，，且，∴．【点睛】此题考查了锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数值的变化规律以及正余弦的转换方法是解题的关键．【经典例题八利用同角三角函数关系求值】1．（2023上·湖南邵阳·九年级统考阶段练习）如果是锐角，且，那么的值（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了同角的三角函数的关系，熟练掌握同角的三角函数的关系是解答本题的关键．根据题意得，利用求出答案．【详解】解：，．故选：．2．（2023·湖南娄底·统考中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可．【详解】解：∵，，∴即，，，故选：A．【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉是解题的关键．3．（2022上·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）已知，是锐角，则.【答案】【分析】根据求得的值，再根据求出即可．【详解】解：，是锐角，，．故答案为：．【点睛】本题考查三角函数，解题的关键是掌握正弦函数、余弦函数、正切函数之间的关系．4．（2023上·福建莆田·九年级校考开学考试）在中，，若，则的值为．【答案】【分析】设，根据勾股定理求出的长，再根据即可【详解】解：如图所示，，设，

则，．故答案为：．【点睛】此题考查了同角的三角函数，勾股定理，关键是熟练运用数形结合的数学方法．5．（2022·湖南湘潭·校考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，；，．例：．(1)试仿照例题，求出的值；(2)若已知锐角α满足条件，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把化为直接代入三角函数公式计算即可；（2）把化为直接代入三角函数公式计算即可．【详解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，，α为锐角，解得，∴．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解答本题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解．【经典例题九求证同角三角函数关系式】1．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（

）（假设有任意角α）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意即可写出式子．【详解】解：“正弦平方加余弦平方”的数学语言为：，故选：B．【点睛】本题考查同角三角函数关系，明确题意，用数学语言正确表达是解题的关键．2．（2020上·九年级校考课时练习）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论．【详解】解：如下图所示在Rt中，=，故A不符合题意；在Rt中，=，故B不符合题意；∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90°∴∠A=∠BCD∴=tan∠BCD=，故C不符合题意；≠，故D符合题意．故选D．【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键．3．（2018下·九年级单元测试）已知：实常数同时满足下列两个等式：⑴；⑵（其中为任意锐角），则之间的关系式是：【答案】a2+b2=c2+d2

【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin2θ+cos2θ=1，即可找到这四个数的关系．【详解】由①得asinθ+bcosθ=c，两边平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ=c2③，由②得acosθbsinθ=d，两边平方，a2cos2θ+b2sin2θ2absinθcosθ=d2④，③+④得a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）=c2+d2，∴a2+b2=c2+d2．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，sin2θ+bcos2θ=1的应用是解题的关键，属于基础题．4．（2019下·九年级单元测试）已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律．【答案】【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论．【详解】根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半，规律为：.故答案为.【点睛】本题考点：同角三角函数的关系.5．（2022春·九年级单元测试）如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．

【答案】；，理由见解析【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根据题意得出，即可得出．【详解】存在的一般关系有：，，证明：，，，，，，．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理的知识，熟练应用锐角三角函数关系是解答本题的关键．【经典例题十互余两角三角函数的关系】1．（2023上·辽宁沈阳·九年级东北育才双语学校校考阶段练习）在中，，，则下列式子成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据各个三角函数的定义即可解答．【详解】解：A、∵，∴，故A不成立，不符合题意；B、，∴，故B成立，符合题意；C、，∴，故C不成立，不符合题意；D、，∴，故D不成立，不符合题意；故选：B．

【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，解题的关键的数量掌握各个三角函数的求法．2．（2023上·黑龙江大庆·九年级校联考开学考试）已知，则锐角的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值，，，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度增大而减小即可得到答案【详解】解：，，由可得，在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，，故选：D．【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数值性质是解决问题的关键．3．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）在中，，，则的值为．【答案】【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，根据锐角三角函数的定义即可解答．【详解】解：在中，，，∴．故答案为：．4．（2019上·上海青浦·九年级校考期中）已知，，则．【答案】/【分析】应用互余两角三角函数的关系进行计算即可得出答案．【详解】解：根据题意可得，，，，，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握互余两角三角函数的关系进行求解是解决本题的关键．5．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题．(1)；；．(2)观察上述等式，猜想：在中，，都有；(3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(4)若，且，求的值．【答案】(1)1，1，1(2)1(3)证明见解析(4)【分析】（1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案；（2）由（1）中运算结果即可得到答案；（3）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证；（4）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案．【详解】（1）解：，，，故答案为：1，1，1；（2）解：由（1）中运算结果即可猜想在中，，都有，故答案为：1；（3）证明：在中，，，，的对边分别是，，，由勾股定理即可得到，，；（4）解：，，，，．【点睛】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键．【经典例题十一三角函数综合】1．（2023上·上海青浦·九年级校考阶段练习）在中，，，则下列各式中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据勾股定理计算得，根据锐角三角函数分别进行计算即可得．【详解】解：在中，，，则，∴，，，，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．2．（2022上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期末）如图，是半圆的直径，弦相交于点P，那么（

）

A． B． C． D．以上都不对【答案】B【分析】由图，可证，得．连接，则，得．【详解】解：由图知，∴．∴．连接，则，∴．故选：B

【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数；添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．3．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）当为锐角，且时，的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性．根据及即可求解，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键，此题基础题，比较简单，也是一道常考试题.【详解】解：，且，，为锐角，，故答案为：4．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，，E是边上的点，，，F是边上的一点，且，若M、N分别是线段、上的动点，则的最小值为．

【答案】【分析】过点F作的对称点G，过点G作于点Q，则的最小值为，利用三角函数，勾股定理，平行四边形的性质，计算即可，熟练掌握三角函数是解题的关键．【详解】过点F作的对称点G，过点G作于点Q，交于点H，则的最小值为，∵平行四边形中，，∴,，∴，解得，∴，，过点A作于点O，∴，解得，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，∴∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：．

5．（2022秋·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图（1），中，于点D．由直角三角形边角关系，可将三角形的面积公式变形为，即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半

如图（2），在中，于点D，，，∵，由公式①，得，即：．(1)请证明等式：；(2)请利用结论求出的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】由题意知，，，由，两边同时除以得，，代入求解即可；（2）根据，计算求解即可．【详解】（1）证明：由题意知，，，∵，两边同时除以得，，∴；（2）解：由题意知，；【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【重难点训练】1．（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）在中，，是边上的高，如果，，那么的长为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了解直角三角形，根据条件可得，，再根据即可求解．【详解】解：∵在中，，是边上的高，，，∴，∴，∵，，，∴，∴，即，∴．故选：C．2．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）的结果是（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握、、角的三角函数值是解题的关键，按照题中所给式子进行运算即可．【详解】解：∵，，，∴故选：B．3．（2023上·四川广元·九年级校考阶段练习）在中，，若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，设，根据正切的定义，即可得答案．【详解】解：由题意，得，故设则，故选：B．【点睛】本题考查三角函数的定义以及勾股定理，设是解题关键．4．（2023上·山东聊城·九年级校考阶段练习）在中，若，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意知，，解得，，根据，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，，解得，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，根据特殊角三角函数值求角的度数，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．5．（2023·湖南娄底·统考一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为()A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，可以计算出的值．【详解】解：由题意可得，，故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．6．（2022下·浙江·九年级专题练习）已知，关于角的三角函数的命题有：①，②，③，④，其中是真命题的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据三角函数的计算法则以及余弦函数、正弦函数和正切函数的增减性即可作答．【详解】解：由，得，故①正确；，故②错误；由可得，与矛盾，故③错误；，故④正确；故选：B．【点睛】本题主要考查了三角函数的计算，掌握相应的考点知识是解答本题的关键．7．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）在正方形网格中，A，B，C，D，E均为格点，则．【答案】1【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理和特殊角三角函数值，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．根据题意，连接、，然后利用勾股定理的逆定理，可以判断的形状，从而可以求得的度数，再求出正切值即可．【详解】解：连接、，则，∵，∴，设小正方形的边长为1，则，，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，即，∴，故答案为：1．8．（2023上·浙江·九年级校联考期中）若的直径为2，弦，弦，则的度数为．【答案】或【分析】分点C、D在直径的同侧和异侧两种情况，分别连接，分别在和中，根据三角形函数求得和的度数，最后根据角的和差即可解答．【详解】解：①如图①：当C、D在同侧时，连接，则.在中，，，∴，即,∴，在中，，∴，即；∴；②如图2：当C、D在异侧时，同理可得：故的度数为或．故答案为:或．

【点睛】本题主要考查的是圆周角定理、直角三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．9．（2023上·山东淄博·九年级校考阶段练习）已知为锐角，，则．【答案】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．【详解】解：∵a为锐角，且，∴，解得：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了根据特殊角的三角函数值求角度，正确记忆特殊角三角函数值是解题的关键．10．（2023上·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，正方形中，点E、F分别在边上，,，则°；若的面积等于1，则的值是．【答案】60【分析】利用“”先说明与全等，得结论，再利用角的和差关系及三角形的内角和定理求出；先利用三角形的面积求出，再利用直角三角形的边角间关系求出．【详解】解：∵四边形是正方形，∴．在和中，，∴．∴．∴∴．故答案为：60．过点F作，垂足为G．∵，∴．∴，∵，∴∴．在中，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质及解直角三角形，掌握正方形的性质及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．11．（2022·福建厦门·统考模拟预测）在等腰三角形中，，，点D是边上一点，若，则的度数为．【答案】/度【分析】先画出图形，根据得出，然后等腰三角形的性质求出，再根据证得，从而得出的度数，进而利用外角的性质得出的度数．【详解】解：如下图：

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用两边夹角法证得三角形相似，利用相似三角形的性质求出的度数．12．（2023·河北·统考二模）小明在计算时，先对题目进行了分析，请你根据他的思路填空：（1）原式中“”可以转化为，的值为.（2）原式中“”的结果为；（3）原式中“”的结构特征满足某个乘法公式，该公式为；（4）原式的最终结果为1.【答案】22【分析】（1）根据负整数指数幂的运算法则，即可求解；（2）根据求一个数的立方根，即可求解；（3）根据完全平方公式进行运算即可；（4）根据（1）（2）（3）及特殊角的三角函数值，进行运算，即可解答【详解】解：（1），故的值为2，故答案为：2；（2），故答案为：2；（3）；（4）【点睛】本题考查了负整数指数幂的运算法则，求一个数的立方根，完全平方公式，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，熟练掌握和运用各法则是解决本题的关键．13．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本