专题20模型构造专题反比例函数中k的几何意义有关的解题模型之五大类型

专题20模型构造专题：反比例函数中k的几何意义有关的解题模型之五大类型【考点导航】目录TOC\o"13"\h\u【典型例题】 1【类型一反比例函数中利用k值求三角形的面积】 1【类型二反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积】 5【类型三反比例函数中利用k值求平行四边形的面积】 8【类型四反比例函数中利用k值求矩形的面积】 12【类型五反比例函数中利用k值求阴影部分的面积】 15【典型例题】【类型一反比例函数中利用k值求三角形的面积】例题：（2023春·海南海口·九年级校考阶段练习）如图，已知点A为反比例函数的图象上任意一点，过A作轴于B，的面积为（

）

A．2 B．2 C．1 D．【答案】D【分析】根据反比例函数的系数的几何意义，即可得出解．【详解】解：由题意，得：的面积；故选D．【点睛】本题考查已知反比例函数的系数，求特殊图形的面积，熟练掌握反比例函数的系数的几何意义，是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考阶段练习）如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴，垂足为点，点在轴上，则的面积是（

）

A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】连接，根据平行线之间的距离处处相等可得，再根据k的几何意义即可得解．【详解】解：如图，连接，

∵轴，∴，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，解题的关键是应用平行线间的距离处处相等得到和的面积相等．2．（2023秋·甘肃兰州·九年级校考期末）如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于B，则的面积为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据反比例函数y系数的几何意义得到，，然后利用进行计算即可．【详解】解：∵轴于点A，交于点B，∴，，∴．故选：A【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．3．（2023春·河南新乡·八年级统考期中）如图，点A在双曲线点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接，．若的面积是4，则k的值为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】连接、，设与y轴交点为M，得到，再利用反比例函数系数的几何意义，得到，，然后根据列方程求出k的值，即可得到答案．【详解】解：如图，连接、，设与y轴交点为M，轴，轴，，点A在双曲线点B在双曲线上，，，，，解得：，，，故选：A．

【点睛】本题主要考查了考查了反比例函数系数的几何意义，熟记反比例函数面积与k的关系是解题关键．4．（2023春·江苏徐州·八年级统考期末）如图，点在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于．

【答案】1【分析】延长交轴于，连接、，可求，，即可求解．【详解】解：如图，延长交轴于，连接、，

轴，，，，故答案：．【点睛】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，理解的几何意义是解题的关键．【类型二反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积】例题：（2023春·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）如图，反比例函数的图象经过正的顶点P，则的面积为．

【答案】【分析】过点作，设，则，，由为正三角形可得，，求解即可．【详解】解：过点作，如下图：

设，则，，∵为正三角形，，∴，．故答案为：．【点睛】此题考查了反比例函数的性质和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质．【变式训练】1．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为．

【答案】4【分析】过A作于H，依据可得的面积为2，根据等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：如图，过A作于H，

∵点A在反比例函数第二象限内的图象上，∵的面积为，∵，∴的面积为．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．2．（2023秋·贵州铜仁·九年级统考期末）如图，点在反比例函数第一象限内的图象上，点在轴的正半轴上．若是等边三角形，则的面积为．【答案】2【分析】过点A作轴于C，根据等边三角形的性质得到，再根据反比例函数系数k的几何意义得到即可求解．【详解】解：过点A作轴于C，∵点在反比例函数第一象限内的图象上，是等边三角形，∴，∴，故答案为：2．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、等边三角形的性质，熟知反比例函数系数k的几何意义是解答的关键．【类型三反比例函数中利用k值求平行四边形的面积】例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为．【答案】6【分析】作于，根据四边形为平行四边形得轴，则可判断四边形为矩形，所以，根据反比例函数的几何意义得到，据此即可得到答案．【详解】解：过点A作于，如图，四边形为平行四边形，轴，四边形为矩形，，∵，故答案为：6．【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是掌握从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．【变式训练】1．（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）如图，的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上，顶点C在第一象限，反比例函数的分支过点C，若的面积为6，则．【答案】6【分析】过点C作于点E，连接，利用平行四边形的性质，证明，得到，进而得到，再根据反比例函数系数的几何意义，即可求出的值．【详解】解：如图，过点C作于点E，连接，，∴，，，在和中，，，，，，设，点C在第一象限，，，，，，反比例函数的分支过点C，，故答案为：6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数系数的几何意义，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，四边形是平行四边形，点A、B分别在反比例函数和的图像上，点C、D都在x轴上，则的面积为．

【答案】10【分析】过点A作规于E，过点B作规于F，设与y轴交于G，MJ，，再根据平等四边形与矩形的性质得出，即可求解．【详解】解：如图，过点A作规于E，过点B作规于F，

∵，∴，即，∵，，∴，∴四边形是矩形，四边形是矩形，∴，∵点A、B分别在反比例函数和的图像上，∴，，∴，∴．故答案为：10．【点睛】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键．3．（2023·安徽亳州·九年级专题练习）如图，点A是双曲线上的动点，过点A作x轴的平行线交双曲线于点B，作轴于点C，连接，若四边形为平行四边形，则k的值是．【答案】【分析】延长交y轴于点D，过B作轴，结合反比例函数k的几何意义即可得到答案；【详解】解：延长交y轴于点D，过B作轴，∵点A是双曲线，轴，∴，，∵四边形为平行四边形，∴，∵轴，轴，轴，∴，∵点B在上，∴，解得：，故答案为；【点睛】本题考查反比函数k的几何意义，解题的关键是根据平行四边形对角线将四边形分成两个全等的三角形得到面积．【类型四反比例函数中利用k值求矩形的面积】例题：（2023·广东佛山·佛山市汾江中学校考三模）如图，是函数图象上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，则四边形的面积是．

【答案】【分析】直接根据反比例函数比例系数的几何意义求解．【详解】解：∵是函数图象上的一点，又，∴四边形是矩形∴矩形的面积．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．【变式训练】1．（2022秋·山东滨州·九年级统考期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点、在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】延长交轴于点，根据反比例函数的几何意义可得答案．【详解】解：延长交轴于点，则轴，四边形是矩形，如图：∵点在双曲线上，点在双曲线上，∴，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，熟练掌握过反比例函数上一点作坐标轴垂线组成的四边形面积为是解答本题的关键．2．（2023秋·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象上的一点，则矩形的面积为．【答案】【分析】根据反比例函数的几何意义，直接求出即可．【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，∴矩形的面积，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，理解反比例函数的几何意义并熟练运用是解题关键．3．（2023春·山东菏泽·九年级统考开学考试）如图，若点与点是反比例函数的图象上的两点，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，轴于点，设矩形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系为：（填“”，“”或“”）．【答案】【分析】根据反比例函数k的几何意义可求出与的值．【详解】∵点A与点B是反比例函数的图象上的两点，过点A作轴于点M，轴于点N，过点B作轴于点G，轴于点H，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握数形结合的思想是解决本题的关键．【类型五反比例函数中利用k值求阴影部分的面积】例题：（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，设点作反比例函数的图象上，轴于点，交反比例函数的图象于点A，轴于点，交反比例函数的图象于点，则四边形的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得，，，即可得四边形的面积．【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，交反比例函数的图象于点A，轴于点，交反比例函数的图象于点，∴，，，∴四边形的面积为：，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数中k的几何意义．【变式训练】1．（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）如图，两个反比例函数和（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为．

【答案】/【分析】根据反比例函数k值的意义，求出四边形的面积和，的面积即可得出答案．【详解】解：∵，，∴四边形的面积为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数中的k值与矩形和三角形的面积关系．2．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）点，，在反比例函数（常数，）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作轴、轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．，若四边形的面积是27，则的值为；若，则的值为；若，则的值为．

【答案】2727【分析】利用反比例函数系数的几何意义可得，根据求解，然后利用列方程求解即可得到答案．【详解】解：由题意知：四边形是矩形，若四边形的面积是27，∵在反比例函数（常数，）图象上，且四边形的面积是27，∴；若，同理：矩形，矩形的面积都为，∴；若，，，，∴故答案为：27，27，【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．3．（2023春·八年级单元测试）如图，已知正方形的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点在y轴上，点B在函数（，）图象上，点P是函数（，）图象上异于点B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．设矩形和正方形不重合部分的面积为S．

(1)点B的坐标是______，k=______；(2)当，求点P的坐标；(3)求出S关于m的函数关系式．【答案】(1)，9(2)点的坐标（，6）或（6，）(3)【分析】（1）由正方形的面积公式求出正方形的边长，确定出及的长，得到点B的坐标，将B的坐标代入反比例函数解析式中即可求出k值；（2）分两种情况考虑：①当点P在点B的左边时，不重合部分为矩形，将P的坐标代入第一问确定出的反比例函数解析式中，得到的值，根据P及B的坐标，表示出与，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，将的值及已知的面积代入，即可求出m的值，进而得到n的值，确定出此时P的坐标；②当点P在点B的右边时，不重合部分为矩形，由P及B的坐标表示出及，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，将的值及已知的面积代入求出n的值，进而求出m的值，确定出此时P的坐标，综上，得到所有满足题意的P的坐标．（3）分两种情况考虑：①当点P在点B的左边时，不重合部分为矩形，将P的坐标代入第一问确定出的反比例函数解析式中，得到的值，根据P及B的坐标，表示出与，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，化简即可得到S关于m的函数关系式；②当点P在点B的右边时，不重合部分为矩形，由P及B的坐标表示出及，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，化简即可得到S关于m的函数关系式，综上，可得到S关于m的函数关系式．

【详解】（1）∵正方形的面积为9，，．又∵点在函数（，）的图象上，．故答案为：，9．（2）

分两种情况：①当点P在点B的左侧时，矩形和正方形不重合部分为矩形．∵在函数上，∴．∵，，∴，又，∴，解得：，可得，∴点P的坐标为；②当点P在点B的右侧时，矩形和正方形不重合部分为