解三角形十类题型（解析版）

高考对本节的考查不会有大的基本使用、面积公式的应用为主．从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主.a>b⇔A>B⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB③合分比：=======2R①sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB⇔c=acosB+bcosA②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；③斜三角形中，-tanC=tan(A+B)=-⇔tanA+tanB+tanC=tanA⋅tanB⋅tanCsinB=2sinCsin(A+，又因为sinB=sin(π-A-C)=sin(A+C(，、sinA+sinAcosC-3sin、sinA+求A.由正弦定理得sinB=、3sinAsinC+sinAcosC，又B=π-(A+C(，所以sinB=sin[π-(A+C([=sin(A+C(=、3sinAsinC+sinAcosC，故sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+3sinAsinC，2A=、3c,由于A+B+C=π,所以sin(B+C)=sin(π-A)=sinA，则sinA=3sinAcosC.=因为0<C<π,所以sinC=1-cos2C=2+b因为0<C<π,所以sinC=1-cos2C=22.,求tanBtanC.c=a++,求tanBtanC.c=a++【答案】tanBtanC=++c=a++“0<A<π,则sinA>0，故cosBcosC+2cosA=0，所以tanBtanC=.33C2A+B2C2A+B2=sinC-C2C2C=2→=3C2C2C=2→=3→C=A+B2A+B2A+B2A+B2A+B2A+B2C=sin-因为A+B+C=π,所以cos(AC=sin-C2CCC2CC由正弦定理可得，sinB+sinC=3sinAsinC+sinAcosC，因为A+B+C=π,所以sinB=sin(A+C(=sinAcosC+cosAsinC.A-(=而-π<A-π<5π,所以A-整理得3sinCsinA+sinAcosC=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC，即3sinCsinA+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，于是所以3sinCsinA=cosAsinC+sinC，sinA-cosA=，所以A-=，解得。A=.点评：拆角+辅助角公式⇒sinAcosC+、3sinCsinA=sin(A+C(+sinC⇒、3sinCsinA而A-∈(-,⇒A-=⇒A=.得sinAcosC+、3sinAsinC=sinB+sinC即sinAcosC+、3sinAsinC=sin[π-(A+C([+sinC，3sinAsinC=cosAsinC+sinC,由于0<A<π,-π<A-π<5π,所以A-π=A-，所以-A=A-或-A+A-=0(显然不成立)，所以A=值.A-，所以-A=A-或-A+A-=0(显然不成立)，所以A=cosA=b2+ccosB=c2+a2-b2；cosC=a2+b2-c2cosB+b2=2abcosC+a2+c2，求B.2、、2=A.B.C.D.A.B.C.D.2=a2+c2-ac=ac，2+c2=ac，根据正弦定理得sin2A+sin2C=si所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=，、因为A,C为三角形内角，则sinA+sinC>0，则sinA、tanAtanC==3b2+ctanAtanC==2b2+b2-c22=4b2=2b2+b2-c22=4b2即sinAcosC=-2sinCcosA，tanAtanC=-2.tanAtanC=-2.A.B.C.D.A.B.C.D.2==，又0<C<π,所以C=π.所以c=bcosC==，又0<C<π,故C=.sinA(ccosB+bcosC(-csinB=csinC+bsinB，求角A所以sinA(ccosB+bcosC(-csinB=csinC+bsinB，可化为asinA-csinB=csinC+bsinB，再由正弦定理得a2-cb=c2+b2，得c2+b2-a2=-bc，【答案】=-32=c2+a2-2accosB，即3sinAcosB=-cosAsinB，所以=-3因为0<A<π,所以，A=.-B(=2sinC=2sin(A+B(，化简得a2=b2+2c244cosC===，又cosC=a=a所以cosC=a=所以sinC=、1-cos2C=2=.+sinB(sinC+cos2C=1∴(sinA+sinB(sinC+1-2sin2C=1-=2+c2-(-=所以sin(A-B)=sinAsinB，所以所以a2+c2-b2-b2-c2+a2=a2+b2-c2，2+c2=3b2，(b-c(sinB=bsin(A-C(，所以(b-c(sinB=b(sinAcosC-cosAsinC(，2-bc=abcosC-bccosA=-=a2-c2，2+b2-c2=2ab可得cosC=a2+b2-c2=2>0，所以B=π.-==-= +2 +2由正弦定理有a=b=c+2从而a=6⋅2c=3+1cb=+22，22 周长.2=b2+c2-bc，2+c2-bc=6①于是C=π-A-B=，sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=，长.b+c=b2+c2+2bc=23，2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-8，所以a2=b2+c2-2bccosA=(b+c(2-2bc-8，所以(b+c(2=49，所以b+c=7，则△ABC周长为a+b+c=5+7=12.∴C=π-A-B==+=3 =+=3 +63所以△ABC的周长为a+b+c=2+26+32+6=2+6+22=b2+c2-bc，2+c2-a2=12+c2-bc=6①A-1=1-2sin2A=cos2A-sin2A2B=sin2C+sinAsinC，故sinC=sin(B+C(-2sinCcosB，整理得sinC=sin(B-C(.所以C=B-C，因此B=2C.2-b2=bc；-c((a2-b2-bc(=02-b2-bc=0或b=c当b=c时，C=B，A=2B=2C=，∴a2=b2+c2=b2+bc即a2-b2=bc，综上a2-b2=bc()A.2B.3C.2所以B=π故C=π-A-B=又因为0<A<π,0<2B<2π,所以A=2B或A+2B=π.若A+2B=π,又A+B+C=π,所以B=C，与a，b，c互不相等矛盾，所以A=2B.求a.c-4(=4(c2-16(.(A=2BB=C，A+B+C=πc-4(=4(c2-16(，得a=2又c-a<b，即c-a=c-2c+4<4，则0<c<12.*=(2b-c(cosB.又因为0<A<π,0<2B<2π,所以A=2B或A+2B=π.若A+2B=π,又A+B+C=π,所以B=C，与a，b，c互不相等矛盾，所以A=2B.(2)由(1)知C=π-(A+B(=π-3B，所以0<B<.-3B(=2sin2B，又因为sin3B=sin(2B+B(=sin2BcosB+cos2BsinB=2sinBcos2B+2sinBcos2B-sinB=3sinB-4sin3B又0<B<，得cosB=.2+c2-a2=2bccos2B，2+c2-a2=2bccosA，∴A=2B或A+2B=2π.∵B<A+B<π,A+2B<2π,∴A=2B.=2sinBcos2B+(2cos2B-1(sinB=4cos2B-1=2cosB-1则f(t(在,1(上单调递增，则f<f(t(<f(1(，+ccos2=b2+ccos2=b即a+c+acosC+ccosA=3b，由正弦定理可得3sinB=sinA+sinC+(sinAcosC+cosAsinC(=sinA+sinC+sin(A+C(=sinA+sinC+sin(π-B(=sinA+sinC+sinB，2+ccos2(a+c-b)=+(a+c-b)=(a+c-b)== (a+c+b)(a+c-b)22+c2-b2+2ac2=ac，2+c2-b2=ac，⇒B=.公众号：慧博高中数学最新试题公众号：慧博高中数学最新试题AC的长.=，2θ-1=-，所以∠ADC=π-θ-2θ,2=DA⋅DE⇒DE=⇒b=2 、1+3c2-2 、1+3c2-AB=BCAB=BCACBC=CDCMACBC=CDCMAMCM22又BC边上中线AD=1，所以BC=2，AB=1，AC=3，(2)方法一：由题可知AB=c,AC=3c,AD=1,BD=DC=，aDCAC=2=3DCAC=2=3c+ 2+2-c2+=0,所以a2+4=8c2在△ADC中，由余弦定理得DC2=AD2+AC2-2AD⋅AC⋅cos∠DAC，2a2即=1+c232a2即2+22=2+22=2=(2c2-1((c4+4c2+4(，=a6+7c4-5c2-4=0，即(c2-1((2c2+1((c2+4(=0，故BC的长为2.设∠ABC=2θ,∠DAC=θ,则∠ABM=∠CBM=θ,(AB=AM。所以=.由题可知AB=c,AC=、3c,BC=a，所以=,CM=，所以a=-3c(舍)或a=2c.cos∠ADB+cos∠ADC=12+2-c2+12+2-(、3c)2=0所以a2+4=8c2，故BC的长为2.由题可知AB=c,AC=、3c,BC=a,BD=DC=，2=所以a=-3c(舍)或a=2c.cos∠ADB+cos∠ADC=12+2-c2+12+2-(、3c)2=0所以a2+4=8c2，故BC的长为2.为A到BC的距离，h2为D到AB,AC的距离.∠ABD+∠ADC=π⟹cos∠ABD+cos∠ADC=0,,则AC=即AB×AC=AB×AD+AD×AC，代入AB=23，AD=2333=3b2+c22=3b2+c2=b2+4b2-7b2=-1=b2+4b2-7b2=-1所以A=2π.设AD=x，由AD平分∠BAC，所以S△ABD+S△ADC=S△ABC,==4.故AD的长度为4.2+b2-2由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得，3+32解得：AD==23+322+b2-2 +2 +2又因为BD为角B的平分线，S△ABD+S△CBD=S△ABC，得bc=b+c，作AE⊥BC于E，则==⇒==2， 所以AB⋅ADsin∠DAB+AC⋅ADsin∠DAC=A即AB+AC=AB⋅AC，所以b+c=cb.所以，所以tan∠BAC=tanθ=—→—→2+c2=a2+2bccosA=13，即AD的长为.2+c2=8sinB=1-cos2B=2=，所以tanB==.2=CD2+AD2-2CD⋅ADcos∠ADB，2+AD2=4=CD2，则∠CAD=， C=，过A作AE⊥BC于E，于是CE=ACcosC=,AE=ACsinC=，BE=，所以tanB==.π-∠ADC)π-∠ADC)所以b=c=、AD2+CD2=2.方法2：在△ABC中，因为D为BC2+C2=(A+A)2+(A-A)2=2(b2+c2)=16，即4+a2=16，解得a=2、3，所以b=c=、AD2+CD2=2.化简得a2+c2-b2=-ac,∴cosB==-.=；2=a2+c2+ac=c2+3c+9。①,取AC的中点D，连接BD，BC2+CD2-BD2a2+-BC2+CD2-BD2a2+-△ABC=acsinB=.2所以C=(C+C(，2=2+2+2C⋅C((=7，所以CD=2-a2+c2+3c=0，△ABC的面积为,求边BC的中线AD的长.因为余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc,又已知b2-a2+c2+3c=0,可得bc=3c,即得b=3,c=5.因为BC的中线AD,可得2A—=A+A—,2=(A+A(2=A2+A2+2A⋅A=9+25+2×3×5×(-=19AD=.AD=.2c24+2-b22cos∠ADC===AD2+CDc24+2-b22cos∠ADC===、c、c2+2-/22c2+2-/22c24BD2+CD2-BC2=cos=2BD⋅则+-b2+=0，整理化简可得：=b2，cos∠ACB=a2+b2-c2=4+b2-2b2=2所以b=-、2+、6，D是AC中点，则AD=CD=7a，7a2+13-9a27a2+13-9a2厂所以△ABC的周长为a+b+c=a+、7a+3a=8+27.【详解】D为AC的中点，:2BD=BA+BC,:4B2=(B+B(2=c2+a2+2ac×(-(,」BD2=BC=a,:a2-5a+4=0,:a=1或a=4,所以△ABC的面积为S△ABC=3或S+C(=sinA，2=22b=a=6b=a=6又sinA>0，所以cosA=5sinA=1-cos22B=45∴cosC=-cos(A+B(=-cosAcosB+sinAsinB=-，∴cosC=-sinA=cos(A+(.则C=A+π.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=(b+c(2-2bc(cosA+1(，得(b+c(2=2bc(1+cosA(+a2得(b+c(2=2bc(1+cosA(+a2=48、5....bsinA=bsinA=bsinA=-b，3bsinA=-b，3所以由余弦定理得c-3sinAsinB=sinAcosB-sinB，由于sinC所以由余弦定理得c-3sinAsinB=sinAcosB-sinB，由于sinC=sin(A+B(=sinAcosB+cosAsinB，sinAsinB=-sinB.sinAsinB=-sinB.===6所以A=6所以A-1=21=22由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA=a+16a-4BDADCDAD ==3/3+123/3+12=,:=/3+12/3+12cosα+2:tanα=-9-6、3；2=ac2=ac=时，a+b=+<c(舍去).2=ac2=ac故AD=AB，即=2=ac则cos∠ABC==.由(1)知BD=b=AC，再由AD=2DC得AD=b,CD=b.2=a2由AD=2DC，得DE=cEC=aBE2+2-b2在△ABC中cos∠ABC=a2+c2所以=-，2=ac2-11ac+3c2=0，即a=或a=c.—→—→因为AD=2DC，所以AD=2DC.以向量B,B为基底，有B=B+B.所以B2=4B2+4B⋅B+2=ac2+4ac⋅cos∠ABC+c2.③ADAD=sin∠ADCsin∠ADC=sin∠ADCsin∠ADC=3AC=3，则AC=23AC设DC=m，则DB=2m，2+m2-(23)22+m2-(23)2cos∠ADC==则m=2，故BC=3m=6.因为sinC=sin(A+B(=sinAcosB+cosAsinB，所以sinBcosA+、3sinBsinA=sinA+sinAcosB+cosAsinB，化简得3sinBsinA=sinA+sinAcosB，B-=，所以B-=，则B=.(2)由B=,S=acsinB=、3有ac=42=a2+c2-2accosB可得a2+c2=8，所以AD=2故BD的长为.,求tan∠BAD.2B=2=，因为A+B+C=π,所以，C=-B，设∠BAD=θ,则∠CAD=-θ,2=3-2.2+6所以，2=3-2.2+6【详解】B=B+B=(B+A—)+B=B+A—，则A—=1A则DC=DA=b=AC，可得△ADC为等边三角形，