2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-142 用空间向量研究距离、夹角问题

2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题

基础过关练

题组一用空间向量求空间距离

1.(2021辽宁沈阳期末)已知AABC的顶点A(l,-1,2),B(5,-6,2),

C(l,3,-1),则AC边上的高BD的长等于()

A.3B.4

C.5D.6

2.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，平面AB.C与平面A£D之间的距离为

()

A.fB.第

63

C.竽D-T

3.平面直角坐标系xoy中，I、n象限所在的半平面记为Q,III、w象限所在的半

平面记为B,x轴记为1,已知点A(-2,3),点B(3,-2),将半平面B沿直线1折起,

使得二面角a-1-P的平面角的大小为60。，这时A,B两点间的距离

为.

4.(2020上海交通大学附属中学检测)棱长为1的正方体ABCD-ABCD中,M,N分

别是线段BBbBC的中点,则直线MN到平面ACDi的距离为.

5.(2022辽宁抚顺一中开学考试)如图,棱长为1的正方体ABCD-A周CD中,N是棱

AD的中点，M是棱CG上的点，且CCL3CM,则直线BM与B.N之间的距离

为.

6.（2022重庆名校联盟月考）如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面

AECF所截得到的，其中AB=4,BC=2,CCF3,BE=1,四边形AECF为平行四边形.

（1）求BF的长;

⑵求点C到平面AEC.F的距离.

题组二用空间向量求空间角

7.（多选）（2022浙江金华建华中学月考）直线1的方向向量为a,平面a,B的法

向量分别为n,m,则下列命题为真命题的是（）

A.若a，n,则直线1〃平面a

8.若2〃必则直线1，平面a

C.若cos<a,n>4则直线1与平面a所成角的大小为!

LO

D.若cos<m,n>=1,则平面a,B的夹角为日

4o

8.（2020山西大学附属中学测试）在正方体ABCD-ABCD中,M为AB的中点,则异

面直线AM与B.C所成角的余弦值为（）

A..B.誓C为D.4

51022

9.（2020黑龙江哈尔滨检测）在空间中，已知平面a过点⑶0,0）和（0,4,0）及z

轴上一点（0,0,a）（a>0）,如果平面a与平面Oxy的夹角为45°,则a=.

10.（2021天津武清杨村三中月考）如图所示,几何体ABCD-ABCD是棱长为6的正

方体,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF,当AbE,F,G共面时,求平面A.DE与

平面GDF夹角的余弦值.

11.（2021重庆三十七中月考）如图，已知点P在正方体ABCD-A'B'C'D'的体对角线

BD'上，满足BP=2PD'.

⑴求DP与CC'所成角的余弦值；

⑵求DP与平面AA'D'D所成角的正弦值.

12.如图所示,在三棱锥S-ABC中,0为BC的中点,SOJ_平面ABC,侧面SAB与SAC

均为等边三角形，ZBAC=90°,求平面SAC与平面SBC夹角的余弦值.

能力提升练

题组一用空间向量求空间距离

1.（2022山东枣庄八中质检）如图，在棱长为a的正方体ABCD-ABCD中,P为AD

的中点,Q为AB上任意一点,E,F为CD上两个动点,且EF的长为定值,则点Q到

平面PEF的距离（）

AR

A.等于B.和EF的长度有关

C.等于修aD.和点Q的位置有关

2.（2022安徽合肥第六中学期中）如图所示，在正四棱柱ABCD-A.B.C.D.

中，AA尸2,AB=BC=1,动点P,Q分别在线段C.D,AC上,则线段PQ长度的最小值是

2

V_2B

-V5一

33D.3

3.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形,PDJ_平面ABCD,且PD=AD=1,AB=2,点

E是线段AB上一点，当平面PEC与平面ABCD的夹角为:时,AE=，点D到面

PEC的距离为.

4.（2022上海洋泾中学期中）如图所示，四棱柱ABCD-ABCD是底面边长为1的正

四棱柱.若点C到平面AB.D.的距离为］则正四棱柱ABCD-A.B.C,D.的高

为.

I)

题组二用空间向量求空间角

5.（2022湖北武汉第十四中学月考）如图所示，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD

是菱形,且PAL平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点，则平面PBC与平面BFD夹

角的正切值为（）

6.（2020河南省实验中学期中）已知菱形ABCD中，NABC=60°,沿对角线AC折起之

后,平面BACJ_平面DAC,则平面BCD与平面CDA的夹角的余弦值为（）

7.（2020陕西西安中学月考）在正三棱柱ABC-ABG中,AB=2,E,F分别为A£,AB

的中点，当AE和BF所成角的余弦值为看时,AE与平面BCCB所成角的正弦值为

（）

题组三用空间向量解决立体几何中的探索性问题

8.(2022北京师大二附中)在四棱锥P-ABCD中，PDJL平面

ABCD,AB//DC,AB±AD,DC=AD=1,AB=2,ZPAD=45°,E是PA的中点,F在线段AB上,

HCF•前二0.

(1)求证:DE〃平面PBC;

(2)求平面FPC与平面PBC夹角的余弦值；

(3)在线段PA上是否存在点Q,使得FQ与平面FPC所成角的余弦值是乎?若存在,

求出AQ的长;若不存在,请说明理由.

9.(2021山东新高考质量测评联盟联考)如图所示,正方形ABCD和矩形ADEF所在

的平面互相垂直，动点P在线段EF(包含端点E,F)±,M,N分别为AB,BC的中

点,AB=2DE=2.

⑴若P为EF的中点,求点N到平面PDM的距离;

⑵设平面PDM与平面ABCD的夹角为。，求cos。的最大值,并求出此时点P的位

置.

答案全解全析

基础过关练

1.C由题意得荏二(4,-5,0),前二(0,4,-3),则直线AC的单位方向向量

u=(0,；|),所以AC边上的高BD的长即B到AC的距离，为

JAB2-(AB•U)2=V41-16=5.

2.B以Di为坐标原点,取7,左,贬的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向，建立

如图所示的空间直角坐标系，则At(l,0,0),0,(0,1,0),D(0,0,1),A(l,0,1),所以

西二(l,0,T),

设平面AiCiD的法向量为m=(x,y,z),

则pn•DA^=x-z=0,

、m•DCt=y-z=0,

令z=l,则x=l,y=l,故m=(l,1,1).

显然平面AB©〃平面ACD,

所以平面ABC与平面ACD之间的距离为巫士二”.

m\3

3.答案4V2

解析平面直角坐标系xOy中，作ACI1于C,BD±1于D,则AC=3,CD=5,BD=2.

因为二面角a-1-p的平面角的大小为60°,

所以两向量才？，丽的夹角为120。，

所以荏|二J|J?+而+而

2

2

+\CD+9+2AC

(9+25+4+2x3x2x©)

=V32=4V2,

所以A,B两点间的距离为4&.

4.答案.

解析如图，以点D为坐标原点,DA,DC,DDi所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空

间直角坐标系,

则C(O,1,O),»(O,0,1,|),A(l,0,0),

：.AM=(0f1,|),^4C=(-1,1,0),AD^=(-l,0,1).

设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),

则卜.生0,即*

(n•AD1=0,"%+z=0,

令x=l,则y=z=l,An=(l,1,1).

・・・点M到平面ACD.的距离d=而f

|n|2

:丽〃丽,且MN。平面AC》，ADC平面ACD,

，MN〃平面ACDi.

・,・直线MN到平面ACD.的距离即点M到平面AC”的距离,为当

世

5.答案6

89

解析建立如图所示的空间直角坐标系,

则B(l,1,0),Bi(1,1,1),M(0,1,I),Ng,0,0),

・,•丽＞(0,0,1),0,I),

设直线BM与BiN的公垂线方向上的向量n二(x,y,z),则『•吧=仇即

(n•BiN=0,

-x+-z=0,

-1x-y-z=0,

令x=2,则z=6,y=-7,/.n=(2,-7,6).

设直线BM与BN之间的距离为d,则d=鼻土二七二"薯.

|n|V8989

6.解析(1)因为四边形AECF为平行四边形,所以刀二弱.设DF=a.建立如图所

示的空间直角坐标系，则B(2,4,0),A(2,0,0),E(2,4,1),

C.(0,4,3),F(0,0,a).所以存二(一2,0,a),EC^=(-2,0,2),所以(-2,0,a)=(-2,0,2),

所以a=2,所以F(0,0,2),所以丽=(-2,-4,2).所以|而|二2以,即BF的长为2痣

(2)易知C(0,4,0),又G(0,4,3),A(2,0,0),E(2,4,1),

所以西二(0,0,3),EQ=(-2,0,2),荏二(0,4,1).

设平面AECiF的法向量为n=(x,y,z),

则卜•廉=4y+z=0,

(n•EC1=~2x+2z=0,

令x=l,则y=-z=l,所以n=(l,-1)

所以C到平面AEC.F的距离d二叵五二言二察.

|n|V3311

4

7.BCD若a，n,则直线1〃平面a或1在平面a内，故A中命题为假命题；

若a〃n,则a也是平面a的一个法向量，所以直线1J_平面Q,故B中命题为真命

题；

直线与平面夹角的正弦值等于直线与平面法向量夹角的余弦值的绝对值,所以若

cos<a,n>4则直线1与平面。所成角的大小为g故C中命题为真命题；

两个平面的夹角与它们法向量所成的不大于90°的角相等，故D中命题为真命

题.

故选BCD.

8.A以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

设正方体的棱长为1,则A(l,0,0),Bi(1,1,1),C(0,1,0),M(1,i,1),

A|AM|=y,|B7C|=V2,AM•即=T,

・,・异面直线AM与B£所成角的余弦值为|cos〈宿,时〉|=

第簧啰故选人

9.答案y

解析设点(3,0,0),(0,4,0),(0,0,a)(a>0)分别为A,B,C,则就二

(-3,0,a),AB-(-3,4,0).

设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),

则j”,几=0,即-3x4-az=0,

[AB•n=0,-3x+4y=0,

取Z=1,则x=，y=J,An=g,J,l).

34\34/

取平面Oxy的一个法向量为m=(0,0,1).

Io+o+i

/.Icos<m,n>|二，解得a4(负值舍去).

-Vo+o+i乙o

10.解析易知当E,F分别是AB,BC的中点时,AbE,F,G共面,且AE=BF.以点D为

坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则

A1(6,0,6),D(0,0,0),C(0,6,6),E(6,3,0),F(3,6,0).

J西二(6,0,6),DE=(6,3,0),DC^=(0,6,6),DF=(3,6,0),

设平面AiDE的法向量为ni=(xbybZi),

n

±.[i*DAI=0,彳曰[6X1+6Z1=0,

Li•尻=0,(6xi+3yi=0,

令XFI,则yi=-2,zi=-l,Ani=(l,-2,-1).

设平面C.DF的法向量为n2=(x2,y2,Z2),

.(n2•DC7=0,^|6y2+6z2=0,

ln2-DF=0,^l3x2+6y2=0,

令x尸2,则y2=-l,z2=l,An2=(2,-1,1).

设平面A.DE与平面GDF的夹角为。,

711nz3

贝Ucos0=Icos<nbn2>|*-=1^

In!IIn2IV6XV62

・・・平面ARE与平面C.DF夹角的余弦值为今

11.解析建立如图所示的空间直角坐标系.

设正方体的棱长为1,则P(1,|),C(0,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1).

(1)易知前二G，I，|),cF=(o,0,1).

设DP与CC'所成角为e,则COS0二硬至二I皋g

|DP||CC1可xCT3

.♦.DP与CC'所成角的余弦值为当

(2)由⑴知加=(鸿,|).

易知觉二(0,1,0)为平面AA，D，D的一个法向量.

设DP与平面AA'D'D所成角为a,则sina=|cos<DP,DC>\

T震饕〜"，DP与平面AA'D'D所成角的正弦值为咚

|DP||DC|

阿T66

12.解析因为ASAB与4SAC均为等边三角形,所以AB=AC.连接0A,则OA1BC.

以0为坐标原点,OB,0A,0S所在直线分别为x轴,y轴,z轴，建立如图所示的空间

直角坐标系Oxyz.设B(1,0,0),则C(-1,0,0),

A(O,1,O),S(O,0,1),0(0,0,0).

所以正、(0,1,-1),SC=(-1,0,-1),OA=(0,1,0).

设平面SAC的法向量为n=(x,y,z),

则卜・巨=y-z=o，

(n•SC=-x-z=0,

令x=l,则Z=-1,y=-l,所以n=(l,-l,-l).

易知平面SBC的一个法向量为瓦心(0,1,0).

所以|cos〈UXn>14号，

所以平面SAC与平面SBC夹角的余弦值为号.

能力提升练

1.A取BC的中点G,连接PG,CG,DP,则PG〃CD,所以点Q到平面PEF的距离即点

Q到平面PGCD的距离,与EF的长度无关,B错.易知AB〃平面PGCD,所以点A倒

平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面PEF的距离,与点Q的

位置无关,D错.

以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系，则C(0,a,O),D(d,0,0),

Ai(a,0,a),PQ,0,a^,ADC=(0,a,0),DA^=(a,0,a),前二住,0,a).

设n=(x,y,z)是平面PGCD的法向量，

由卜•更=0,得fx+az=0,令z=1)则x=_2>尸0,

所以n=(-2,0,1)是平面PGCD的一个法向量.

所以点Q到平面PEF的距离回写斗|管卜等,故A对,C错.

2.C建立如图所示的空间直角坐标系，则A(l,0,0),D(0,0,0),

C(0,1,0),G(0,1,2).设P(0,ybz),Q(x2,y2,0).

由题意设万入DC；,AQ=u^4C,入，u£[0,1],所以(0,Yi,Zi)=

人(0,1,2),(x2-l,y2,0)=li(一1,1,0),所以P(0,X,2X),Q(1-U,u,

0).所以IPQI(1-〃)2+(n-A)2+4A2=

J2〃2+5储―2入「2羽+1=J5(於/)+：

所以当人得口=|时，线段PQ的长度取得最小值，为|.

3.答案2-V3；y

解析设AE二a(0WaW2).以点D为坐标原点,万5,沈，丽的方向分别为x轴,y

轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，则

D(0,0,0),E(l,a,0),C(0,2,0),P(0,0J),所以匠二(1,a,-l),PC=

(0,2,7),而二(0,0,1).设平面PEC的法向量为m=(x,y,z),贝空'即

{2^X0,=0,令尸1可得x=2—a,z=2,所以m=(2-a,1,2).易知平面ABCD的一个

法向量为前二(0,0,1),则|cos<m,DP>I=/2序,解得a=2-8或a=2+V3(舍

2

|J(2-a)+5|

去)，所以AE=2-V3.此时平面PEC的一个法向量为ni=(8,1,2),所以点D到平面

PEC的距离为亘*二之二

ITH2V22

4.答案2

解析设正四棱柱的高为h(h>0).建立如图所示的空间直角坐标系，则

A(0,0,h),B1(1,0,0),D.(0,1,0),C(1,1,h),

贝IJ福二(1,0,一h),西二(0,1,—h),前二(1,1,0).

设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),

则九•”广0,即=0,

(n•AD]=0,=0,

取z=l,得x=h,y=h,所以n=(h,h,1).

所以点C到平面ABD的距离为止处,八+"+°=£解得h=9

In在2+m+i3'财传5

故正四棱柱ABCD-ABCD的高为2.

5.D如图所示,设AC与BD交于0,连接0F.以0为坐标原点,OB,0C,0F所在直线

分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Oxyz.

设PA=AD=AC=1,则BDS所以0(0,0,0),B(?,0,0),F(0,0,

c(o,河，所以痔(o,i,o),科(-1,0),而建,01-1).

易知元二(0,1,0)为平面BFD的一个法向量.

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),

n•BC=-^x+^y=O,

则《22J令x=l,则y=z=V3,

•FB=—x--z=0,

n22

所以平面PBC的一个法向量为n=(l,V5,V5).所以cos〈n,沆>二手，所以

sin<n,oc>-—,所以tan<n,OC>=—.

73

6.D取AC的中点0,连接BO,DO,因为四边形ABCD是菱形,所以BO±AC,OD±AC,

又平面BACJ_平面DAC,平面BACA平面DAC=AC,所以BO_L平面ACD.建立如图所示

的空间直角坐标系，设菱形ABCD的边长为1,贝JAC=1,BO=OD=4,则

0(0,0,O),C(|,O,O),B(O,O,争，

D(0,^,0),

所以抽(0,0,f),FC=g,O,-^),CD=(-i,f,0).

设平面BCD的法向量为n=(x,y,z),

令z=l,得X=V3,y=l,则n=(V3,1,1).

易知平面CDA的一个法向量为赤二（0,0,y）,

V3

所以|cos〈通,n>!='2

^xV5-y.故选D.

7.B设AA】=t.以B为坐标原点,过B且垂直于BC的直线为x轴,BC,BB1所在直线

分别为y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(V3,l,0),E(^,1,t),B(0,0,O),F(^,i,t),

VAE和BF所成角的余弦值为高

|cos<"E，BF>|=第号=而r，解得t=2或t=-2（舍

去）,.•.荏=（-日,1,2）.

易知平面BCC3的一个法向量为n=（l,0,0）,

・・・AE与平面BCCB所成角的正弦值为Icos<荏,n>|-唱-誉黑故选B.

|AE|n\V510

8.解析（1）证明：证法一:取PB的中点M,连接EM,CM.

VE是PA的中点，・・・EM〃AB,且EM=iAB,

又・.・CD〃AB,且CD=|AB,

AEMCD,且EM=CD,

・・・四边形CDEM为平行四边形，，DE〃CM.

TCMu平面PBC,DEQ平面PBC,

・・・DE〃平面PBC.

证法二：・.,PD_L平面ABCD,APD_LDC,PD±AD.

VAB^DC,AB±AD,AAD±DC.

以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,

如图.

VPD1AD,ZPAD=45°,AD=1,APD=1,AD(O,0,0),B(l,2,0),C(0,1,

0),P(0,0,l),Eg,0,I),AFC=(-1,-1,0),CP=(0,-1,1),0,

设平面PBC的法向量为(x,y,z),

则—>y取y=l,得x=T,z=l,

jn•CP=-y+z=0,

1,1).

Vm•DEC平面PBC,，DE〃平面PBC.

(2)易知丽二(一1,一2,0).设点F(l,t,0),0Wt<2,则而二(1,t-1,0).

VCF•BD=0,A-l-2(t-l)=0,解得t=1,AF(1,|,0),FC=(-l,0).

设平面FPC的法向量为n=(x',y',z'),

由院_n