2021年新教材人教A版（2019）高一数学暑假作业（四）【含答案】

2021年新教材人教A版（2019）高一数学暑假作业

一.单选题

1.已知复数Z的实部为1,虚部为-2,则9在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.某学校根据学生对课堂改革的喜爱程度进行调查，参加调查的共有2000人，调查

结果如下表:

喜欢程度很喜欢喜欢一般不太喜欢

人数/人500900450150

学校领导为了解学生更具体的想法，打算从中抽选出40人进行更详细的调查.若采

用分层抽样，则在喜欢和不太喜欢的人中应抽取的人数分别为（）

A.10,3B.18,3C.18,9D.10,9

3.已知。为不同的两条直线，a,/?为不同的两个平面，则a〃b的一个充分条件是

A.a//a,b//aB.a//a,bua

C.au0,aC\0=bD.a///?,aca,bu0

4.等腰梯形ABC。中，而=2瓦，则向量同在向量荏上的投影向量为（）

A.^ABB.^ABC一而D.行而|

444411

5.如图，已知AOAB,若点C满足而=2屈,历=入。X+〃0瓦X〃eR），贝哈+

在△ABC中，若巴吟.生,则A48C的形状是（

ccusn1+co«2L>

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

7.一个正四棱锥的侧面是正三角形，斜高为旧,那么这个四棱锥体积为（）

8.粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成

.因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状

可以看作所有棱长均为4cm的正四棱锥.现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋

黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，蛋黄的半径为（）

A.V6+V2B.V6—V2C.V3+1D.V3—1

9.如图，四棱锥S—4BCD的底面为正方形，SDL^ABCD,则下列结论中错误的

是（）

A.AC1SB

B.平面SCDJ■平面SAD

C.SA和SC与平面S3。所成的角相等

D.异面直线AB与SC所成的角和异面直线8与S4所成的角相等

10.在直角三角形ABC中，乙4=30。，48=90。，以所在直线为旋转轴，其余两

边旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积为9兀，则AC的长为（）

A.273B.V3C.3V2D,第

多选题

11.2021年5月1日，第七次全国人口普查结果公示，全国人口共141178万人，其中

男性人口为72334万人.下图是7次人口普查全国人口的柱状图和年平均增长率的折

线图，以下结论正确的是

7次人口普查全国人口及年平均增长率

160()00

140(XX)

120000

10000()

XO(MX)

6()(XX)

40000

2()(XX)

0

匚二）全国人”—年平均增长率

A.我国人口总量保持持续增长

B.1964—1982年人口增长较快，之后人口增长率呈下降趋势

C.从第七次人口普查得知女性人口占比超过了50%

D.从普查结果来看，1982年我国人口突破了10亿人

12.袋子里有4个大小、质地完全相同的球，其中有2个红球、2个白球，从中不放回

地依次随机摸出2个球，事件力="两个球颜色相同"，事件8="两个球颜色不

同"，事件C="第二次摸到红球"，事件D="两个球都是红球”.下列说法正确

的是()

A.P(AUB)=1B.C与。互斥

C.DQCD.P(B)=P(C)+尸(D)

13.如图，正方形ABC。的边长为2,E为边4D的中点，把△B4E和△CDE分另U沿BE,

CE折起，使得A,。两点重合为一点P.下列四个命题正确的

是（）

A.PE，平面PBC

B.直线PE与直线所成的角为60。

C.二面角P—BC—E的大小为30。

D.点P到平面8CE的距离为8

14.在AABC中，A=60",周长为10,面积为也，则

2

A.△ABC为钝角三角形B"B+4c=2

CBC=；D.BC边上的高为2、8

三.填空题

15.写出一个满足|z-i|=2的复数z=

16.已知一组数据4,10-2a,1,2+a,6的平均数为4,则(1=,这组数据的

方差为

17.已知球O的半径为6,点A,B,C均在球O的表面上,且AA8C外接圆的面积为

8兀，则点0到平面ABC的距离为

18.如图，在边长为2的菱形ABCD中，E为对角线AC

上一点，且4E=BE,F为QC中点，则荏•前=

19.已知向量为=(2,7),b-(%,3)＞且五与b的夹角为锐

角，则实数x的取值范围为

四.解答题

20.已知向量日，b，c,五=(—亨，\b\=2>c=a+b'且@—b)_L瓦

⑴求©;

(2)求cos<b，c>.

21.从①2ccosA—a=2b,②(2a+b)cosC+ccosB=0,③b(sinA+4coscsinA)+

asinB=0这三个条件中任选一个，补充在下面的已知中，并解答.

已知：AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.

(1)求角C；

(2)求sin4+sinB的取值范围.

22.2021年新冠疫情仍未平息，接种疫苗是防止新冠疫情最有效的手段.今年5月，某

地区疫

苗接种出现了排长队现象，为了了解该地区接种人群的等待时间(从到达接种点到

接种

完成，不包括接种后的观察时间)，随机调查了该地区某天接种的100人，制成了

如下频

率分布直方图.

频率

(1)求样本中等待时间大于60分钟的人数；

(2)根据频率分布直方图，估计这100名接种者等待时间的平均值(各组区间的数据

以该组区间的中间值作代表).

23.如图，直三棱柱ABC-AiBiG中，AC=BC=1,

Z.ACB=120°,AAr=A/3.

(1)证明：必&〃平面ABC1；

(2)求点C到平面ABC］的距离.

24.2020年是我国全面打赢脱贫攻坚战的收官之年.某偏远县政府为了帮助当地农民实

现脱贫致富，大力发展种植产业，根据当地土壤情况，挑选了两种农作物A,B,

鼓励每户选择其中一种种植.为了解当地农户对两种农作物的选择种植情况，从该

县的甲村和乙村分别抽取了500户进行问卷调查，所得数据如下：

村庄

农涌广甲村乙村

A230150

B250350

所有农户对选择种植农作物A,8相互独立.

(1)分别估计甲、乙两村选择种植农作物A的概率；

(2)以样本频率为概率，从甲、乙两村各随机抽取2户，求至少有2户选择种植农

作物B的概率；

(3)经调研，农作物4的亩产量为800斤、900斤、1000斤的概率分别为(，|)|)

甲、乙两村各有一农户种植了一亩农作物A,求这两个农户中，甲村农户种植农作

物A的亩产量高于乙村的概率.

25.如图，四棱锥P-4BCD的侧面PA。是边长为2的正三角形，底面48co为矩形,

且平面P4。J■平面ABCQ,M,N分别为AB,A。的中点，二面角D-PN-C的正

切值为2.

(1)求四棱锥P-4BCD的体积；

(2)证明：DM1PC;

(3)求直线PM与平面PNC所成角的正弦值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查了复数的概念与除法运算及复数的几何意义，属于基础题.

先根据复数的概念与运算得到裁勺代数一般形式，再由复数的几何意义作答即可.

【解答】

解：易知z=l—2i,贝岸=焉=不品W=2一所以工在复平面内对应的点为

Z1+ZI+55Z

所以在第四象限.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查分层抽样，由已知求出每类人中各应抽选出的人数之比，然后利用分层抽样的

特点求解即可.

【解答】

解：从喜欢的人中应抽选的人数为40x黑=18,从不太喜欢的人中应抽选的人数为

4°x黑=3,故选艮

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查直线与直线平行的判断，根据线面平行的性质判定C正确

【解答】

解：对于4直线“，匕可能平行、相交或异面；

对于B,D,直线m方可能平行或异面，由线面平行的性质可知C正确，

故选C.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查一个向量在另一个向量上的投影的定义.

【解答】

解：由荏=2比可知,AB//DC5.AB=2DC,过点£＞作DE，AB,垂足为E,则4E=：AB,

所以向量而在向量荏上的投影向量为一而.

4

故答案为C.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查向量的运算以及平面向量基本定理，属于基础题.

根据向量的三角形法则和向量的数乘运算用向量方彳、而表示出向量沆，从而求出4=|1

4=|,再代值计算即可.

【解答】

解：■■■OC=OA+AC=OA+1AB

2

=OA+-(OB-OA)

=-OA+-OB,

33

A)=-1,u=2

3l3

1,1o,39

,,_+_=3+_=?

故选D.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查三角形的形状的判断，注意运用正弦定理和三角函数的恒等变换公式，考查运

算能力，属于中档题.

运用二倍角的余弦公式和正弦定理，以及二倍角的正弦公式，化简整理即可判断三角形

的形状.

【解答】

解：由已知匕咨£=至竺竺=烈竺=世任，

l+cos2B2COS2BCOS2BCCOSB

d、］cosCb..p.cosCc

所以由恕嬴=°

即C=90。或学=2,

COSBc

由正弦定理，^sinCcosC=sinBcosB,

即sin2c=sin2B,

因为B、C均为△ABC的内角，

所以2c=2B或2c+2B=180°,

所以B=C或8+C=90°,

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.

故选：D.

7.【答案】B

【解析】解：一个正四棱锥的侧面是正三角形,

斜高为V5,

正四棱锥S—ABCD中，侧面ASBC的斜高

SE=昭,

设AB=a,贝USE-Ja2—(^)2—=y/3,

解得a=2,

过S。_L平面ABC。，垂足为O,连结OE,

则。E=|=1,SO=/-钞=a,

.・.这个四棱锥体积为：

V=1xSOxSABCD=：x夜x22=竽

故选：B.

设4B=a,则SE=/_=亨=遮,解得a=2,由此能求出这个四棱锥体积.

本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，

考查运算求解能力，是中档题.

8.【答案】B

【解析】解：由粽子的形状是所有棱长均为4c7"的正四棱

锥，

得每个侧面三角形的面积为％x4x4x—=4V3cm2.

22

•••粽子的表面积为4X4V3+4x4=(16V3+16)cm2;

球的体积要达到最大，则需要球与四棱锥的五个面都相切,

正四棱锥的高为h=52—(2@2=2V2cm,设球的半径为r,

四棱锥的体积V=1x(16V3+16)r=|x16x2近，解得r=而一＞j2cm.

故选：B.

由三角形面积公式求出侧面积，再由正方形面积公式求得底面积，则表面积可求，求出

正四棱锥的高，再由等体积法求内切球的半径.

本题考查空间几何体的结构特征及相关计算，考查运算求解能力，是中档题.

9.【答案】D

【解析】解：四棱锥S-4BCC的底面为正方形，SDIJft®ABCD,

对于A,由题意得4clBD,AC1SD,

■■■BDC\SD=D,BD、SDu平面SB。，ACl¥jSlSBD,

"SBu平面SBD,AC1SB,故4正确；

对于B,由题意知4。1CD,SD1CD,

ADnSD=D,AD,SDu平面ASD,CD_L平面ASD,

•••CDu平面SCO,.•.平面SCD1平面SA。，故8正确；

对于C,以。为原点，D4为x轴，DC为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系,

设4B=1,DS=t,则S(0,0,t),4(1,0，0),C(0,l,0),0),D(0,0,0),

丽=(1,1，0),DS=(0,0,t),SA=(1,0,-t),SC=(0,1)t)，

设平面SBD的法向量记=(x,y,z),

则EE=x+y=0,取“I,得记=(I,TO),

\n-DS=tz=0

设SA和SC与平面SB。所成的角分别为a,/?,

人Jsma一同.网-叵瓜E

smp-|K|.|5C|-后近前，

・・・S力和SC与平面S3。所成的角相等，故C正确；

对于£>,由C得同=(0,1,0),宽=(0,1,t),CD=(0,-1,0).%=(1,0，-t)，

3<福文>=磊=高，

cos(而且>=^^=0，

••・异面直线AB与SC所成的角和异面直线CD与SA所成的角不相等，故。错误.

故选：D.

对于A,由4CJ_BD,ACLSD,得ACJL平面SB/),从而4clsB；对于8,由4DJLCD,

SD1CD,得CO_L平面AS。，从而平面SCD_L平面SAC；对于C,以。为原点，DA为

x轴，OC为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出民SA和SC与

平面S3。所成的角相等；对于。，利用向量法能求出异面直线AB与SC所成的角和异

面直线CD与SA所成的角不相等.

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考

查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题.

10.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查圆锥的表面积.

设出BC的长度，利用已知表面积求出8c的长度，即可求出AC的长度.

【解答】

解：以AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周所形成的面所围成的几何体为圆锥，

设BC=x,贝！MC=2x,所以兀(尤2+%.2x)=9兀，解得x=遮，所以4C=2百.

故答案选A.

11.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查折线图、柱状图的性质等基础知识，是基础题.

利用折线图、柱状图的性质直接求解.

【解答】

解：由图可知，选项A,B,。都正确，对于C,第七次人口普查男性人口占比为黑三”

141178

51.2%,所以C错误.

12.【答案】AC£>

【解析】

【分析】

本题考查互斥事件的判定以及古典概型.

对红球与白球进行编号，列出所有基本事件，对选项逐一判断即可.

【解答】

解：设2个红球的标号为1,2,2个白球的标号为3,4.

所有试验结果有(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),

(3,4),(4,3),共12个.

事件A包含的基本事件有(1,2),(2,1),(3,4),(4,3),共4个；

事件8包含的基本事件有(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),共8

个；

事件C包含的基本事件有(1,2),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),共6个;

事件。包含的基本事件有(1,2),(2,1),共2个.

所以A,C正确，8错误；

P(B)=2=3P(C)=2=LP(D)=-=i,

V7123V7122k7126

所以P(B)=P(C)+P(D),。正确.

13.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题主要考查了线面垂直的判定、二面角的求法、点到平面距离计算等知识.

利用线面垂直的判定定理、二面角平面角的求法以及点到平面距离计算判定即可.

【解答】

解：如图，由平面图形，可知PBJ.PE,PC1PE,

又PBnPC=P,PE11平面P8C,可得PEIBC,

对，3错;取8c的中点F,连接PF,EF,则PF_LBC,

EF1BC,

•••NPFE为二面角P-BC—E的平面角，PE=1,PF=V3.EF=2,

:.乙PFE=30°,C对;由C选项知BC1平面PFE,

••・平面PFE1平面BCE,EF为交线，在平面PFE中作P。1EF,

交.EF于O,贝iJP。，平面BCE,求得P。=更，

2

二点P到平面BCE的距离为3，D错.

2

14.【答案】BC

【解析】

【分析】

本题综合考查了余弦定理，三角形的面积公式应用，属于综合试题.

由已知结合余弦定理及三角形的面积公式分别判断各选项即可.

【解答】

解：△4BC的内角A,B,C的对边分别为mb,c,则a+b+c=10①，ShABC=

)csin60。=彳儿=苧，解得儿=10②,再根据余弦定理a?=b2+c2-26CCOS60%

得小=b24-c2-he③，由①②③解得Q=g，・•・C对;h+c=10-a=10-1=y,

二B对;设边上的高为h,则1x(x九=当，得九

喈'."错油｛m,得C

或『一/可知4为最长边，最长功所对的角最大.设为a,cosa=®咋/=；＞0,

(C=2'2X为7

a为锐角，.•.此三角形为锐角三角形，A错.

15.【答案】3i(答案不唯一)

【解析】

【分析】

本题考查复数模的求法，写出满足条件的答案即可。

【解答】

解：设复数z=a+bi,则Ja2+(b—=2,满足该关系的a,6都是正确的.

16.【答案】3

2.8

【解析】

【分析】

根据这组数据的平均数是4,列出求平均数的公式，解方程做出这组数据中的a,利用

求方差的公式求出这组数据的方差.

【解答】

解：由题意知，4+(10-2a)；l+(2+a)+6=%解得a=3,

_(4-4)2+(4-4)2+(1-4)2+(5-4)2+(6-4)2_14__

S2—-ZQ.Qo•

17.【答案】2V7

【解析】

【分析】

本题考查了点到平面距离的求法。

利用外接圆面积求出外接圆半径，再求出外接圆圆心到球心的距离，即为点o到平面

A8C的距离。

【解答】

解：设△ABC外接圆的半径为r,则兀/=8兀，所以丁=2或，所以点0到平面4BC的

星巨离为62_（2a>=2V7-

18.【答案】1

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积的运算.

设4ZME为仇求出AM的长度，以此表示出AE的长度，进行化简求值即可.

【解答】

解:,:四边形ABCZ）为菱形,:/.DAE=Z84E,设为。.又4E=BE,：.乙EAB=Z.EBA=6,

过点E作EMJ.4B,垂足为M,则4M=1,

=>>>"-i->1'"一■”>

-■-BF=BC+CF=AD--AB,

11

：.AE-BF=AE-（AD--AB）=AE-AD--AE-AB

111

=^-2,COS0-2,^,2,COS0=1-

19.【答案】｛小〉一驿U行｝

【解析】解：•••日］的夹角为锐角,

.-.a-b>0,且方与石不共线,

宓肮。,解儆>后，且,吟

•••X的取值范围为｛x[x＞一m'且％丰

故答案为：｛%K＞一曰且%#*.

根据胃与石的夹角为锐角即可得出行不＞0,并且不与了不共线，从而可得出

解出X的范围即可.

本题考查了向量数量积的坐标运算，向量数量积的计算公式，向量平行时的坐标关系,

考查了计算能力，属于基础题.

20.【答案】解：(1)•••(五一万)J.E二0—石)•方=0，

a2—a•/?=0>a-b=a2=1,

|c|=|a+b|=J(3+J)2=Ja2+2a-b+b2=y/7-

(2)b-c=b-(a+b)=a-b+b2=l+4=5,

7t、be55A/7

•••cos<b'"=丽=反而=■

【解析】本题考察平面向量的模，夹角与向量垂直的表示.

(1)利用向量垂直求出方.石的值，再根据H=a+3求出口的模长。

(2)先求出百3再求出E，不夹角的余弦值。

21.【答案】解：(1)选①.

方法一：利用正弦定理，可得2sinCcos4-sin4=2sin8,

・•・2sinCcoSi4—sinA=2sinAcosC+2cosAsinC,

得一sinA=2sin4cosC.

・・

•:sin/lHO,•cosC=2-

v0<C<7T,•••C=—3.

方法二：利用余弦定理，可得2cQ牛Q-a=2b,

2bc

整理得炉4-a2-c2=-ab,

「b2+a2-c2-ab1

・•・cosC=--------=——=——・

2ab2ab2

V0<C<7T,C=—.

3

选②.

由正弦定理可得(2sin4+sin^)cosC+sinCcos^=0,

••・2sin?lcosC+sin(B4-C)=0,

A2sin/lcosC+sinA=0,

vsinA。0,•二cosC=—

V0<C<7T,AC=竺.

3

选③.

由正弦定理,可得sinBsinA+4sinBcosCs\nA+sinAsinB=0,

・•・2sin4sinF+4sinBsinAcosC=0,

••・2sin4sinB(l+2cosC)=0.

•・•sinAH0,sinBHO,・•・cosC=—；.

v0<C<7T,C=—,

3

nn

(2)sinZ+sinB=sinA+sin(--4)=sin(A+-).

v0</I<p

7T.7T27r

・•・一V4+—<——，

333

・•・-y<sin(A4-^)<1,

sinA+sinB的取值范围为(曰,1].

【解析】本题考查利用正余弦定理解三角形与三角恒等变换

(1)利用正余弦定理对已知式子进行变形，根据C的取值范围，确定C的角度

(2)利用三角恒等变换，将sinA+sinB化简为sin(4+》根据角的取值范围，确定sinA+

sinB的取值范围

22.【答案】解:⑴•••后三组的频率分别为0.35,0.15,0.03,

•••100名接种者中,等待时间大于60分钟的人数为(0.35+0.15+0.03)x100=53(A).

(2)由(0.0025+0.006+a+0.0175+0.0075+0.0015)x20=1,

解得a=0.015.

所求平均值为10x0.05+30x0.12+50X0.3+70x0.35+90x0.15+110x

0.03=60.4(分钟).

【解析】本题考查频率分布直方图及平均值的计算。

(1)根据频率分布直方图得到后三组的频率，求得对应人数：

(2)根据总频率为1,求得a的值，再求得平均值即可

23.【答案】(1)证明：・••ABC—4B1C1为三棱柱，

又小小笈平面ABC1，ABu平面力BG，

•••4/〃平面ABC〉

(2)解：(方法一)在△ABC中，AC=BC=1,Z.ACB=120°,

可求得4B=V3,△ABC的面积为工x1x1xsinl20°=—.

24

•・•ABC—4/iCi为直三棱柱，・・・CGL平面A3C,

ACC11AC,从而4cl=BC[=2.

取AB的中点D,连接GD，则G。1AB,易得Ci。=乎.

ABC】的面积为]x百X乎=尊

设点C到平面4BQ的距离为h,

由于匕三米椎C「4BC=咚丁帷「一4叩，

.♦/X更xW=2x运xh,解得h=叵，

343413

•••点C到平面4BG的距离为叵.

13

(方法二)取A8的中点D,连接CD,C[D,在4CD。1中，过点C作CE1C1D,垂足为E.

•••ABC-A/iG为直三棱柱，二CGJ■平面ABC,

CCj1AB.

5L-AC=BC,。为AB中点，

•••CDLAB.

•••CgCCD=C,：.AB1平面GCD.

又4Bu平面4BG，.•.平面GCD_L平面4BCi.

•••平面GC。n平面=CrD,CE1平面48cl.

由题意可知C】C=遮，CD=\,CiD=手，可求得。七=蜜=^

•・•点C到平面4BC1的距离为粤.

【解析】本题考查线面平行的判定与点到直线的距离

(1)利用线面平行的判定直接证明即可

(2)法一利用等体积法求出点到平面的距离；法二利用等面积法，求得CE长度，即为点

C到平面ABC；的距离

24.【答案】解：(1)记“甲村选择种植农作物A”为事件A,“乙村选择种植农作物A”

为事件B,

则P(4)

''、'5002

P(B)=出=工

(2)甲村选择种植农作物A与种植农作物B