2020-2021学年宁夏银川市兴庆区长庆某中学高二（下）期末数学试卷（理科）（附答案详解）

2020-2021学年宁夏银〃|市兴庆区长庆高级中学高二（下）

期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.用辗转相除法求得168与486的最大公约数（）

A.3B.4C.6D.16

2.不等式|%+2|45的解集是（）

A.{x\x<1或%>2)B.{%|-7<%<3}

C.{x|-3<x<7}D.{x|-5<%<9}

3.将曲线y=sin2x按照伸缩变换二后得到的曲线方程为（）

1.c

A.y=3sinxB.y=3sin2xC.y=3sin|xD.y=-sin2x

73

4.观察如图所示的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量”,y之间有关系的

是（）

[Z□曲

匚“

A.B.

B

0为先

x=i--

5.曲线的参数方程是；，2您是参数，tK0），它的普通方程是（）

-y1一一

A.(x-l)2(y—1)=1

1

-1D.yf+1

C.y=(15

6.下列四个命题：①在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量元唯一确定；②

若变量X,y满足关系y=-0.1x+1,且变量y与Z正相关，则x与z也正相关；③

在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；⑷以

模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设2="旷，将其变换后得到

线性方程z=0.3%+4,贝ijc=e4>k=0.3.

其中真命题的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.通过随机询问110名不同的我校学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：经计

算K2的观测值k。7.8.参照附表，得到的正确结论是（）

附表

男女总计

爱好402060

不爱好203050

总计6050110

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

8.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著仇章算术少中的“更相减损术”，执

行该程序框图，若输入的小6分别为91,39,则输出的a=（）

A.11B.12C.13D.14

9.以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标

系中取相同的长度单位.己知直线/的参数方程是为参数），圆C的极

坐标方程是p=4cos。，则直线/被圆C截得的弦长为（）

A.V14B.2V14C.V2D.2夜

10.对于实数x,y,若-W2,S2,则—2y+1］的最大值为（）

第2页，共15页

A.2B.4C.5D.6

11.中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提

到了七衡，即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长

都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆

依次叫次二衡，次三衡，…设内一衡直径的,衡间

距为g则次二衡直径为次三衡直径

为由+2d,…，执行如图程序框图，则输出的7:中

最大的一个数为()

A.A

B.T2

C.T3

D.T4

12.函数/(x)的定义域为A,若存在非零实数f,使得对于任意％GC(C£4)有％+tEA,

且f(x+t)W/(x),则称/"(x)为C上的，度低调函数.已知定义域为[0,+8)的函数

/(x)=~\mx-3|>且/(x)为[0,+8)上的6度低调函数，那么实数机的取值范围

是()

A.[0,1]B.口+8)

C.(-oo,0]D.(-oo.O]U[l,+oo)

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.把二进制数110011⑵化为十进制数是：.

14.下面程序的运行结果是.Ii=l

S=。

WHILEi<4

S=S*i+l

i=i+l

WEND

PRINTS

END

15.若直线y=x+b与曲线1Z绘，(。为参数，且一”"方有两个不同的交点，则

(y-SLTlu//

实数匕的取值范围是

16.中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造.算筹实际上是

一根根同样长短的小木棍，用算筹表示数的方法如图：例如：163可表示为

“一J.三”，27可表示为“=.现有6根算筹，用来表示不能被10整除的两

位数，算筹必须用完，则这样的两位数的个数为.

123456789

-===11111

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C(25)，半径R=而，求圆C的极坐标方

程.

18.求不等式2<|2x+3|S4的解集.

19.在印度“新冠疫情”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种新

冠疫情疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：

感染未感染合计

服用104050

未服用203050

合计3070100

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附.K2=__N(AD-BC)2__

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>fc0)0.1000.0500.0250.010

k。2.7063.8415.0246.635

根据上表，有多大的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”.

20.已知函数f（x）=|x-2|—|x+3|.

（1）求不等式/（x）<3的解集；

（2）若不等式f（x）<a2-6a解集非空，求实数〃的取值范围.

21.2013年，首都北京经历了59年来雾霾天气最多的一个月.经气象局统计，北京市

从1月1日至1月30日这30天里有26天出现雾霾天气.阴境空气质量指数（4Q/）

技术规定（试行）》将空气质量指数分为六级：其中，中度污染（四级），指数为151-

200；重度污染（五级），指数为201-300；严重污染（六级），指数大于300.下面表

1是该观测点记录的4天里,AQ/指数M与当天的空气水平可见度y（千米）的情况，

表2是某气象观测点记录的北京1月1日到1月30日A。/指数频数统计结果，

表1：AQ/指数例与当天的空气水平可见度y（千米河青况

A。/指数900700300100

空气可见度（千米）0.53.56.59.5

表2：北京1月1日至lj1月30日4。/指数频数统计

AQ/指数[0,200](200,400](400,600](600,800](800,1000]

频数361263

(1)设变量乂=击，根据表1的数据，求出y关于x的线性回归方程；

(口)根据表2估计这30天4。/指数的平均值.

(用最小二乘法求线性回归方程系数公式b=誓号智,a=y-bx)

22.在极坐标系中，点M坐标是(3,5曲线C的方程为p=2&sin(0+》以极点为

坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是-1的直线/经过点M.

(1)写出直线/的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)求证直线/和曲线C相交于两点A、B,并求的值.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：486=168x2+150,

168=150x1+18,

150=18x8+6,

18=6X3,

故168与486的最大公约数为6,

故选：C.

本题考查的知识点是辗转相除法，根据辗转相除法的步骤，将168与486代入易得到答

案.

对任意整数a,b,b>0,存在唯一的整数q,r,使。=匕勺+「，其中0Wr<b,这个

事实称为带余除法定理，若c|a,c\b,则称c是小b的公因数.若"是小〃的公因数，

且“可被“，6的任意公因数整除则称d是a,b的最大公因数.当d20时，d是a,b

公因数中最大者.若“，匕的最大公因数等于1,则称。，人互素.累次利用带余除法可

以求出m6的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查不等式的解法，考查计算能力以及转化思想的应用.

利用绝对值表达式的解法求解即可.

【解答】

解：不等式|x+2|W5,等价于—5WX+2W5,可得：—7WxW3.

不等式+2|<5的解集是：口|一7SxS3).

故选：B.

3.【答案】A

【解析】解：•••伸缩变换

1/1,

:・X=/，y=-y,

代入曲线y=sin2x可得y'=3sinx',即y=3sinx.

故选A.

利用代入法，即可得到伸缩变换的曲线方程.

本题考查代入法求曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础.

4.【答案】D

【解析】解：根据题意，在等高的条形图中，当与，&所占比例相差越大时，越有把握

认为两个分类变量x,y之间有关系，

分析选项可得：。选项中，%2所占比例相差最大，

故选：D.

根据题意，由等高条形图的意义分析可得答案.

本题考查等高条形图的应用，涉及分类变量关系强弱的判断，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：•.•曲线的参数方程是[«是参数，t^o),

(y=1一尸

ly=1—t2,

・••[FT)\"将两个方程相乘可得，

(1-y=t2

(x-1)2(1-y)=1,

.v_MV)

,,y(l-x)Z，

故选B.

由题意知％=1-3可得X—1=-3将方程两边平方，然后与、一1=一严，相乘消

去，即可求解.

此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不

同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题.

6.【答案】C

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【解析】解：下列四个命题：①在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一

确定；根据回归模型中的变量关系，正确.

②若变量x,y满足关系y=-O.lx+1,且变量y与z正相关，则x与z也正相关；应

该是负相关.故错误.

③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；即越

接近于回归直线的距离越小，故正确.

④以模型丁=。6-去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z="y,将其变换后得

到线性方程z=0.3%+4,贝l]c=k=0.3.故正确.

故选：C.

直接利用回归直线的方程的应用，相关的变量关系的应用，残差图的应用求出结果.

本题考查的知识要点：回归直线的方程的应用，相关的变量关系的应用，残差图的应用，

主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

7.【答案】A

【解析】解：产=】】°xy°x2°)z。78>6635,

60X50X60X50

即有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”.

故选:A.

根据参考公式计算K2的观测值，并与附表中的数据对比，即可作出判断.

本题考查独立性检验，考查对数据的分析与处理能力，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：模拟程序的运行，可得

a=91,b=39

满足aHb,满足a>b,可得：a=91-39=52,

满足a¥b,满足a>b,可得：a=52-39=13,

满足a不匕，且不满足a>b,可得：b=39-13=26,

满足且不满足a>b,可得：b=26-13=13,

此时，不满足aRb,退出循环，输出的〃值为13,

故选：C.

由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量。的值，模拟

程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.

本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方

法解答，属于基础题.

9.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,

考查点到直线的距离公式，属于基础题.

先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再求弦长.

【解答】

解：直线/的参数方程是二:[；(t为参数)，化为普通方程为x-y-4=0；

圆C的极坐标方程是p=4cos。，即p2=4pcos。,化为直角坐标方程为/+y2=4%,

即Q—2)2+y2=4,表示以(2,0)为圆心、半径〃等于2的圆.

弦心距d=|2~^41=V2<r,

V2

二弦长为24八—"=2<4—2=

故选D

10.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查绝对值三角不等式的应用，考查转化思想以及计算能力.

通过|x-2y+l|=|x-l-2(y-1)|利用绝对值三角不等式求解最值即可.

【解答】

解:因为|x-2y+1|=|x-1-2(y-1)|<|x-1|+2|y-1|<2+2x2=6.

当且仅当|x-l|=2,|y—l|=2且(x_l)(y_l)<0,即]或二时，取等

号.

故选：D.

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11.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的

结论，是基础题.

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量式的值，模拟

程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.

【解答】

解：模拟程序的运行，可得

i=l时，7\=a^a7=+6d)=al+6da1,

2

i=2时，T2=a2a6=(a1+d)(ax+5d)=底+6dar+5d,

2

i=3时，T3=a3as=(ax+2d'){a1+4d)=a：+6dax+8d,

22

i=4时，T4=a4a4=(%+3d)=研+6dar+9d,

可得：T4>T3>T2>Tt.

故选：D.

12.【答案】D

【解析】

【分析】

根据低调函数定义，函数/'(>)=—-且f(x)为［0,+8)上的6度低调函数可转化

为一|m(x+6)-3|<-\mx-3|在［0,+8)上恒成立，从而可得结论.

本题考查对题中新定义的正确理解，考查不等式恒成立问题，正确转化是关键.

【解答】

解：根据题意，-|m(x+6)-3|S-3|在［0,+8)上恒成立

m(x+6)-3>-mx+3或，m(x+6)-3<mx-3在［0,+0o)上恒成立

m>1或m<0

故选O.

13.【答案】51

【解析】解：1••110011(2)=1X2°+1X2+1X24+1X25=51

故答案为：51

根据所给的二进制的数字，写出用二进制的数字的最后一位乘以2的0次方，倒数第二

位乘以2的1次方，以此类推，写出后相加得到结果.

本题考查进位制之间的转化，本题解题的关键是用二进制的最后一位乘以2的0次方,

注意这里的数字不用出错.

14.【答案】10

【解析】解：模拟程序的运行过程，如下；

i=1,S=0

满足条件i<4,执行循环体，5=1,i=2

满足条件i<4,执行循环体，5=3,i=3

满足条件i<4,执行循环体，5=10,i=4

此时，不满足条件i<4,退出循环，输出S的值为10.

故答案为：10.

根据题意，模拟程序语言的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果.

本题考查了循环结构的应用问题，解题时应模拟程序的运行过程，是基础题目.

15.【答案】（-72,-1]

【解析】

解：曲线需（。为参数，且心化为：

x2+y2=1（%>0）,

在同一坐标系中画出两个方程的图象，

直线y=x+b与曲线号Z黑（。为参数，且冷W”

舁有两个不同的交点，

由图像可知，实数6的取值范围是（-四,-1].

故答案为：（-企,一1].

【分析】

由题意求出曲线的普通方程，结合直线与曲线的图形，求出满足题意的b的范围即可.

本题是中档题，考查参数方程与普通方程的求法，考查数形结合的思想，直线的截距的

应用，考查计算能力.

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16.【答案】16

【解析】解：根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5,1、9,2、4,2、

8,6、4,6、8,3、3,3、7,7、7；

数字组合1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、7中，每组可以表示2个两位数，

则可以表示2X7=14个两位数且均不能被10整除，

数字组合3、3,7、7,每组可以表示1个两位数，则可以表示2xl=2个两位数且均

不能被10整除,

则一共可以表示14+2=16个两位数；

故答案为：16.

根据题意，分析可得6根算筹可以表示的数字组合，进而分析每个组合表示的两位数个

数，由加法原理分析可得答案.

本题考查排列、组合的应用，关键是理解算筹的定义，考查学生合情推理能力，属于中

档题.

17.【答案】解：将圆心C（2,g）化成直角坐标为（1,遮），半径R=b，（2分）

故圆C的方程为（x-I/+（y_V3）2=5.（4分）

再将C化成极坐标方程，得（pcos。-I）2+（psinO->/3）2=5.（6分）

化简，得p2-4pcos（8—朗+l=0,此即为所求的圆C的方程.（10分）

【解析】先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用pcos。=%,psinO=y,

p2=M+y2,进行代换即得圆。的极坐标方程.

本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，即利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用

pcosO=%,psinO=y,p2=x2+y2,进行代换即可.

18.【答案】解：由2<\2x+3|<4,可得2<2%4-3<4或一4<2x4-3<-2.

解得—x<［或—<x<—|,

即不等式的解集为［―：,—|）u（―

【解析】去绝对值解不等式即可.

本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.

2

19.【答案】解：K=I°OX(I°X3O-4OX2O)2=&〜4,762>3,841,

50x50x30x7021

根据临界值表可得，犯错误的概率不超过0.05,

即有95%的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”.

【解析】根据参考公式计算K2的观测值，并与附表中的数据对比，即可作出判断.

本题考查独立性检验，考查对数据的分析与处理能力，属于基础题.

20.【答案】解：(1)由己知得|x-2|—|x+3|W3,

当xW—3时，2—x+x+3W3,解集为空集，

当一3<%<2时，2-x-(x+3)W3,解得-2<x<2,

当x22时，%-2-(x4-3)<3,解得X22,

故所求不等式的解集为［-2,+oo)；

,5,x<-3

(2)因为/(x)=-2x-l,-3<x<2,

-5,x>2

所以一5<f(x)<5,即f(x)的最小值为一5,

要不等式/(%)<-6a解集非空，需/(Wmin<a2-6a,

从而得a?—6a+5>0>

解得a<1或a>5,

所以a的取值范围为(一8,1)u(5,+8).

【解析】本题考查绝对值不等式的解法，属于中档题.

(1)通过讨论x的范围，去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集；

(2)去掉绝对值，转化为求解人乃的最小值，然后求解即可.

21.【答案】解：(I)由久=总结合图