（沪教版2020必修一）2021-2022学年高一数学同步精讲精练-第16讲 对数函数

第16讲对数函数

时致函数的定义

对数函数的图像

知识梳理一

对数函数的性质

对致函数模型

对数函数的概念

对数函数的定义域'值域

对数函数的图像

题型探究一比较大小

对数函数

利用对数函数的性质解不等式

图像变换、过定点

对数函数性质的综合应用

杼定系数法：求对数函数解析式

课堂总结数形结合法：研究函数的图像、性般、变换

误区：勿忘记函数底数的限定条件

当。固定，且00,且厚1时，x以a为底的对数函数v=loed确定了变量y随变量”变化的规律,称为底为

。的对数函数(logarithmicfunction)，其中x是自变量，定义域是(0,+co).

L题型一、指数函数的概念与解析式或函数值

A【例1】(1)指出下列函数哪些是对数函数？

①y=31og”；②y=log6X；③y=k>g、5；④y=log2%+l.

【答案】②是

【解析】①k)g2X的系数是3,不是1,不是对数函数.

②符合对数函数的结构形式，是对•数函数.

③自变量在底数位置上，不是对数函数.

④对数式10g2X后又加上1,不是对数函数.

⑵已知对数函数y=log融的图像过点P(8,3),则f

【答案】-5

【解析】)=1og“x的图像过点P(8,3),

♦♦3=log“8,=8,a=2.

...y=logir，

=喝导］0g225=5

(3)若函数«r)=(a2+。-5)log„x是对数函数，则a=

【答案】2

【解析】由“2+”-5=1得＜2=-3或4=2.

又。＞0且存1,所以4=2..

"方法总结:判断一个函数是对数函数的方法

k题型二、指数函数的定义域

W【例2】求下列函数的定义域:

1

log(x-l),

(2)y=log2(16-4x)；

(3)^=log(x-i)(3—x).

【答案】(1)(1,2)U(2,+oo)；(2)(-oo,2)；(3)(1,2)U(2,3)

x—1>0,

【解析】(1)要使函数式有意义，需《，、解得x>l，且石⑵

log2(x-l)^0,

所以函数旷=―的定义域是(1,2)U(2,+oo)..

log(jc-l)

(2)要使函数式有意义，需16—4'>0,解得x<2.

所以函数y=log2(16—4》)的定义域是(-00,2).

‘3-x>0,

(3)要使函数式有意义，需<x-l>0,解得K3,且班2.

x-lW1,

所以函数y=10g(「i)(3—x)的定义域是(1,2)U(2,3).

a

/方法总结

(1)求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则

①分母不能为0；

②根指数为偶数时，被开方数非负；

③对数的真数大于0,底数大于0且不为1.

(2)求函数定义域的步骤

①列出使函数有意义的不等式(组)；

②化简并解出自变量的取值范围；

③确定函数的定义域.

喜题型三、指数函数的图像

・【例3】⑴画出函数y=lg|x-l|的图像；

(2)画出函数月lg(x-l)|的图像.

【答案】图像见解析.

【解析】(1)①先画出函数y=lgx的图像(描点法).

②作此图像关于y轴对称的曲线，两条曲线组成函数y=lgkl的图像.

③将产1g国的图像整体右移1个单位，得到函数)=眇-1|的图像(如图).

(2)①先画出函数产lgx的图像.

②将产lgx的图像右移1个单位得到函数y=lg(x-l)的图像.

③将产lg(x-l)的图像中X轴下方的部分翻折到X轴上方，得到函数)=|lg(x-l)|的图像(如图)..

、Q

/方法总结：对数函数图像的变换方法

⑴作的图像时，保留y=/U)(xK))图像不变，x<0时y=A园)的图像与y=/a)(x>0)的图像关于)，轴对

称.

(2)作y=|/(x)|的图像时，保留y=/(x)的x轴及上方图像不变，把x轴下方图像以x轴为对称轴翻折上去即可.

(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律.

(4)y=/(—x)与y=Kx)关于y轴对称，y=—/(x)与y=/(x)关于x轴对称，y=——x)与y=/(x)关于原点对称•

X

举一反三

1.下列函数是对数函数的是()

A.y—InxB.y=ln(x+l)

C.y=lo&eD.y=logvx

【答案】A

【解析】对于B,真数x+1大于0才有意义，故B不是对数函数：

对于C,底数x没有限定条件，不符合对数函数的定义；

对于D,同理底数真数不符合题意：故选A.

2.若函数兀v)=logs+i)x+32—2a—8)是对数函数，则a—.

【答案】4

cr—2〃—8=0,

【解析】由题意可知+解得4=4.

4+1W1,

3.点4（8,-3）和8（小2）在同一个对数函数图像上，贝1」几=..

【答案】-

4

【解析】设对数函数为y=log“x（o＞0,且存1）.

则由题意可得丫=-3,即k＞汝8=-3,.

」1

所以/3=8,即4=83=—.

2

所以y=log]X,故山8（”，2）在函数图像上可得大〃）=log]〃=2,

22

所以〃=（;）=;.

4.已知对数函数y（x）的图像过点（4,；]..

①求y（x）的解析式；

②解方程£x）=2.

【答案】①/（x）=logi6X；②x=256..

【解析】①由题意设段）=1。&内（。＞0,且在1）,由函数图像过点（4,；）可得/4）=；,

1

即]og〃4=5，所以4=/,解得。=16,故於）=logu

②方程7（x）=2,即log1d=2,所以x=16?=256.

5.求下列函数的定义域:

(lM-r)=lg(x-2)+—；.

(2y(A-)=log(,r+i)(16—4x)..

【答案】(1)(2,3)U(3,+oo)；(2)(-l,0)U(0,4).

【解析】(1)要使函数有意义，需满足《fx-2>0,

解得x>2且在3,

所以函数的定义域为(2,3)U(3,+8).

16-4x>0,

(2)要使函数有意义，需满足,x+l>0,

X+1H1,

解得一l<x<0或0。<4,

所以函数的定义域为(T,0)U(0,4)..

6.(2021年上海高一课时练习)已知函数)=但。2-"+1)的定义域为R,求实数a的取值范围.

【答案】(-2,2).

【解析】由题意知x2-«x+l>0对任意xdR恒成立，从而/=缜4<0,则因此实数a的取值范围为(-2,2).

7.画出下列函数的图像:

(l)y=log3(A-2)；

(2)^^|log,x|.

2

【答案】图像见解析.

【解析】(I)函数y=k)g3(x-2)的图像如图①.

图①图②

flog,x,0<x<1,

⑵y=|log|X|=12其图像如图②.

3[log2x,x>l,

知识二寸数函数的图像与性质

1.对称性：函数y=logd的图像与y=logjx的图像关于x轴对称.

2.反函数：对数运算是指数运算的一种逆运算.

对数函数y=log“x（tf>0且存1）是指数函数口”>0,且印）的反函数.它们的定义域与值域正好互换.

指数函数y="的图像与其反函数对数函数y=logd的图像关于直线y=x对称.

3.对数的基本不等式

定理：当时，成立log«N>0.

4.对数函数的图像和性质

y=log(tra>\0<4<1

；

|>'y=loga.r(a>l)1X=1

二

图像T

/%=1y=logT

(fXa<D

（1）图像都在），轴右侧，无限趋近于）'轴，但永不相交.

图像特征（2）过定点（1,0）.

（3）自左至右图像上升.（3）自左至右图像下降.

（1）定义域为（0,+oo）.

函数性质(2)当x=\时，y=0.

（3）在（0,+8）上严格递增.（3）在（0,+oo）上严格递减.

5.对数函数的图像与底数大小的关系

如图，作直线y=l,则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0<c<d<l<a<6.由此

我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

y=log产

厂log产

——y=l

y=log产

y=log«x

题型一、利用对数函数的性质比大小

【例4】比较下列各组中两个值的大小.

(l)ln0.3,In2；

(2)log„3.Llogfl5.2(a>0,。声)；

(3)logj0.2,log40.2；

(4)log37t,log#.

(5)(2020年上海高一必修1教材例题)logs71log67

(6)(2020年上海高一必修1教材例题)8999,99H9

【答案】(Un0.3Vin2)：(2)log„3.1<log„5.2：(3)log30.2<log40.2：(4)log37t>log^；

89

(5)log57>log67；(6)89">99..

【解析】(1)因为函数)，=lnx在x>0时严格递增，且0.3<2,

所以In0.3<ln2..

(2)当。>1时,函数y=l0goz在(0,+8)上严格递增,

又3.1<5.2,.

所以log“3.1Vlog“5.2：

当0Va<l时，函数y=log“x在(0,+℃)上严格递减.

又3.1V5.2,

所以log〃3.1>k)g〃5.2.

(3)因为0>logojS>logo.24»

所以厂二<1匚，

logo.23logo.24

即Iogj0.2<log40.2.

(4)因为函数y=k)g就严格递增，且兀>3,所以log3兀>log33=l,同理,1=log解>叫箕3,即log3g>log3

(5)需要换成同底的对数之后才易于进行比较.由换底公式，得Qg57=—!—,log67=」一，

log75log76

由log76>log75>0,Sklog57>logf,7.

(6)取以10为底的对数，由对数函数的单调性，只需要比较两个对数Ig89"=991g89与Ig9989=891g99的

大小就足够了.由计算器得991g8%192.99,891g99=177.61,因为192.99>177.61,所以8999>99吗

,方法总结:比较对数值大小时常用的四种方法

(1)同底数的利用对数函数的单调性.

(2)同真数的利用对数函数的图像或用换底公式转化.

(3)底数和真数都不同，找中间量..

(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.

I注意］比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小.

片题型二、解对数不等式

”［例5］解下列不等式：

(l)log|x>log,(4-x);

77

⑵log.>l;

(3)10g«(2x—5)>loga(x—1).

【答案】(1)(0,2)；(2)(小)；(3)当4>1时，原不等式的解集为(4,+00)；当OVaVl时，原

不等式的解集为(3,4)

2

x>0,

【解析】(1)由题意可得｛4—X>0,解得0<xV2.

x<4-x,

所以原不等式的解集为(0,2).

(2)当x>l时，log解得x<L,此时不等式无解.

22

当0<X<I时'，lOgv^>l=10gvX,解得所以;<X<1.

综上所述，原不等式的解集为.

(2)

2x-5>0,

(3)当《>1时，原不等式等价于<x-l〉0,解得x>4.

2x—5>x—1,

当OVaVl时，原不等式等价于

2x-5>0,

<x-l>0,解得3Vx<4.

2

2x—5<x—1,

综上所述，当a>l时，原不等式的解集为(4,+oo)；当0<“<1时，原不等式的解集为(之，4).

2

"方法总结:对数不等式的三种考查类型及解法

(1)形如lo&x>log疝的不等式，借助y=k)gd的单调性求解，如果。的取值不确定，需分。>1与OvcKl两种

情况进行讨论.

(2)形如lo&Qb的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式3=10g“d),再借助y=logd的单调性求

解.

⑶形如log/(x)a>logg(Ma(/(x),g(x)>0且不等于1,“>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，

或利用函数图像求解.

■题型三、对数函数图像与性质应用

&【例6】(1)(过定点)(2020年四川蓉城名校高一期中联考)函数加)=log«(x-l)+l(a>0,且存1)的图像

恒过点()

A.(1,I)B.(2,l)C.(l,2)D.(2,2)

【答案】B

【解析】令x-l=l,则42,因此火2)=1,所以函数小)的图像过定点(2,1).故选B.

(2)(图像辨析)(2020.江苏常州教学联盟高一期中)函数尸-怆仅+1|的大致图像为()

【答案】D

【解析】

法一函数产-1g卜+1|的定义域为｝，可排除AC;当A=1吐产-1g2<0,显然只有D符合题意.故选D.

法二一叱

又xG(-l,y)时,y=-lg(x+l)是严格递减,因此选D.

⑶(有图像求参数)已知函数尸log“(x+c)(a,c为常数淇中〃>0,存1)的图像如图，则下列结论成立的是()

A.t?>l,c>lB.tz>l,O<c<l

C.0<〃<1,01D.0<«<l,0<c<1

【答案】D

【解析】因为函数单调递减，所以0<“<L

当41时,log«(x+c)=k)g”(l+c)<0,即1+01,所以c>0,

当户0时,log〃(x+c)=1og"C>0,所以0<c<l,故选D..

(4)(底数比较)(2020年海南高一期中)如图，若Ci,C2分别为函数y=logd和y=log此的图像,则()

代

A.Ov4VxiB.O</?<«<1

C.a>b>\D.b>a>l

【答案】B

【解析】由对数的性质logR=l(a>0,且咕)，画一条直线目,如图所示，由图可知故选B.

Q

,方法总结:有关对数型函数图像问题的应用技巧

(1)求函数y=/n+log,(/(x)(a>0,且存1)的图像过定点时，只需令7(x)=l求出x,即得定点为(x,机).

(2)给出函数解析式判断函数的图像，应首先考虑函数对应的函数是哪一种；其次找出函数图像的特殊点，

判断函数的基本性质、定义域、单调性以及对称性等；最后综合上述几个方面将图像选出，解决此类题目

常采用排除法.

(3)根据对数函数图像判断底数大小的方法：作直线y=I与所给图像相交，交点的横坐标即为各个底数，根

据在第一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.

(5)(值域)函数_/(x)=log](f+2x+3)的值域是.

2

【答案】(-8,-1]

【解析】J(x)=log](X?+2x+3)=log1+2,

22U

因为(x+1)2+222,

所以log1[(x+l[+2<log12=-1,

2L2

所以函数7U)的值域是(一8,-ij.

O

拓展延伸

求本例的函数於)在[-3,1]上的值域.

解VxGl-3Jb.".2<r2+2x+3<6,

log(6<log](d+2x+3)Wlog12,

222

即一iog26gu)s—i，

・・・於)的值域为[Tog26,-1].

方法总结:求对数型函数值域(最值)的方法

对于形如y=log/x）（a>0,且存1）的复合函数，其值域（最值）的求解步骤如下：

⑴分解成y=log“"，〃=於）两个函数.

（2）求7U）的定义域..

（3）求“的取值范围.

（4）利用y=log〃"的单调性求解.

"方法总结:.

（1）已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；

若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系.

（2）求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解..

（6）已知集合人=［2,句，定义在集合A上的函数y=logM的最大值比最小值大1,则底数。的值为L

rr0

【答案】工或W

271

一22

（解析］当0<〃<1时,y=log/在区间［2,n］匕严格递减，所以loga2-log“;r=log”一二1,解得a=—.

7171

TTJT

当a>1时，y=log（lx在区间［2,兀］上严格递增，所以log”乃-log“2=logd-=1,解得a-y.

jr2

综上，底数〃的值为二或W.

271

Z

举一反三

2

1.（2019年天津高考）已知a=log52,fe=log050.2,c=0.5°-,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<c<bB.a〈b<c

C.b<c<aD.c<a<h

【答案】A.

【解析】4=bg52<log5石=g，fe=logo,50.2>logo,50.5=l,c=0.5°2=(：J>；,O.5°2<1,：.a<c<h,

故选A.

2.(2021年上海高一课时练习)解关于a的不等式：log“(l-〃)<log，2〃).

【答案】fo,1\

a>10<a<]

l-a>0l-<7>0解得“C0或aw［。,：).

【解析】因为k)g，l・〃)vlo或2a),所以《或<

2a>02a>0

}-a<2a\-a>2a

3.若函数凡v)=加og“(x-6)+/的图像恒过定点(3,2),则k=,b=.

【答案】22

【解析】因为左)=/wk)ga(x-b)+2的图像恒过定点(3,2),

所以3»=1次=2,所以b=2,k=2.

4.已知”>0,且在1,则函数y=x+a与y=log„x的图像只可能是()

【答案】C

【解析】当”>1时，函数y=k>gd为增函数，且直线_y=x+a与y轴的交点的纵坐标大于1；当0<。<1

时，函数y=logd为减函数，且直线y=x+a与y轴的交点的纵坐标在0到1之间，只有C符合，故选C.

5.已知则函数y=log"(x»)的图像不经过()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限.

【答案】D

【解析】令4=2/=2则y=log2(x+2),因此函数的大致图像如图所示.

故函数图像不过第四象限.故选D.

6.(2021河北高一开学考试改编)若ln“=lgb,则下列选项不可能成立的是()

A.a=bB.1<a<b

C.a<b<lD.b<a<\

【答案】C

【解析】在同一直角坐标系中，作出产lirt,产1附的图像..

由图可知，当。=6=1时，有lna=3,故A正确;当a>l,b>\时，显然有,故B正确;当时,

显然有,故C错误，D正确.故选：C.

7.已知函数7(x)=log„x(0<a<l)在区间团，20上的最大值是最小值的3倍，则a的值为.

历

【答案】—

4

【解析】由题意知,4)=logMKaVl)为减函数,则./Wma*=/(a)=l，./Wmin=A2a)=l+log“2,所以1=3(1

2--J2

+logn2),即log"2=—，解得a—2,即a----.

34

8.已知loga(3a-l)>0恒成立，求a的取值范围.

【答案】f—U(1,+oo)

(33J

【解析】解：由题意知log“(3a—1)>0=log„1..

当a>l时，y=log泅单调递增,

3a-l>l2

所以4解得。>W,

3a—1>0,3

所以«>1；

当0<4<1时，y=logaX单调递减,

3a—1<112

所以4解得上<a<..

3a—1>0,33

12

所以一<a<一.

33

综上所述，a的取值范围是+ao).

9.求下列函数的值域：

(1次r)=log2(3，+l)；

YX

(2)/(^)=log2--log2-(l<x<4).

【答案】(1)(0,+8)；(2)--,2

_4_

【解析】(1求x)的定义域为R.

V3'>0,.,.3V+1>1.

,..)，=1。8加在(0,+8)上单调递增，

.,.Iog2(3v+l)>log21=0,

.\Ax)的值域为(0,+8).

(2);於)=log2--log2-=(log2X-2)«(log2X-1)

又,•<1<r<4,0<log2^<2,

4-i

:.当log2%=2,即x=22=2小时，7U）取最小值一不

当logM=0,即x=l时，7U）取得最大值为2,

...函数/U）的值域是-',2.

4

寸数函数的应用

对数方程：对数符号中含有未知数的方程叫对数方程.

“【例7】某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%

进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按210g5（4+1）进行奖励.记奖金为y（单

位：万元），销售利润为x（单位：万元）.

（1）写出奖金y关于销售利润x的解析式；

（2）如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？

0.15x,0SE10,

【答案】(1)y=(2)34.

1.5+21og5X—9,x>10.

0.15x,0<A<10,

【解析】（1）由题意知丁=

1.5+21og5A~9,x>10.

（2）由题意知1.5+21og5（x-9）=5.5,

即log5（K—9）=2,

2

：.x-9=5f解得x=34.

・,・老江的销售利润是34万元.

/、_

举一反二

某种动物的数量M单位：只）与时间M单位：年）的函数关系式为y=ak）g2（x+l），若这种动物第1年有100

只，则第7年它们的数量为（）

A.300只B.400只

C.500只D.600只

【答案】A

【解析】由题意，知100=ak)g2(l+l),得“=100,.

则当x=7时，y=100k)g2(7+1)=100x3=300.故选A.

■

课堂总结

1.知识清单：

(1)对数函数的概念和定义域.

(2)对数函数的图像及性质.

(3)利用对数函数的图像及性质比较大小.

(4)利用对数函数单调性解不等式.

(5)求简单对数型复合函数的单调性及值域问题.

(6)对数函数模型的简单应用.

2.方法归纳：待定系数法、图像变换、数形结合法、换元法.

3.常见误区：(1)易忽视对数函数底数有限制条件.

(2)作对数函数图像易忽视底数与两种情况.

(3)求对数型复合函数的单调性易忽视定义域.

7课后作业

1.(2020年全国高一课时练习)给出下列函数：

2

@y=log2X：②y=log3(x—1);③y=loga+i卢；④y=k)gex.

其中是对数函数的有().

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【解析】①②不是对数函数，因为时数的真数不是仅有自变量x：③不是对数函数，因为对数的底数不是常

数；④是对数函数.故选A.

2.对数函数的图像过点M(125,3),则此对数函数的解析式为()

A.y=logsrB.y=logtX

5

C.y=log,xD.y=log3X.

3

【答案】A

【解析】设函数解析式为y=log“x(a>0,且存1).由于对数函数的图像过点M(125,3),

所以3=log“125,得a=5.

所以对数函数的解析式为y=log5X.故选A.

3.(2019年山东烟台高一期中)函数)=k)g〃(x+2)+"+i+2(“>0,且存1)的图像必经过的点是().

A.(0,2)B.(2,2)

C.(-L2)D.(-l,3)

【答案】D.

【解析】令x+2=l,解得广-1,此时因此产0+1+2=3,所以函数图像过(-1,3),故选D..

4.若lg(2x-4)<l,则x的取值范围是()

A.(-co,7]B.(2,7]

C.[7,+oo)D.(2,+<»)

【答案】B

【解析】由lg(2x-4)Wl，得0<2%—卷10,即2〈启7.故选B..

5.函数式x)=lg(|x|一1)的大致图像是().

【答案】B

【解析】由段)的定义域为(-8,-i)u(i,+oo),且ig(Lx|-D=lg(W-D，得以)关于y轴对称,由此知

C,D错误.

又当Q1时，兀v)=lg(x—l)在(1,+8)上单调递增,所以B正确.

6.若函数fix')—log,,(x+/>)的图像如图所示,其中4,〃为常数，则函数g(x)="+b的图像大致是().

【答案】D

【解析】由小)的图像可知〈辰1,；.g(x)的图像应为D.

7.函数y=Jlog3(2x—1)的定义域为()

A.[1,+oo)B.(1,+oo)

【答案】A

【解析】要使函数有意义，需满足『唱3°"一1)2°

2x-l>0,

2x-l>l

Ax>l,故选A..

2x-l>0,

人，2

8.（2020•全国卷HI）设。=log32,b=log53,c=y则（）.

A.a<c<hB.a<h<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】A.

--2

3233

【解析】V2<3,A2<3,Alog32<log33=3,：.a<c.

--2

3233

V3>5,A3>5,/.log53>log55=y：.b>c,：.a<c<b,故选A.

9.（2021.上海高一期末）下列函数中，值域为（。,+8）的是（）

A.y=x2B.y=2xC.y=lnxD.y=x+-

x

【答案】B

【解析】A选项中，y=Y值域为［0内），不满足题意；

B选项中，>=2、值域为（o,+8）,满足题意；

C选项中，y=lnx值域为R,不满足题意；

D选项中，对勾函数丫=*+：,在（F,-l］上单调递增，在（-1,0）上单调递减，在（0,1）上单调递减，在［1,2）

上单调递增，故值域为（F,-2］U［2,+«>）,不满足题意.

故选：B.

10.已知函数/U）=lnx,g（x）=\gx,/?（x）=log3X,直线y=〃（a<0）与这三个函数的交点的横坐标分别为即，X2,

X3，则为，工2，X3的大小关系是（）

A.X2<X3<X\B.X\<X3<X2

C.X]<X2<X3D.X3<X2<X\.

【答案】A

【解析】分别作出三个函数的大致图像，如图所示.

由图可知，故选A.

=1

11.（2021•全国高二期末（理））已知实数“，b,c满足。=61，^og78+log5649,7〃+24〃=25',则a,

b,c的大小关系是（）

A.b>a>cB.c>b>a

C.b>c>aD.c>a>b

【答案】C

【解析】由题意得，〃=6：>6。=「故

2

b=log?8+log49=log56-1+2log7=log56+-~~--1,

567567log,56

22

因log,56>log,49=2,根据对勾函数得log,56+^j~—>2+-=3,因此〃>3—1=2：

log7562

由勾股数可知72+242=252,又因7〃+24〃=25。且匕>2,故A>c>2；

因止匕6>c>a.

故选：C.

12.（2021・上海高一课时练习）B^log2x=log3y=log5z=-2,则工j］由小到大的排列顺序是.

【答案】

【解析】令lOg2X=log3y=IOgsZ=-2,

则X=2，=3-2,Z=5-2,

/,z，=（狗）,注意到及>0,6>0,为>0,

且=8,（出/=9,故将〉正，

（及广=32,（灼'"=25,故亚〉痣，

据此有迅犯，'累函数/（x）=x-2在定义域（0,+8）上单调递减，

故便『<（2尸<的「，即

故答案为：y3<x2<z5

13.设tf>l,函数火x）=logox在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为;，则“=

【答案】4

【解析】：“〉1，.\/U）=logd在上递增，

二log«（2a）-log&=5，

1-

即log“2=5，a2=2,.".tz=4.

（\-2a\x+5a,x<1

14.已知y（x）=r）的值域为R,那么实数a的取值范围是一

log7x,x>1

【答案】—

32）

【解析】要使函数K6的值域为R，

12/>0,

则必须满足

log71<1-2a+5a,

即I2所以一

、132j

I3

15.已知＞U）=|logM|,若X。）/2）,则〃的取值范围为

【答案】（0,g）D（2,+8）

【解析】作出函数式x）的图像，如图所示，

人X）二|logH

由于X2）=/不

故结合图像可知0＜。＜一或a＞2.

2

log,x,x〉O

16.已知函数直线y=a与函数＜x）的图像恒有两个不同的交点，则a的取值范围是

3\x<0

【答案】（0,1］.

【解析】函数yu）的图像如图所示,

要使y=4与7U）图像有两个不同交点，则0＜aWL

17.（2019年上海杨浦区复旦附中高一期末）已知函数_/（x）=lg［（a2-l濡+（a+l）x+l］的值域为R,则实数«的范围

是.

【答案】1,上

3

【解析】依题意仅2-1)小+3+1.+1>0对一切XWR恒成立..

当〃2一1翔时，其充要条件是：

n~-1>0,<

/'2/2\，解得

A=(«+l)--4(tz2-l)>03

又”=-1时，,/U)=0不符合题意，。=1时，符合题意，所以实数”的取值范围是1„|..

18.(2021年上海高一课时练习)求函数y=log2(9-3')的定义域和值域.

【答案】定义域为(-co,2),值域为(-co,log29).

【解析】由题意得，0<97，则3、<9,则x<log39=2,故函数定义域为(-00,2),令

r=9-3rG(0,9),故y=k>g2fdlog,9).

19.比较下列各组中两个值的大小：.

@10g31.9,10g32;.

②log23,logo.32；

(3)10^,71,log«3.14(^>0,存1)；

@log50.4,log60.4.

【答案】①因Iog31.9〈k)g32；@log23>logo.32；③当a>l时，k)ga兀>k)以3.14；当0<〃<l时，Ioga7rvk)ga3.14.

@log50.4<log60.4.

【解析】①因为y=log5在(0,+8)上严格递增，

所以