专题1与垂线有关的计算与证明(原卷版+解析)

专题1与垂线有关的计算与证明（原卷版）第一部分典例精析+变式训练类型一运用垂直的定义直接计算典例1（2020•谷城县校级模拟）如图所示，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠COE＝55°，则∠BOD的度数是（）A．40° B．45° C．30° D．35°变式训练1．（2021春•江夏）如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝37°，则∠2的度数是（）A．37° B．53° C．43° D．63°典例2（2021秋•松阳县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°．（1）若OE⊥CD，求∠BOE的度数；（2）若OA平分∠COE，求∠DOE的度数．变式训练22．（2021秋•盱眙县期末）如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝25°，求∠COD的度数．典例3（2022春•阳高县月考）如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON＝21°，求∠AOM的度数．变式训练1．（2022春•东莞市月考）如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，∠COE＝53°，求∠DOF与∠BOF的度数．类型二运用方程思想进行计算典例4（2021春•集贤县期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE＝4：1，求∠DOE和∠AOF的度数．变式训练1．如图，AO⊥BO，CO⊥DO，∠AOC=13∠BOC，求∠

典例5（2021秋•泊头市期末）如图，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；（2）如图2，若∠COE=13∠DOB，求∠变式训练1．如图，AB、CD、EF相交于点O，EF⊥AB，OG、OH分别为∠COF、∠DOG的平分线，若∠AOC：∠COG＝4：7，则∠DOF＝，∠DOH＝．2．（2021秋•城厢区期末）如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°．（1）若∠BOD=12∠COD，求∠（2）若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．

类型三用计算的方法证明两直线垂直典例6（2022春•郾城区校级月考）如图，已知∠1＝142°，∠ACB＝38°，CD平分∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H．试判断AB与CD有什么位置关系？并说明理由．变式训练1．（2021春•秦都区月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠BOE，∠DOF＝25°，∠AOC＝40°，OE与CD垂直吗？为什么？典例7（2019•衢江区开学）如图，点O是直线AB上一点，∠AOC＝30°，OD平分∠AOC，∠COE＝75°．（1）则DO⊥OE，请说明理由；（2）OE平分∠BOC吗？请说明理由．变式训练1．（蔡甸区期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝28°，∠BOF＝59°，OF平分∠DOE，OE与AB垂直吗？为什么？专题提优训练（2022•桐柏县一模）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝40°，求∠AOD的度数（）A．110° B．120° C．130° D．140°第1题图第2题图第3题图2．（2022春•福清市期中）如图，点O在直线CD上，已知∠1＝25°，OB⊥OA，则∠BOD等于（）A．25° B．65° C．75° D．90°3．（2020秋•南岗区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O，若∠AOD＝132°，则∠EOC＝°．4．（2020春•兴国县期末）如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，OG⊥CD，∠BOD＝24°．（1）求∠AOG的度数；（2）若OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠AOF的平分线吗？说明你的理由．5．（2021春•双辽市期末）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，OG平分∠BOE，若∠EOG=13∠AOE，求∠6．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，请将下面的解题过程补充完整，在括号内填写理由．解：ONCD．理由如下：因为OM⊥AB，所以∠AOM＝°（）所以∠1+∠AOC＝90°．又因为∠1＝∠2，所以+∠AOC＝90°（等量代换），即∠CON＝90°，所以（）（2）若∠BOC＝4∠1，求∠MOD的度数．7．（2020秋•和平区期末）平面内两条直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，OB平分∠COF．（1）如图1：①若∠AOE＝20°，则∠DOF＝°；②请写出∠DOF和∠AOE的数量关系，并说明理由．（2）如图2，∠DOF与∠AOE的数量关系是．8．如图，已知钝角∠ABC．（1）在钝角∠ABC外，过点B作射线BE，射线BD，使BE⊥AB，BD⊥BC．（2）在（1）的情况下，若∠EBD=57∠ABC，试求∠EBD和∠9．（未央区期末）如图，∠BOC＝2∠AOC，OD是∠AOB的平分线，且∠COD＝18°，求∠AOC的度数．10．（2022春•大荔县期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE＝90°．若∠BOD：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度数．11．（2019春•工业园区期末）如图，已知∠ADB＝∠BCE，∠CAD+∠E＝180°．（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AF于点F，∠ADB＝80°，求∠BAD的度数．12．（2022•江阴市期末）如图，直线AB与CD相交于O，OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．∠AOD＝74°（1）求∠BOE的度数；（2）试说明OF平分∠AOC．

13．（2022秋•滑县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD．如果∠AOD＝40°，求∠POF的度数．14．（2020春•石城县期中）平面内两条直线EF、CD相交于点O，OA⊥OB，OC恰好平分∠AOF．（1）如图1，若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；（2）在图1中，若∠AOE＝x°，请求出∠BOD的度数（用含有x的式子表示），并写出∠AOE和∠BOD的数量关系；（3）如图2，当OA，OB在直线EF的同侧时，∠AOE和∠BOD的数量关系是否会发生改变？若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由．专题1与垂线有关的计算与证明（解析版）第一部分典例精析+变式训练类型一运用垂直的定义直接计算典例1（2020•谷城县校级模拟）如图所示，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠COE＝55°，则∠BOD的度数是（）A．40° B．45° C．30° D．35°思路引领：先根据垂直的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等即可求出∠BOD的度数．解：∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵∠COE＝55°，∴∠AOC＝90°﹣∠COE＝35°，∴∠BOD＝∠AOC＝35°．故选：D．总结提升：本题考查了对顶角相等的性质，垂直的定义，根据图形找出角的关系代入数据进行计算即可，比较简单．变式训练1．（2021春•江夏区期中）如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝37°，则∠2的度数是（）A．37° B．53° C．43° D．63°思路引领：利用垂线的定义得∠BOC＝90°，从而得出∠BOE＝90°﹣37°＝53°，再根据对顶角相等可得答案．解：∵AB⊥CD，∴∠BOC＝90°，∵∠1＝37°，∴∠BOE＝90°﹣37°＝53°，∴∠2＝∠BOE＝53°，故选：B．总结提升：本题主要考查了垂线的定义，对顶角的性质，角的和差关系等知识，熟练掌握各性质是解题的关键，属于基础题．典例2（2021秋•松阳县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°．（1）若OE⊥CD，求∠BOE的度数；（2）若OA平分∠COE，求∠DOE的度数．思路引领：（1）先根据对顶角相等得出∠BOD的度数，再由OE⊥CD得出∠DOE＝90°，进而可得出结论；（2）根据角平分线的定义得出∠AOE的度数，再由对顶角相等得出∠BOD的度数，根据平角的定义即可得出结论．解：（1）∵∠AOC＝40°，∴∠BOD＝40°．∵OE⊥CD，∴∠DOE＝90°，∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝40°+90°＝130°；（2）∵OA平分∠COE，∠AOC＝40°．∴∠AOE＝∠AOC＝40°，∠BOD＝∠AOC＝40°，∴∠DOE＝180°﹣∠AOE﹣∠BOD＝180°﹣40°﹣40°＝100°．总结提升：本题考查了角平分线，邻补角．解题的关键是掌握角平分线的定义．邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．变式训练22．（2021秋•盱眙县期末）如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝25°，求∠COD的度数．解：∵∠BON＝25°，∴∠AOM＝25°，∵OA平分∠MOD，∴∠AOD＝∠MOA＝25°，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠COD＝90°﹣25°＝65°．典例3（2022春•阳高县月考）如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON＝21°，求∠AOM的度数．思路引领：利用角平分线定义可得∠BON＝2∠EON＝42°，然后根据垂直定义可得∠AOC＝90°，进而可得∠AOM的度数．解：∵OE平分∠BON，∠EON＝21°，∴∠BON＝2∠EON＝42°，∴∠MOC＝42°，∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∴∠AOM＝90°﹣42°＝48°．总结提升：此题主要考查了垂线，以及角平分线的定义，关键是掌握角平分线把这个角分成相等的两个角．变式训练1．（2022春•东莞市月考）如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，∠COE＝53°，求∠DOF与∠BOF的度数．思路引领：利用垂直定义可得∠BOD＝90°，然后再利用对顶角相等可得∠DOF＝53°，再利用角的和差关系计算出∠BOF的度数即可．解：∵AB⊥CD，∴∠BOD＝90°，∵∠COE＝53°，∴∠DOF＝53°，∴∠BOF＝90°+53°＝143°．总结提升：此题主要考查了垂线，关键是掌握对顶角相等，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．类型二运用方程思想进行计算典例4（2021春•集贤县期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE＝4：1，求∠DOE和∠AOF的度数．思路引领：利用角平分线及比例式求出角的关系，利用平角是180°，求出∠BOE＝∠DOE＝30°，OF平分∠COE得到∠EOF＝75°，求出∠BOF＝45°，根据邻补角的和等于180°求出∠AOF．解：∵∠AOD：∠BOE＝4：1，∴∠AOD＝4∠BOE，∵OE平分∠BOD，∴∠D0E＝∠EOB，∵∠AOD+∠DOE+∠BOE＝180°，∴6∠BOE＝180°，∴∠BOE＝∠DOE＝30°，∴∠COE＝180°﹣30°＝150°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF＝75°，∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝75°﹣30°＝45°，∠AOF＝180°﹣45°＝135°．总结提升：本题考查了邻补角的定义，对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图并熟记性质与概念是解题的关键．变式训练1．如图，AO⊥BO，CO⊥DO，∠AOC=13∠BOC，求∠思路引领：先设∠AOC＝x，根据题意可得∠BOC＝3x，∠AOB＝2x，再由AO⊥BO，运用垂直的定义可得2x＝90°，进而求解出x的值，再运用周角的定义即可求解．解：设∠AOC＝x，∠BOC＝3x，∴∠AOB＝2x，∵AO⊥BO，∴2x＝90°，∴x＝45°，∴∠BOD＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°．总结提升：本题主要考查了角的运算，正确理解垂直的定义是本题的解题关键．典例5（2021秋•泊头市期末）如图，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；（2）如图2，若∠COE=13∠DOB，求∠思路引领：（1）已知∠COD，欲求∠DOE，需求∠COE．由∠AOC＝40°，得∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°．由OE平分∠BOC，得∠COE=1（2）欲求∠AOC，需求∠BOC．由∠COE=13∠DOB，得∠DOB＝3∠COE．由OE平分∠BOC，得∠BOC＝2∠COE．由∠COD＝90°，得∠BOC+∠BOD＝2∠COE+3∠COE＝5∠COE＝90°，故∠COE＝18°，进而可求得∠解：（1）∵∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°．∵OE平分∠BOC，∴∠COE=1∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣70°＝20°．（2）∵∠COE=13∠∴∠DOB＝3∠COE．∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE．∵∠COD＝90°，∴∠BOC+∠BOD＝2∠COE+3∠COE＝5∠COE＝90°．∴∠COE＝18°．∴∠BOC＝2∠COE＝36°．∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣36°＝144°．总结提升：本题主要考查角的和差关系、角平分线的定义以及直角的定义，熟练掌握角的和差关系、角平分线的定义以及直角的定义是解决本题的关键．变式训练1．如图，AB、CD、EF相交于点O，EF⊥AB，OG、OH分别为∠COF、∠DOG的平分线，若∠AOC：∠COG＝4：7，则∠DOF＝，∠DOH＝．思路引领：利用垂直定义结合已知设∠AOC＝4x，∠COG＝7x，则∠GOF＝7x，进而求出x的值，再利用角平分线的性质得出答案．解：∵EF⊥AB，OG为∠COF的平分线，∴∠COG＝∠FOG，∵∠AOC：∠COG＝4：7，∴设∠AOC＝4x，∠COG＝7x，则∠GOF＝7x，∴4x+7x+7x＝18x＝90°，解得：x＝5°，故∠AOC＝∠DOB＝20°，∠COG＝∠GOF＝35°，则∠DOF＝90°+20°＝110°，故∠DOG＝20°+90°+35°＝145°，故∠GOH＝∠DOH＝72.5°，故答案为：110°，72.5°．总结提升：此题主要考查了角平分线的定义以及垂线的定义，熟练应用角平分线的定义是解题关键．2．（2021秋•城厢区校级期末）如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°．（1）若∠BOD=12∠COD，求∠（2）若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．思路引领：（1）根据对顶角的定义可得∠COD的度数，再根据∠BOD=12∠COD可得∠（2）设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°，利用角的和差运算即可解得x，进而可得∠BON的度数．解：（1）∵∠MON＝70°，∴∠COD＝∠MON＝70°，∴∠BOD=12∠COD∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠BOD＝180°﹣70°﹣35°＝75°；（2）设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°，∵∠COD＝∠MON＝70°，∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝3x°﹣70°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝x°+70°，∵∠AOD＝2∠BOD，∴x+70＝2（3x﹣70），解得x＝42，∴∠BOD＝3x°﹣70°＝3×42°﹣70°＝56°，∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠DOB＝180°﹣70°﹣56°＝54°．总结提升：此题主要考查了角的计算，关键是掌握邻补角互补．类型三用计算的方法证明两直线垂直典例6（2022春•郾城区校级月考）如图，已知∠1＝142°，∠ACB＝38°，CD平分∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H．试判断AB与CD有什么位置关系？并说明理由．思路引领：先证DE∥BC，证明HF∥CD，所以∠BDC＝∠BHF＝90°，即可证明解：AB与CD垂直．理由如下：∵∠1＝142°，∠ACB＝38°，∴∠1+∠ACB＝180°．∴DE∥BC．∴∠2＝∠DCB．又∵∠2＝∠3，∴∠3＝∠DCB．∴HF∥CD．∴∠BHF＝∠BDC，又∵FH⊥AB，∴∠BDC＝∠BHF＝90°，∴CD⊥AB．总结提升：本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，熟悉以上性质是解题关键．变式训练1．（2021春•秦都区月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠BOE，∠DOF＝25°，∠AOC＝40°，OE与CD垂直吗？为什么？思路引领：根据对顶角的定义和角平分线的定义即可得到结论．解：OE⊥CD，理由如下：∵∠AOC＝40°，∴∠DOB＝∠AOC＝40°，∵∠DOF＝25°，∴∠BOF＝∠DOB+∠DOF＝65°，又∵OF平分∠BOE，∴∠EOF＝∠BOF＝65°，∴∠DOE＝∠EOF+∠DOF＝65°+25°＝90°，∴OE⊥CD．总结提升：本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角的性质，正确识别图形是解题的关键．典例7（2019•衢江区校级开学）如图，点O是直线AB上一点，∠AOC＝30°，OD平分∠AOC，∠COE＝75°．（1）则DO⊥OE，请说明理由；（2）OE平分∠BOC吗？请说明理由．思路引领：（1）利用角平分线的定义求出∠COD＝15°，然后利用∠COE的度数即可解决问题；（2）利用平角的定义可以求出∠EOB的度数即可判断．解：（1）∵∠AOC＝30°，OD平分∠AOC，∴∠COD＝15°，而∠COE＝75°，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝15°+75°＝90°，∴DO⊥OE；（2）平分．∵∠EOB＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣30°﹣75°＝75°，∴∠COE＝∠EOB，即OE平分∠BOC．总结提升：本题主要考查了垂直的定义、平分线的定义和互补的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．变式训练1．（蔡甸区期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝28°，∠BOF＝59°，OF平分∠DOE，OE与AB垂直吗？为什么？思路引领：根据对顶角的性质和角平分线的定义即可得到结论．解：OE⊥AB，理由如下：∵∠AOC＝28°，∴∠DOB＝∠AOC＝28°，∴∠DOF＝∠BOF﹣∠DOB＝59°﹣28°＝31°，又OF平分∠DOE，∴∠EOD＝2∠DOF＝62°，∴∠EOB＝∠EOD+∠DOB＝62°+28°＝90°，∴EO⊥AB．总结提升：本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角的性质，正确的识别图形是解题的关键．专题提优训练1．（2022•桐柏县一模）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝40°，求∠AOD的度数（）A．110° B．120° C．130° D．140°思路引领：根据垂直的定义和对顶角相等得出答案．解：∵EO⊥AB，∴∠EOB＝90°，又∵∠EOC＝40°，∴∠AOD＝∠BOC＝∠EOB+∠EOC＝90°+40°＝130°，故选：C．总结提升：本题考查垂直的定义，对顶角相等的性质，掌握垂直的定义是解决问题的关键．2．（2022春•福清市期中）如图，点O在直线CD上，已知∠1＝25°，OB⊥OA，则∠BOD等于（）A．25° B．65° C．75° D．90°思路引领：利用互余的两角的关系计算即可．解：∵OB⊥OA，∠1＝25°，∴∠BOD＝90°﹣25°＝65°．故选：B．总结提升：本题考查的是余角的定义，解题的关键是从图中找到互余的两个角．3．（2020秋•南岗区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O，若∠AOD＝132°，则∠EOC＝°．思路引领：根据对顶角相等可得∠COB＝132°，再根据垂直定义可得∠EOB＝90°，再利用角的和差关系可得答案．解：∵∠AOD＝132°，∴∠COB＝132°，∵EO⊥AB，∴∠EOB＝90°，∴∠COE＝132°﹣90°＝42°，故答案为：42．总结提升：此题主要考查了垂线，以及对顶角，关键是掌握对顶角相等．4．（2020春•兴国县期末）如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，OG⊥CD，∠BOD＝24°．（1）求∠AOG的度数；（2）若OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠AOF的平分线吗？说明你的理由．思路引领：（1）由对顶角的性质可得∠AOC＝∠BOD＝24°，由垂线的性质可得∠COG＝90°，即可求解；（2）由垂线的性质和对顶角的性质可求∠AOG＝∠GOF，可得结论．解：（1）∵AB、CD相交于点O，∴∠AOC＝∠BOD＝24°，∵OG⊥CD，∴∠COG＝90°，即∠AOC+∠AOG＝90°，∴∠AOG＝90°﹣∠AOC＝90°﹣24°＝66°；（2）OG是∠AOF的角平分线，理由如下：∵OC是∠AOE的角平分线，∴∠AOC＝∠COE，又∵∠DOF＝∠COE，∴∠COA＝∠DOF，∵OG⊥CD，∴∠COG＝∠DOG＝90°，∴∠AOG＝∠GOF，∴OG平分∠AOF．总结提升：本题考查了垂线，对顶角的定义，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．5．（2021春•双辽市期末）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，OG平分∠BOE，若∠EOG=13∠AOE，求∠思路引领：首先根据角平分线的性质可得∠EOG＝∠BOG，设∠EOG＝x°，进而得到∠EOG=13∠AOE=x°，再根据平角为180°可得x+x+3x＝180，解出x可得∠EOG解：∵OG平分∠BOE，∴∠EOG＝∠BOG，设∠EOG＝x°，∵∠EOG=1∴∠AOE＝3x°，∵x+x+3x＝180，解得：x＝36，∴∠AOE＝3×36°＝108°，∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝180°﹣108°＝72°，∵AB⊥CD，∴∠AOD＝90°，∴∠DOF＝∠AOD﹣∠AOF＝90°﹣72°＝18°．所以∠DOF的度数18°．总结提升：此题考查了垂线、角平分线，关键是掌握角平分线可以把角分成相等的两部分．6．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，请将下面的解题过程补充完整，在括号内填写理由．解：ONCD．理由如下：因为OM⊥AB，所以∠AOM＝90°（）所以∠1+∠AOC＝90°．又因为∠1＝∠2，所以+∠AOC＝90°（等量代换），即∠CON＝90°，所以（）（2）若∠BOC＝4∠1，求∠MOD的度数．思路引领：（1）根据垂直定义即可得结论；（2）由OM⊥AB，可得∠BOM＝90°根据∠1+90°＝4∠1，得∠1＝30°，再根据对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝60°，进而求解．解：（1）ON⊥CD．理由如下：因为OM⊥AB，所以∠AOM＝90°（垂直定义）所以∠1+∠AOC＝90°．又因为∠1＝∠2，所以∠2+∠AOC＝90°（等量代换），即∠CON＝90°，所以ON⊥CD（垂直定义）故答案为：⊥、90、垂直定义、∠2、ON⊥CD、垂直定义．（2）因为OM⊥AB，所以∠BOM＝90°因为∠BOC＝∠1+∠BOM所以∠1+90°＝4∠1，所以∠1＝30°所以∠AOC＝90°﹣∠1＝90°﹣30°＝60°所以∠BOD＝∠AOC＝60°所以∠MOD＝∠MOB+∠BOD＝90°+60°＝150°答：∠MOD的度数为150°．总结提升：本题考查了垂线、对顶角、邻补角，解决本题的关键是掌握垂线定义．7．（2020秋•和平区期末）平面内两条直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，OB平分∠COF．（1）如图1：①若∠AOE＝20°，则∠DOF＝°；②请写出∠DOF和∠AOE的数量关系，并说明理由．（2）如图2，∠DOF与∠AOE的数量关系是．思路引领：（1）①先利用平角求出∠BOF，再利用角平分线的定义求出∠FOC即可，②设∠AOE＝x，然后按照①的思路表示∠DOF即可；（2）设∠AOE＝y，然后按照上题的思路表示∠DOF即可．解：（1）①∵∠EOF＝90°，∠AOE＝20°，∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝70°，∵OB平分∠COF，∴∠COF＝2∠BOF＝140°，∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝40°，故答案为：40°，②∠DOF＝2∠AOE，理由是：设∠AOE＝x，∵∠EOF＝90°，∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣x，∵OB平分∠COF，∴∠COF＝2∠BOF＝180°﹣2x，∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝2x，∴∠DOF＝2∠AOE；（2）∠DOF＝2∠AOE，理由是：设∠AOE＝y，∵∠EOF＝90°，∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣y，∵OB平分∠COF，∴∠COF＝2∠BOF＝180°﹣2y，∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝2y，∴∠DOF＝2∠AOE．总结提升：本题考查了邻补角，对顶角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．8．如图，已知钝角∠ABC．（1）在钝角∠ABC外，过点B作射线BE，射线BD，使BE⊥AB，BD⊥BC．（2）在（1）的情况下，若∠EBD=57∠ABC，试求∠EBD和∠思路引领：（1）直接画出垂线即可；（2）根据比例关系，利用周角是360°求解即可．解：（1）作出的图形如图所示；（2）∵∠EBD=5∴∠EBD：∠ABC＝5：7．设∠EBD＝5k，则∠ABC＝7k．∵∠ABE＝∠CBD＝90°．∴∠ABC+∠EBD＝180°，即7k+5k＝180°，解得k＝15°．∴∠EBD＝5k＝5×15°＝75°，∠ABC＝7k＝7×15°＝105°．总结提升：本题考查的是垂线的作法、角度的求法，解题的关键就是看准作谁的垂线、周角是360°．9．（2019秋•未央区期末）如图，∠BOC＝2∠AOC，OD是∠AOB的平分线，且∠COD＝18°，求∠AOC的度数．思路引领：设∠AOC＝x，用x表示出∠BOC、∠AOB及∠AOD，利用角的和差关系及∠COD＝18°得到关于x的方程，求解即可．解：设∠AOC＝x，∵∠BOC＝2∠AOC，∴∠BOC＝2x．∴∠AOB＝3x．又∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝1.5x．∵∠COD＝∠AOD﹣∠AOC，∴1.5x﹣x＝18°，解得x＝36°．∴∠AOC＝36°．总结提升：本题考查了角平分线的性质及角的计算，掌握角的和差关系列出方程是解决本题的关键．10．（2022春•大荔县期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE＝90°．若∠BOD：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度数．思路引领：根据对顶角、邻补角的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可．解：∵∠BOD：∠BOC＝1：5，∠BOD+∠BOC＝180°，∴∠BOD＝180°×11+5=30°，∠BOC∴∠AOC＝∠BOD＝30°，∵∠COE＝90°．∴∠AOE＝90°+30°＝120°．总结提升：本题考查对顶角、邻补角，理解对顶角相等以及邻补角的定义是正确简单的前提．11．（2019春•工业园区期末）如图，已知∠ADB＝∠BCE，∠CAD+∠E＝180°．（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AF于点F，∠ADB＝80°，求∠BAD的度数．思路引领：（1）根据平行线的判定得出AD∥CE，根据平行线的性质得出∠CAD＝∠ACE，求出∠E+∠ACE＝180°，根据平行线的判定得出即可；（2）根据∠ADB＝∠BCE求出∠BCE＝80°，根据角平分线的定义求出∠ACE=12∠BCE＝40°，根据平行线的性质得出∠CAD＝∠ACE＝40°，∠BAC＝∠解：（1）AC∥EF，理由是：∵∠ADB＝∠BCE，∴AD∥CE，∴∠CAD＝∠ACE，∵∠CAD+∠E＝180°，∴∠E+∠ACE＝180°，∴AC∥EF；（2）∵∠ADB＝∠BCE，∠ADB＝80°，∴∠BCE＝80°，∵AC平分∠BCE，∴∠ACE=12∠∵AD∥CE，∴∠CAD＝∠ACE＝40°，∵FE⊥AB，∴∠EFA＝90°，∵AC∥EF，∴∠BAC＝∠