专题11相似三角形中的“K”字型相似模型(原卷版+解析)

专题11相似三角形中的“K”字型相似模型【模型展示】特点如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.结论CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.【模型证明】解决方案“三垂直”模型如图，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.“一线三等角”模型如图，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.【题型演练】一、单选题1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE=4，则AF的长为（

）A．

B．4

C．3

D．22．如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含30°角的直角三角板（）绕直角顶点旋转，、分别交边、于、．连接，当时，长为（

）A．6 B． C．10 D．3．如图，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中点，连接AE，tan∠AEB，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（）A．或 B．或 C．或 D．或4．如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（

）A． B． C． D．5．如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，则下列结论：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正确的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．如图，在中，．动点从点出发沿着射线的方向以每秒1cm的速度移动，动点从点出发沿着射线的方向以每秒2cm的速度移动．已知点和点同时出发，设它们运动的时间为秒．连接．下列结论正确的有（）个①；②当时，；③以点为圆心、为半径画，当时，与相切；④当时，．A． B． C． D．二、填空题7．如图，正方形的对角线，相交于点，，为上一点，，连接，过点作于点，与交于点，则的长是______．8．如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，将沿折叠使点落在点，连接并延长交于点，连接．若是以为腰的等腰三角形，则的长为________．9．如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为______．三、解答题10．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：△AEF∽△DCE；(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．11．（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．12．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．13．如图，在矩形中，是上一点，于点，设．（1）若，求证：；（2）若，且在同一直线上时，求的值．14．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，点E是边BC上一个动点（不与点B、C重合），AE的垂线AF交CD的延长线于点F，点G在线段EF上，满足FG∶GE＝1∶2，设BE＝x．（1）求证：；（2）当点G在△ADF的内部时，用x的代数式表示∠ADG的余切；（3）当∠FGD＝∠AFE时，求线段BE的长．15．如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°．（1）求证：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长．16．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M，若∠AFG＝∠ACD．（1）求证：①△MFC∽△MCA；②若AB＝5，AC＝8，求的值．（2）若DM＝CM＝2，AD＝3，请直接写出EF长．17．如图，在正方形中，点在上，交于点．（1）求证：；（2）连结，若，试确定点的位置并说明理由．18．如图，正方形ABCD的边长等于，P是BC边上的一动点，∠APB、∠APC的角平分线PE、PF分别交AB、CD于E、F两点，连接EF．（1）求证：△BEP∽△CPF；（2）当∠PAB＝30°时，求△PEF的面积．19．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作，交射线DC于点E，已知，．设AP的长为x．(1)___________；当时，_________；(2)试探究：否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当是等腰三角形时，请求出的值．20．【推理】如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．（1）求证：．【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长．【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）．21．在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．（1）如图1，若，求的值；（2）如图2，在线段上取一点，使平分，延长，交于点，若，求的值．22．问题提出（1）如图1，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，过点E作交于点G．若，则的面积为_________．问题探究（2）如图2，在矩形中，，点P是边上一动点，点Q是的中点将．沿着折叠，点A的对应点是，将沿着折叠，点D的对应点是．请问是否存在这样的点P，使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由．问题解决（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形中，，点D到的距离为，且．若过点D作，过点A作的垂线，交于点E，交的延长线于点H，过点C作于点F，连接．设的长为，四边形的面积为．①根据题意求出y与x之间的函数关系式；②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用．专题11相似三角形中的“K”字型相似模型【模型展示】特点如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.结论CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.【模型证明】解决方案“三垂直”模型如图，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.“一线三等角”模型如图，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.【题型演练】一、单选题1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE=4，则AF的长为（

）A．

B．4

C．3

D．2【答案】C【分析】由矩形的性质可得AB=CD=6，AD=BC=8，∠BAD=∠D=90°，通过证明△ABF∽△DAE，可得，即可求解．【详解】解：∵矩形ABCD，∴∠BAD=∠D=90°，BC=AD=8∴∠BAG+∠DAE=90°∵折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，∴BF垂直平分AG∴∠ABF+∠BAG=90°∴∠DAE=∠ABF，∴△ABF∽△DAE∴即解之：AF=3．故答案为：C．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．2．如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含30°角的直角三角板（）绕直角顶点旋转，、分别交边、于、．连接，当时，长为（

）A．6 B． C．10 D．【答案】B【分析】过点作于，根据等边三角形，和含角的直角三角形，易证得，从而求得线段，，，，，，的长度，最后在中利用勾股定理可以求得的长度．【详解】解：过点作于，在等边中，，，在中，，，∵，∴，，∴，∴，又∵∠A=∠B=60°，∴，

∴，∴在中，，∴，即，∴，∵，∴，∴，已知∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，而,∴，∴，在中，，∴，即．故选：B．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，特殊三角函数值，一线三等角的相似模型，正确找到相似三角形是解题的关键．3．如图，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中点，连接AE，tan∠AEB，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【分析】根据矩形的性质得到AB＝CD，∠B＝90°，根据勾股定理求得AE，当△APD'是直角三角形时，分两种情况分类计算即可；【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝90°，∵CD＝4，tan∠AEB，∴BE＝3，在Rt△ABE中，AE，∵E是BC的中点，∴AD＝6，由折叠可知，PD＝PD'，设PD＝x，则PD'＝x，AP＝6﹣x，当△APD'是直角三角形时，①当∠AD'P＝90°时，∴∠AD'P＝∠B＝90°，∵AD∥BC，∴∠PAD'＝∠AEB，∴△ABE∽△PD'A，∴，∴，∴x，∴PD；②当∠APD'＝90°时，∴∠APD'＝∠B＝90°，∵∠PAE＝∠AEB，∴△APD'∽△EBA，∴，∴，∴x，∴PD；综上所述：当△APD'是直角三角形时，PD的值为或；故选：B．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．4．如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，证明四边形是矩形，再证明，求得与的长度，由勾股定理求得与，再由矩形的周长公式求得结果．【详解】解：连接，四边形是矩形，，，为的中点，为的中点，，，四边形是平行四边形，，矩形是中心对称图形，过矩形的中心．过点，且，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，，，，，，设，则，，，解得，或4，或4，当时，，则，，四边形的周长；同理，当时，四边形的周长；故选：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明四边形是矩形．5．如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，则下列结论：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正确的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】由余角的定义可推出，并不能说明，说明①错误；再根据，可推出，进而可证明，说明②正确；连接BD，由三角形中位线可知，再由可进一步推出，即，即，说明④正确；在中，，即可求出CG长度，即可求出AB=2，说明③正确．【详解】解：∵，∴，∴不能说明，故①错误．∵，∴，又∵∴，故②正确．如图连接BD，由题意可知，∵G和F分别为CD和BC的中点，∴，∵∴，即，∴在中，，即,解得∴，故③正确．∵，∴，即，故④正确．综上正确的有②③④共3个．故选B．【点睛】本题考查矩形的性质，余角，三角形中位线，三角形相似的判定和性质以及勾股定理，综合性强．能够连接常用的辅助线和证明是解答本题的关键．6．如图，在中，．动点从点出发沿着射线的方向以每秒1cm的速度移动，动点从点出发沿着射线的方向以每秒2cm的速度移动．已知点和点同时出发，设它们运动的时间为秒．连接．下列结论正确的有（）个①；②当时，；③以点为圆心、为半径画，当时，与相切；④当时，．A． B． C． D．【答案】D【分析】利用锐角三角函数求出BC可判断①，利用勾股定理求AC，BD，AG，再用正切锐角三角函数定义求值可判断②，利用相似三角形判定与性质，可判断③，利用相似三角形判定与性质建构方程，解方程求解可判断④【详解】解：在中，．，故①正确；作AG⊥BD于G，在Rt△ABC中，，∵AD=AB=5，AG⊥BD∴CD=AD-AC=5-3=2，DG=BG，在Rt△DCB中，，∴DG=BG=，在Rt△BGA中，，∴，故②当时，正确；AD=t，BE=2t，cosA=，当时，，，∴，∵，∴cosA=，∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴∠AED=∠ACB=90°，∴∠DEB=90°，∴与相切，故③以点为圆心、为半径画，当时，与相切正确；过E作EH⊥AC于H，当时，∵∠EHD=∠DCB=90°，∴△EHD∽△DCB，∴，∵AE=5-2t，∴AH=，EH=，，，∴，整理得，因式分解得，∴或（舍去），故④当时，正确；正确的结论有4个．故选择D．【点睛】本题考查锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法，掌握锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法是解题关键．二、填空题7．如图，正方形的对角线，相交于点，，为上一点，，连接，过点作于点，与交于点，则的长是______．【答案】【分析】根据正方形的性质求出，证明得到，即可求出答案.【详解】解：四边形是正方形，，，OA=OB=OC=OD，∵,∴，，，，即，，，，，解得故答案为：.【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，解题中熟练掌握并运用各知识点是解题的关键.8．如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，将沿折叠使点落在点，连接并延长交于点，连接．若是以为腰的等腰三角形，则的长为________．【答案】或【分析】分两种情形：如图1中，当GD=GE时，过点G作GM⊥AD于M，GN⊥CD于N．设AF=x，证明△BAF∽△ADE，推出，可得DE=，再证明AM=MD=6，在Rt△FGM中，利用勾股定理构建方程求解．如图2中，当DG=DE时，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：如图1中，当GD=GE时，过点G作GM⊥AD于M，GN⊥CD于N．设AF=x．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=12，∠BAF=∠ADE=90°，由翻折的性质可知，AF=FG，BF⊥AG，∴∠DAE+∠BAE=90°，∠ABF+∠BAE=90°，∴∠ABF=∠DAE，∵∠BAF=∠ADE=90°，∴△BAF∽△ADE，∴，∴，∴DE=，∵GM⊥AD，GN⊥CD，∴∠GMD=∠GND=∠MDN=90°，∴四边形GMDN是矩形，∴GM=DN=EN=，∵GD=GE，∴∠GDE=∠GED，∵∠GDA+∠GDE=90°，∠GAD+∠GED=90°，∴∠GDA=∠GAD，∴GA=GD=GE，∵GM∥DE，∴AM=MD=6，在Rt△FGM中，则有，解得或（舍弃），∴AF=．如图2中，当DG=DE时，由翻折的性质可知，BA=BG，∴∠BAG=∠BGA，∵DG=FE，∴∠DGE=∠DEG，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DEG，∴∠AGB=∠DGE，∴B，G，D共线，∵BD=，BG=BA=9，∴DG=DE=6，∵△BAF∽△ADE，∴，∴，∴AF=，综上所述，AF的值为或．【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．9．如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为______．【答案】【分析】根据△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，可证△BDF∽△CFE，根据BF=4CF，可得CF=4，根据AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，可得DE⊥AF，根据S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF，进而可求．【详解】解：如图，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH，∵△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，∴∠DFE=∠DAE=60°，AD=DF，∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB=120°，∴∠DFB=∠CEF，又∠B=∠C=60°，∴△BDF∽△CFE，∴，即，设CF=x(x>0)，∵BF=4CF，∴BF=4x，∵BD=3，∴，∵，∴，，∵△BDF∽△CFE，∴，∴解得：x=2，∴CF=4，∴BC=5x=10，∵在Rt△ABL中，∠B=60°，∴AL=ABsin60°=10×=5，∴S△ABC=，∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°，∴DH=BDsin60°=，∴S△BDF=，∵△BDF∽△CFE，∴，∵S△BDF=，∴S△CEF=，又∵AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，∴AD=DF，△ADF为等腰三角形，DE⊥AF，∴S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF=，∴．故答案为:．【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明k型相似，以及“垂美四边形”的性质：对角线互相垂直的四边形的面积＝对角线乘积的一半．三、解答题10．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：△AEF∽△DCE；(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)相似，证明见解析(3)存在，【分析】(1)由题意可得∠AEF＋∠DEC＝90°，又由∠AEF＋∠AFE＝90°，可得∠DEC＝∠AFE，据此证得结论；(2)根据题意可证得Rt△AEF≌Rt△DEG(ASA)，可得EF＝EG，∠AFE＝∠EGC，可得CE垂直平分FG，△CGF是等腰三角形，据此即可证得△AEF与△ECF相似；(3)假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况：①当∠AFE＝∠BCF，可得∠EFC＝90°，根据题意可知此种情况不成立；②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，可得AF＝，BF＝，再由△AEF∽△DCE，即可求得k值．（1）证明：∵EF⊥EC，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，又∵∠A＝∠EDC＝90°，∴△AEF∽△DCE；（2）解：△AEF∽△ECF．理由：∵E为AD的中点，∴AE＝DE，∵∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，∴△AEF≌△DEG(ASA)，∴EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．又∵EF⊥CE，∴CE垂直平分FG，∴△CGF是等腰三角形．∴∠AFE＝∠EGC＝∠EFC．又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF；（3）解：存在使得△AEF与△BFC相似．理由：假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况：①当∠AFE＝∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此种情况不成立；②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，∵△AEF∽△BCF，∴，∴AF＝，BF＝，∵△AEF∽△DCE，∴，即，解得，．∴存在使得△AEF与△BFC相似．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性质，等腰三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．11．（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）先证△ABD△DFE，求出DF=4，再证△EFC△DEC，可求FC＝1，进而解答即可．【详解】（1）证明：如题图1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP△BPC，，∴ADBC=APBP，（2）结论仍然成立，理由如下，，又，，，设，，，，∴ADBC=APBP，（3），，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，,，，，．【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．12．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．【答案】【探究】3；【拓展】4或．【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】探究：证明：∵是的外角，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；当PC=PE时，△ACP≌△BPE，则PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4；当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，∵△ACP∽△BPE，∴，即，解得：，∴AP=ABPB=，综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．13．如图，在矩形中，是上一点，于点，设．（1）若，求证：；（2）若，且在同一直线上时，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据矩形的性质可得，，再根据已知条件，即可证明≌，则，进而通过线段的和差关系求得；（2）由勾股定理求得的长度，再由的面积求得的长度，则可用勾股定理求得的长度，则可得的长度，再由≌，求得的长度，在中，根据勾股定理即可求得，即可求得的值．【详解】（1）∵，∴，∴，又∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴在和中，∴≌，∴，∵，∴，∴；（2）如图，三点共线，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴在和中，，∴∽，∴，即∴，∴，∴．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理、三角形面积、相似比等，解答本题的关键是熟练掌握运用以上知识点，利用勾股定理求解线段的长．14．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，点E是边BC上一个动点（不与点B、C重合），AE的垂线AF交CD的延长线于点F，点G在线段EF上，满足FG∶GE＝1∶2，设BE＝x．（1）求证：；（2）当点G在△ADF的内部时，用x的代数式表示∠ADG的余切；（3）当∠FGD＝∠AFE时，求线段BE的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【分析】（1）根据题意可证明∠DAF＝∠BAE，又由于∠ABE＝∠ADF＝90°，即证明△ADF∽△ABE，所以．（2）作GH⊥CF于H，根据题意可求出DF＝3BE＝3x，根据平行线分线段成比例得出，即可列出关于x的等式，从而得出GH和FH的长，即可求出HD的长，cot∠ADG＝cot∠DGH＝，即可求出结果．（3）作EM//GD交DC于点M，即可知，可求出DM，从而求出CM，根据图形可证明△ABE∽△ECM，即可得到，即列出关于x的方程，解出x即可．【详解】（1）如图，因为AF⊥AE，∴∠EAF＝∠BAD＝∠ADF＝90°．∵同角的余角相等，∴∠DAF＝∠BAE．∵∠ABE＝∠ADF＝90°．∴△ADF∽△ABE．∴．（2）由，得DF＝3BE＝3x．如图，作GH⊥CF于H，那么GH//BC//AD．根据题意结合平行线分线段成比例得：．∵，，∴．即GH＝，FH＝．

在Rt△GHD中，HD＝DF－FH＝＝＝，∵∠ADG＝∠DGH，∴cot∠ADG＝cot∠DGH＝＝=．（3）当点G在△ADF内部时，很明显∠FGD和∠AFE不相等．所以点G在△ADF外部．如图，作EM//GD交DC于点M，那么．∴DM＝6x，∴MC＝1－6x．如果∠FGD＝∠AFE，那么AF//GD//EM．∴∠AEM＋∠EAF＝180°．∴∠AEM＝90°．∴△ABE∽△ECM．∴．即．整理，得x2－9x＋1＝0．解得，（不符合题意，舍去）．所以BE＝．【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，矩形，余角，平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键．15．如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°．（1）求证：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证；（2）先利用勾股定理求出PC的长，从而可得BP的长，再利用相似三角形的性质即可得．【详解】（1），，，在和中，，；（2）在中，，，，，由（1）已证：，，即，解得．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．16．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M，若∠AFG＝∠ACD．（1）求证：①△MFC∽△MCA；②若AB＝5，AC＝8，求的值．（2）若DM＝CM＝2，AD＝3，请直接写出EF长．【答案】（1）①见解析；②＝；（2）EF＝．【分析】（1）①根据两角对应相等两三角形相似，证明即可．②证明△AEF∽△ABC，推出＝，推出＝，推出△FAC∽△EAB，可得结论．（2）利用勾股定理求出AM，AC，由MFC∽△MCA，推出＝，求出MF，AF，由△AEF∽△ABC，推出＝，可得结论．【详解】（1）①证明：∵∠AFG＝∠ACD，∴∠FCA+∠FAC＝∠FCA+∠MCF，∴∠FAC＝∠MCF，∵∠FMC＝∠CMA，∴△MFC∽△MCA．②解：∵四边形AEFG，四边形ABCD都是矩形，∴FG∥AE，CD∥AB，∴∠AFG＝∠FAE，∠ACD＝∠CAB，∵∠AFG＝∠ACD，∴∠FAE＝∠CAB，∵∠AEF＝∠ABC＝90°，∴△AEF∽△ABC，∴＝，∴＝，∵∠FAE＝∠CAB，∴∠FAC＝∠EAB，∴△FAC∽△EAB，∴＝＝．（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD＝BC＝3，∵DM＝MC＝2，AD＝3，∴CD＝4，AM＝＝＝，AC＝＝＝5，∵△MFC∽△MCA，∴＝，∴FM＝＝，∴AF＝AM﹣FM＝，∵△AEF∽△ABC，∴＝，∴＝，∴EF＝．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．17．如图，在正方形中，点在上，交于点．（1）求证：；（2）连结，若，试确定点的位置并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）点E为AD的中点．理由见解析【分析】（1）根据同角的余角相等证明∠ABE=∠DEF，再由直角相等即可得出两三角形相似的条件；（2）根据相似三角形的对应边成比例，等量代换得出，即可得出DE=AE．【详解】（1）证明∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEB+∠ABE=90°，∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF=90°，∴∠ABE=∠DEF．在△ABE和△DEF中，∴△ABE∽△DEF；（2）∵△ABE∽△DEF，∴，∵△ABE∽△EBF，∴，∴，∴DE=AE，∴点E为AD的中点．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据等角的余角相等证出两角相等是解决（1）的关键，根据相似三角形的对应边成比例等量代换是解决（2）的关键．18．如图，正方形ABCD的边长等于，P是BC边上的一动点，∠APB、∠APC的角平分线PE、PF分别交AB、CD于E、F两点，连接EF．（1）求证：△BEP∽△CPF；（2）当∠PAB＝30°时，求△PEF的面积．【答案】（1）详见解析；（2）．【分析】（1）由于PE平分∠APB，PF平分∠APC，所以∠EPF＝90°，然后根据相似三角形的判定即可求证△BEP∽△CPF；（2）由题意可知∠BPE＝30°，∠FPC＝60°，根据含30度的直角三角形的性质即可求出答案．【详解】（1）∵PE平分∠APB，PF平分∠APC，∴∠APE＝∠APB，∠APF＝∠APC，∴∠APE+∠APF＝（∠APB+∠APC）＝90°，∴∠EPF＝90°，∴∠EPB+∠BEP＝∠EPB+∠FPC＝90°，∴∠BEP＝∠FPC，∵∠B＝∠C＝90°，∴△BEP∽△CPF；（2）∵∠PAB＝30°，∴∠BPA＝60°，∴∠BPE＝30°，在Rt△ABP中，∠PAB＝30°，AB＝，∴BP＝1，在Rt△BPE中，∠BPE＝30°，BP＝1，∴EP＝，∵CP＝﹣1，∠FPC＝60°，∴PF＝2CP＝2﹣2，∴△PEF的面积为：PE•PF＝2﹣．【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，本题属于中等题型．19．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作，交射线DC于点E，已知，．设AP的长为x．(1)___________；当时，_________；(2)试探究：否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当是等腰三角形时，请求出的值．【答案】(1),(2)为定值，(3)或【分析】（1）作于交于．由，推出，只要求出、即可解决问题；（2）结论：的值为定值．证明方法类似（1）；（3）分两种情形讨论求解即可解决问题；（1）解：作于交于．四边形是矩形，，，，．在中，，，，，，，，，，，，，故答案为4，．（2）结论：的值为定值．理由：由，可得．，，，，；（3）①当点在线段上时，连接交于．，所以只能，，，，，垂直平分线段，在中，，，，，．②当点在的延长线上时，设交于．，所以只能．，，，，，，，综上所述，的值为或4．【点睛】本题属于四边形综合题、考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．20．【推理】如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．（1）求证：．【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长．【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）．【答案】（1）见解析；（2）；（3）或【分析】（1）根据ASA证明；（2）由（1）得，由折叠得，进一步证明，由勾股定理得，代入相关数据求解即可；（3）如图，连结HE，分点H在D点左边和点在点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出DE的长，再由勾股定理得，代入相关数据求解即可．【详解】（1）如图，由折叠得到，，．又四边形ABCD是正方形，，，，又正方形，．（2）如图，连接，由（1）得，，由折叠得，