专项30相似三角形-8字型(2种类型)(原卷版+解析)

专项30相似三角形-8字型（2种类型）基本模型：若BC∥DE，则▲ABC~▲ADE，若∠1=∠2，则▲ABC~▲ADE【类型1：8字型】1．地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定一个目标点O，再在他们所在的这一侧选取点A，B，D，使得AB⊥AO，DB⊥AB，然后找到DO和AB的交点C，如图所示，测得AC＝16m，BC＝8m，DB＝7m，则可计算出河宽AO为（）A．16m B．15m C．14m D．13m2．如图，在菱形ABCD中，EF⊥AC于点H，分别交AD于点E，CB的延长线于点F，且AE：FB＝1：3．则GB：CD的值为（）A． B． C． D．3．如图，点E在菱形ABCD的边CD的延长线上，连接BE交AD于点F，则下列式子一定正确的是（）A． B． C． D．4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE：ED＝1：2，BE与AC相交点F，则的值为（）A． B． C． D．5．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，E为AB的中点，CE交BD于点F，且∠ADB＝∠BCE，则BF的长为（）A． B． C． D．6．如图，图图制作了一个小孔成像的装置，其中纸筒的长度为15cm，蜡烛长为20cm，想要得到高度为5cm的像，则蜡烛应放在距离纸筒点O处cm的地方．7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC＝2AD，那么S△AOD：S△BOC的值为．8．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E在边AD上，BE交AC于点M．（1）求证：△AEM∽△CBM．（2）已知AB＝4，AE＝3，DE＝5．①BM的长为．②tan∠EBD的值为．9．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AE，BF交于点P．（1）求证：AP＝4PE．（2）若∠BPE＝∠BFD，且AD＝8，求四边形PFCE的面积．【类型2：反8字型】10．如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（）A．EF•BF＝DF•CF B．BE•CD＝BF•CF C．AE•AB＝AD•AC D．AE•BE＝AD•DC11．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E，F分别在CD，AD边上，且△BCE与△BFE关于直线BE对称．点G在AB边上，GC分别与BF，BE交于P，Q两点．若＝，CE＝CQ，则＝（）A． B． C． D．12．如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延长线于点E．（1）求证：△ABM∽△MCF；（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积．13．如图，以AB为直径的⊙O是△ACD的外接圆，连接OC，OD，AC＝CD，AB交CD于点E，PB与⊙O相切于点B．（1）求证：∠P＝∠PAD；（2）若⊙O的半径为3，OE＝2，求CE的长．14．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方抛物线上取一点P，过点P作PQ⊥x轴交BC边于点Q，求PQ的最大值；（3）在直线BC上方抛物线上取一点D，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．15.如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD于点G，连结CF．（1）求证：AF＝CF；（2）求证：AF2＝EF•GF；（3）若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，求FG的长．16．如图，AB是⊙O的直径，△BCD是⊙O的内接三角形，BC＝DC，AB与CD交于点E，过点C作CF∥BD交DA的延长线于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为5，BD＝8，求线段AE的长．专项30相似三角形-8字型（2种类型）基本模型：若BC∥DE，则▲ABC~▲ADE，若∠1=∠2，则▲ABC~▲ADE【类型1：8字型】1．地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定一个目标点O，再在他们所在的这一侧选取点A，B，D，使得AB⊥AO，DB⊥AB，然后找到DO和AB的交点C，如图所示，测得AC＝16m，BC＝8m，DB＝7m，则可计算出河宽AO为（）A．16m B．15m C．14m D．13m【答案】C【解答】解：∵∠OCA＝∠DCB，∠A＝∠B＝90°，∴△OCA∽△DCB．∴＝．∴OA＝＝＝14（m）．即这条河的宽为14m．故选：C．2．如图，在菱形ABCD中，EF⊥AC于点H，分别交AD于点E，CB的延长线于点F，且AE：FB＝1：3．则GB：CD的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AE∥BF，∴∠EAB＝∠ABF，∠AEF＝∠F，∴△EAG∽△FBG，∴＝＝，∴＝，∴＝，故选：D．3．如图，点E在菱形ABCD的边CD的延长线上，连接BE交AD于点F，则下列式子一定正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD，AB∥CD，AD∥BC，A、∵AD∥BC，∴＝，故A不符合题意；B、∵AB∥CD，∴∠A＝∠ADE，∠ABF＝∠E，∴△BAF∽△EDF，∴＝，故B不符合题意；C、∵＝，AB＝AD，∴＝，故C符合题意；D、∵AD∥BC，∴＝，故D不符合题意；故选：C．4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE：ED＝1：2，BE与AC相交点F，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，OA＝OC，∴△AEF∽△CBF，∴，∵AE：ED＝1：2，∴AE：AD＝1：3，∴，∴AF：CF＝1：3，∵OA＝OC，∴，故选：B．5．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，E为AB的中点，CE交BD于点F，且∠ADB＝∠BCE，则BF的长为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，AD∥BC，∴∠ADB＝∠FBC，∵∠ADB＝∠BCE，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，∵E为AB的中点，∴BE＝AB＝1，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠FDC，∠BEF＝∠DCE，∴△BEF∽△DCF，∴＝，∴FC＝2EF，∴FB＝2EF，设EF＝x，则BF＝FC＝2x，∴EC＝EF+CF＝3x，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，∴∠ABD＝∠BCE，∵∠BEF＝∠BEF，∴△BEF∽△CEB，∴，∴BE2＝EF•EC，∴12＝x•3x，∴或x＝﹣（舍去），∴BF＝2x＝，故选：B．6．如图，图图制作了一个小孔成像的装置，其中纸筒的长度为15cm，蜡烛长为20cm，想要得到高度为5cm的像，则蜡烛应放在距离纸筒点O处cm的地方．【答案】60【解答】解：如图，AB＝20cm，OF＝15cm，CD＝5cm，∵AB∥CD，EF⊥AB∴EF⊥CD，∴△OAB∽△ODC，∴＝，即＝，解得OE＝60cm．故答案为：60．7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC＝2AD，那么S△AOD：S△BOC的值为．【答案】1：4【解答】解：∵BC＝2AD，∴＝，∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠OBC，∠DAO＝∠OCB，∴△AOD∽△COB，∴S△AOD：S△BOC＝1：4，故答案为：1：4．8．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E在边AD上，BE交AC于点M．（1）求证：△AEM∽△CBM．（2）已知AB＝4，AE＝3，DE＝5．①BM的长为．②tan∠EBD的值为．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAM＝∠ACB，∠AEM＝∠EBC，∴△AEM∽△CBM；（2）①解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC，∵AE＝3，DE＝5，∴AD＝BC＝AE+DE＝8，∵AB＝4，∴BE＝＝＝5，∵△AEM∽△CBM，∴＝＝，∴BM＝BE＝×5＝；②∵DE＝BE＝5，∴∠EDB＝∠EBD，在Rt△ADB中，tan∠EDB＝＝＝，∴tan∠EBD＝；故答案为：①；②．9．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AE，BF交于点P．（1）求证：AP＝4PE．（2）若∠BPE＝∠BFD，且AD＝8，求四边形PFCE的面积．【解答】（1）证明：如图：取BF的中点G，连接EG，∵E是BC的中点，∴EG是△BCF的中位线，∴EG∥CD，FC＝2GE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE＝90°，AB∥CD，AD＝BC，AB＝CD，∴EG∥AB，∵F是CD的中点，∴CD＝2CF，∴AB＝CD＝2FC＝4GE，∵EG∥AB，∴∠BAE＝∠AEG，∠ABP＝∠BGE，∴△ABP∽△EGP，∴＝＝，∴AP＝4PE；（2）解：∵∠BPE＝∠BFD，∠BFD+∠2＝180°，∠BPE+∠1＝180°，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB＝AP＝4PE，设PE＝a，则AB＝AP＝4a，AE＝AP+PE＝5a，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝＝3a，∵点E是BC的中点，∴BC＝2BE＝6a，∴AD＝BC＝2BE＝6a，∵AD＝8，∴6a＝8，∴，∴，∵F是CD的中点，∴CF＝CD＝2a，∴S△BCF＝＝＝6a2＝．∴S△ABE＝S△BCF，∴S△ABE＝﹣S△BPE＝S△BCF﹣S△BPE，∴S四边形PFCE＝S△ABP，∵AP＝4PE，∴，∴四边形PFCE的面积为．【类型2：反8字型】10．如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（）A．EF•BF＝DF•CF B．BE•CD＝BF•CF C．AE•AB＝AD•AC D．AE•BE＝AD•DC【答案】C【解答】解：∵∠BEC＝∠CDB，∠EFB＝∠DFC，∴△EFB∽△DFC，∴＝，∴EF•FC＝DF•FB，故A不符合题意：∵△EFB∽△DFC，∴＝，∴BE•CF＝CD•BF，故B不符合题意；∵∠BEC＝∠CDB，∠BEC+∠AEC＝180°，∠BDC+∠ADB＝180°，∴∠AEC＝∠ADB，∴△ABD∽△ACE，∴＝，∴AB•AE＝AD•AC，故C符合题意；因为：AE，BE，AD，CD组不成三角形，也不存在比例关系，故D不符合题意；故选：C．11．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E，F分别在CD，AD边上，且△BCE与△BFE关于直线BE对称．点G在AB边上，GC分别与BF，BE交于P，Q两点．若＝，CE＝CQ，则＝（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：连接FQ，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAF＝90°，BC＝AD，∵＝，∴设AB＝4a，BC＝5a，∵△BCE与△BFE关于直线BE对称，∴BF＝BC＝5a，CQ＝FQ，CE＝FE，∴AF＝＝＝3a，∴DF＝AD﹣AF＝5a﹣3a＝2a，∵CQ＝CE，∴CQ＝FQ＝FE＝CE，∴四边形CQFE是菱形，∴FQ∥CE，∴AB∥FQ∥CE，∴＝＝＝，∴设CQ＝2k，GQ＝3k，∵CQ＝CE，∴∠CQE＝∠CEQ，∵AB∥CD，∴∠ABQ＝∠CEQ，∵∠CQE＝∠GQB，∴∠GBQ＝∠GQB，∴BG＝QG，∵AB∥FQ，∴∠ABF＝∠BFQ，∠BGQ＝∠ECQ，∴△GBP∽△QFP，∴＝＝＝，∴GP＝GQ＝k，∴＝＝，故选：D．12．如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延长线于点E．（1）求证：△ABM∽△MCF；（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，BC∥AD，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∵ME⊥AM，∴∠AME＝90°，∴∠AMB+∠FMC＝90°，∴∠BAM＝∠FMC，∴△ABM∽△MCF；（2）解：∵AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4，∵BM＝2，∴MC＝BC﹣BM＝4﹣2＝2，由（1）得：△ABM∽△MCF，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴DF＝CD﹣CF＝4﹣1＝3，∵BC∥AD，∴∠EDF＝∠MCF，∠E＝∠EMC，∴△DEF∽△CMF，∴＝，∴＝，∴DE＝6，∴△DEF的面积＝DE•DF＝×6×3＝9，答：△DEF的面积为9．13．如图，以AB为直径的⊙O是△ACD的外接圆，连接OC，OD，AC＝CD，AB交CD于点E，PB与⊙O相切于点B．（1）求证：∠P＝∠PAD；（2）若⊙O的半径为3，OE＝2，求CE的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC+∠ADC＝90°，∵PB与⊙O相切于点B，∴∠ABP＝90°，∴∠P+∠BAP＝90°，∵∠BAP＝∠BDC，∴∠P＝∠ADC，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC，∴∠P＝∠PAD；（2）解：∵AC＝CD，OC＝OC，OA＝OD，∴△AOC≌△DOC（SSS），∴∠ACO＝∠DCO，∠CAO＝∠CDO，∵OA＝OC，OC＝OD，∴∠ACO＝∠CAO，∠OCD＝∠ODC，∴∠ACO＝∠CAO＝∠OCD＝∠ODC，∵∠CAO＝∠CDB，∴∠OCD＝∠BDC，∴OC∥BD，∴，∴，∴，∵∠AEC＝∠DEB，∴△AEC∽△DEB，∴，∴，∴CE⋅DE＝5，∴，∴CE＝或CE＝﹣（舍去），∴CE的长为．14．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方抛物线上取一点P，过点P作PQ⊥x轴交BC边于点Q，求PQ的最大值；（3）在直线BC上方抛物线上取一点D，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3中可得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为：y＝kx+m，把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+m中可得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，设P点坐标为（x，﹣x2+2x+3），则Q点坐标为（x，﹣x+3），∴PQ＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，∴PQ的最大值是；（3）∵S△COF：S△CDF＝3：2，∴OF：DF＝3：2，过点D作DG∥y轴交BC于点G，∴∠OCF＝∠CGD，∠COF＝∠ODG，∴△COF∽△GDF，∴＝，∵OC＝3，∴DG＝2，设点D坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点G坐标为（m，﹣m+3），∴DG＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴﹣m2+3m＝2，解得：m1＝1，m2＝2，∴点D的坐标为（1，4）或（2，3）．15.如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD于点G，连结CF．（1）求证：AF＝CF；（2）求证：AF2＝EF•GF；（3）若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，求FG的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，∵