专题06勾股定理的证明(原卷版+解析)

专题06勾股定理的证明知识导航知识导航必备知识点1．勾股定理的性质定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（即：在Rt△ABC中，如果a，b为直角边，c为斜边，那么。）勾股定理的变式：、、、勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．题型精炼题型精炼1．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠ABC＝90°，AC＝13cm，AB＝5cm，则阴影部分的面积是（）cm2．A．169 B．25 C．49 D．642．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148 B．100 C．196 D．1443．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a、b，且a2+b2＝ab+10，那么小正方形的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．54．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若AE＝3，BF＝2，则正方形DECF的边长等于（）A． B．1 C． D．5．同学们都学习过“赵爽弦图”，如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两直角边的乘积为（）A．1 B．2 C． D．6．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．现分别在DG，BE上取点N，M（如图2），使得DN＝BM＝EF，连接AM，CM，AN，CN．记△ADN的面积为S1，△AMB的面积为S2，若正方形ABCD的面积为，且NF+DF＝5，则S2﹣S1的值为（）A．1 B．2 C． D．38．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．连结AG并延长交BC于点M．若＝，则的值为（）A． B． C． D．9．意大利著名画家达•芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是（）A．S1＝a2+b2+2ab B．S1＝a2+b2+ab C．S2＝c2 D．S2＝c2+ab10．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．11．如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列三个结论：①x2+y2＝25；②x﹣y＝1；③xy＝12．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）12．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾AE＝6，弦AD＝10，则小正方形EFGH的面积是．13．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为25，每个直角三角形两直角边的和为7，则中间小正方形的边长．14．如图1是三国时期的数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”．将图2的矩形分割成四个全等三角形和一个正方形，恰好能拼成这样一个“勾股圆方图”，则该矩形与拼成的正方形的周长之比为．15．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，如果S1+S2+S3＝48，那么S2的值是.16．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容．把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上，利用此图的面积表示式证明勾股定理．（1）请结合图①，写出完整的证明过程；（2）如图②，等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，AB＝2，P是射线BC上一点，以AP为直角边在AP边的右侧作△APD，使∠APD＝90°，AP＝PD．过点D，作DE⊥BC于点E，当DE＝4时，则BD＝．17．如图，小明用4个图1中的矩形组成图2，其中四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，证明：a2+b2＝c2．18．如图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为a、b（b＞a），斜边为c，中间是正方形，请你利用这个图来验证勾股定理．19．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．（提示：BD和AC都可以分割四边形ABCD）20．我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．下面是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形．（1）此图可以用来证明你学过的什么定理？请写出定理的内容；（2）已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c，图1、图2的面积相等，请你根据此图证明（1）中的定理．专题06勾股定理的证明知识导航知识导航必备知识点1．勾股定理的性质定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（即：在Rt△ABC中，如果a，b为直角边，c为斜边，那么。）勾股定理的变式：、、、勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．题型精炼题型精炼1．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠ABC＝90°，AC＝13cm，AB＝5cm，则阴影部分的面积是（）cm2．A．169 B．25 C．49 D．64【分析】由勾股定理求出BC的长，则可得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝＝＝12（cm），∴阴影部分正方形的边长为12﹣5＝7（cm），∴阴影部分正方形的面积为7×7＝49（cm2），故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148 B．100 C．196 D．144【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴这个风车的外围周长是37×4＝148．故选：A．【点评】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．3．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a、b，且a2+b2＝ab+10，那么小正方形的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由正方形1性质和勾股定理得a2+b2＝18，再由a2+b2＝ab+10，得ab+10＝18，则ab＝8，即可解决问题．【解答】解：设大正方形的边长为c，∵大正方形的面积是18，∴c2＝18，∴a2+b2＝c2＝18，∵a2+b2＝ab+10，∴ab+10＝18，∴ab＝8，∴小正方形的面积＝（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab＝18﹣2×8＝2，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及完全平方公式等知识，求出ab＝8是解题的关键．4．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若AE＝3，BF＝2，则正方形DECF的边长等于（）A． B．1 C． D．【分析】设正方形DECF的边长为x，则CF＝CE＝x，根据全等三角形的性质得到AG＝AE，BF＝BG，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：设正方形DECF的边长为x，则CF＝CE＝x，∵△AGD≌△AED，△BDF≌△BDG，∴AG＝AE，BF＝BG，∴AB＝AG+BG＝3+2＝5，∵AC2+BC2＝AB2，∴（3+x）2+（2+x）2＝52，∴x1＝﹣6（舍去），x2＝1，∴正方形DECF的边长等于1．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5．同学们都学习过“赵爽弦图”，如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两直角边的乘积为（）A．1 B．2 C． D．【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到a2+b2的值，由已知条件得到ab的值即可．【解答】解：如图，设两直角边为a，b，∵大正方形的面积为5，∴a2+b2＝5，由题意4×ab+1＝5，∴2ab＝4，∴ab＝2，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．6．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．【解答】解：A、∵ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×ab+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×ab+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．现分别在DG，BE上取点N，M（如图2），使得DN＝BM＝EF，连接AM，CM，AN，CN．记△ADN的面积为S1，△AMB的面积为S2，若正方形ABCD的面积为，且NF+DF＝5，则S2﹣S1的值为（）A．1 B．2 C． D．3【分析】如图2中，设DN＝BM＝EF＝a，NG＝EM＝b，构建方程组求出a2，即可解决问题．【解答】解：如图2中，设DN＝BM＝EF＝a，NG＝EM＝b，则有，解得a2＝2，∵S2﹣S1＝•a•（2a+b）﹣•a•（a+b）＝a2＝1，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理、弦图，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题，属于中考选择题中的压轴题．8．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．连结AG并延长交BC于点M．若＝，则的值为（）A． B． C． D．【分析】解：设AE＝1，由＝，可得BE＝3，所以EF＝BE﹣BF＝2，由勾股定理得AB＝，然后证明△AER∽△GFR，△AEN∽△AHD，△ARN∽△MRB，进而可以解决问题．【解答】解：如图，延长BE交AD于点N，设BE与AM交于点R，设AE＝1，∵＝，∴BE＝3，∴EF＝BE﹣BF＝2，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB＝＝＝，∵四个全等的直角三角形，∴AE＝DH＝CG＝BF＝1，∴FG＝EF＝2，∵AE∥FG，∴△AER∽△GFR，∴＝＝，∴ER＝FR，∴ER＝EF＝，FR＝2ER＝，∵BN∥DG，∴△AEN∽△AHD，∴＝＝，∴NE＝DH＝，∴BN＝BE+NE＝3+＝，∴AN＝＝＝，∵AN∥BM，∴△ARN∽△MRB，∴＝＝＝＝，∴BM＝AN＝，∴CM＝BC﹣BM＝AB﹣BM＝﹣＝，∴＝×＝．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的证明，数学常识，相似三角形的判定与性质，勾股定理，图形的全等，解决本题的关键是得到△AER∽△GFR．9．意大利著名画家达•芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是（）A．S1＝a2+b2+2ab B．S1＝a2+b2+ab C．S2＝c2 D．S2＝c2+ab【分析】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题．【解答】解：观察图象可知：S1＝S2＝a2+b2+ab＝c2+ab，故选：B．【点评】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．10．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．【解答】解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．11．如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列三个结论：①x2+y2＝25；②x﹣y＝1；③xy＝12．其中正确的是①②③．（写出所有正确结论的序号）【分析】分别求出小正方形及大正方形的边长，然后根据面积关系得出x与y的关系式，依次判断所给关系式即可．【解答】解：由题意可得小正方形的边长＝1，大正方形的边长＝5，∴x2+y2＝斜边2＝大正方形的面积＝25，故①正确；∵小正方形的边长为1，∴x﹣y＝1，故②正确；∵小正方形的面积+四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，∴1+2xy＝25，∴xy＝12，故③正确；根综上可得①②③正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质及直角三角形的知识，根据所给图形，利用面积关系判断a与b的关系是解答本题的关键．12．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾AE＝6，弦AD＝10，则小正方形EFGH的面积是4．【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．【解答】解：如图，∵勾AE＝6，弦AD＝弦AB＝10，∴股BE＝＝8，∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，∴小正方形的面积＝22＝4．故答案是：4．【点评】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想．13．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为25，每个直角三角形两直角边的和为7，则中间小正方形的边长1．【分析】可以设直角三角形的直角边中长边为a，短边为b，根据大正方形面积为25和a+b＝7列出方程组，解方程组即可解题．【解答】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则，解得，∴小正方形的边长为4﹣3＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了勾股定理的证明，正方形各边长相等的性质，正确列出方程组并且求解是解题的关键．14．如图1是三国时期的数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”．将图2的矩形分割成四个全等三角形和一个正方形，恰好能拼成这样一个“勾股圆方图”，则该矩形与拼成的正方形的周长之比为（或）．【分析】设图2的矩形分割成四个全等三角形的两直角边为a、b（a＞b），由图1与图2的两个小正方形相同，得出a与b的关系，再求出矩形的边长和大正方形的边长，应用周长公式求得其周长，最后便可求得其比值．【解答】解：设图2的矩形分割成四个全等三角形的两直角边为a、b（a＞b），则大正方形的边长为，小正方形的边长为a﹣b，矩形的长为2a+a﹣b＝3a﹣b，宽为b，∴矩形的周长为：2（3a﹣b+b）＝6a，由图2知，中间小正方形的边长为b，∴a﹣b＝b，∴a＝2b，∴大正方形的周长为4＝4＝4b＝2a，∴该矩形与拼成的正方形的周长之比：，故答案为：（或）．【点评】本题主要考查了三角形的勾股定理，矩形的性质，正方形的性质，关键是根据图形求得全等直角三角形的两直角边与矩形和大正方形的边长的关系．15．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，如果S1+S2+S3＝48，那么S2的值是16.【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解．【解答】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，由题意可知：S1＝（a+b）2，S2＝a2+b2，S3＝（a﹣b）2，因为S1+S2+S3＝48，即（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝48，∴3（a2+b2）＝48，∴3S2＝48，∴S2的值是16．方法二：由题意可得S1﹣S2＝S2﹣S3，∴S1+S3＝2S2，∵S1+S2+S3＝48，∴S2＝16，故答案为16．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．16．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容．把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上，利用此图的面积表示式证明勾股定理．（1）请结合图①，写出完整的证明过程；（2）如图②，等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，AB＝2，P是射线BC上一点，以AP为直角边在AP边的右侧作△APD，使∠APD＝90°，AP＝PD．过点D，作DE⊥BC于点E，当DE＝4时，则BD＝4．【分析】（1）先证△BEC是等腰直角三角形，由面积和差关系可得结论；（2）由等腰直角三角形的性质可求AH＝BH＝HC＝2，由“AAS”可证△APH≌△PDE，可得DE＝PH＝4，AH＝PE＝2，由勾股定理可求解．【解答】（1）证明：∵△ABE≌△DEC，∴∠ABE＝∠DEC，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∴∠BEC＝90°，∴△BEC是等腰直角三角形，∴S△BEC＝，∵S△BEC＝S梯形ABCD﹣2S△ABE，∴＝﹣2×∴c2＝a2+b2．（2）解：如图②，过点A作AH⊥BC于H，∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝2，∴AH＝BH＝CH＝2，∵∠APH+∠PAH＝90°＝∠APH+∠DPE，∴∠PAH＝∠DPE，在△APH和△PDE中，，∴△APH≌△PDE（AAS），∴DE＝PH＝4，AH＝PE＝2，∴BE＝BH+HP+PE＝8，∴BD＝＝＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．17．如图，小明用4个图1中的矩形组成图2，其中四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，证明：a2+b2＝c2．【分析】由题意可得：S正方形ABCD＝（a+b）2，S正方形EFGH＝c2，S△BEF＝×ab，再根据S正方形ABCD＝S正方形EFGH+4S△BEF，即可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，∴S正方形ABCD＝（a+b）2，S正方形EFGH＝c2，S△BEF＝×ab，∵S正方形ABCD＝S正方形EFGH+4S△