期末考前基础练练练-圆(55题)(原卷版+解析)

期末考前基础练练练-圆一．圆的认识（共2小题）1．已知⊙O中最长的弦为10，则⊙O的半径是（）A．10 B．20 C．5 D．152．下列说法，其中正确的有（）①过圆心的线段是直径②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形③大于半圆的弧叫做劣弧④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．垂径定理（共3小题）3．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则OD的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm4．如图，AB，CD是⊙O的两条平行弦，且AB＝4，CD＝6，AB，CD之间的距离为5，则⊙O的直径是（）A． B．2 C．8 D．105．（1）解方程：x2﹣4x＝0．（2）如图，已知弓形的弦长AB＝8，弓高CD＝2（CD⊥AB并经过圆心O）．求弓形所在⊙O的半径r的长．三．圆心角、弧、弦的关系（共3小题）6．如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝23°，试求∠EOB的度数．7．如图，AB是⊙O直径，，连接CD，过点D作射线CB的垂线，垂足为点G，交AB的延长线于点F．（1）求证：AE＝EF；（2）若CD＝EF＝10，求BG的长．8．如图．在四边形ABCF中．FA⊥AB．BC⊥AB．ʘO经过点A，B，C，分别交边AF．FC于点D，E．且E是的中点．（1）求证：E是FC的中点．（2）连结AE，当AB＝6．AE＝5时，求AF的长．四．圆周角定理（共3小题）9．如图，已知AB是半圆O的直径，点C和点D是半圆上的两点，且OD∥BC．求证：AD＝CD．10．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AD．（1）若＝104°，求∠BAD的度数．（2）点G是上任意一点，连结GA，GD求证：∠AGD＝∠ADC．11．如图，C是的中点，∠AOC＝4∠B，OC＝4．（1）求∠A的度数；（2）求线段AB的长度．五．圆内接四边形的性质（共3小题）12．如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．（1）求证∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使CE＝AB，连接BD，ED．（1）求证：BD＝ED．（2）若∠ABC＝60°，AD＝5，则⊙O的直径长为10．14．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC＝30°．（1）求∠BOC的度数；（2）求∠ACB的度数；六．点与圆的位置关系（共2小题）15．已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（）A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D．6cm16．平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．（1）在图中清晰标出点P的位置；（2）点P的坐标是，⊙P的半径是．七．确定圆的条件（共2小题）17．下列语句中正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③三点确定一个圆；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个18．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）．八．三角形的外接圆与外心（共4小题）19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝30°，则∠A的大小为（）A．30° B．60° C．80° D．120°20．如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，⊙O的半径为5，∠A＝60°，求弦BC的长．21．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AB＝4，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，连接AD、BD．（1）若∠CAB＝25°，求∠AED的度数；（2）求AD的长．22．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D，连接BD．求证：DB＝DE．九．直线与圆的位置关系（共3小题）23．如图，已知∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，试判断半径为3的圆与OA的位置关系，并说明理由．24．如图，AB是⊙O的直径，AN、AC是⊙O的弦，P为AB延长线上一点，AN、PC的延长线相交于点M，且AM⊥PM，∠PCB＝∠PAC．（1）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝10，∠P＝30°，求MN的长．25．如图，在△ABC中，BD＝DC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：AB＝AC；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．一十．切线的性质（共3小题）26．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（）A．4 B．3 C．2 D．227．如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA、OB．（1）求证：AB平分∠OAD；（2）点E是⊙O上一动点，且不与点A、B重合，连接AE、BE，若∠AOB＝100°，求∠AEB的度数．28．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，AC是直径．（1）连接BC，OP，求证：OP∥BC；（2）若OP与AB交于点D，OD：DP＝1：4，AD＝2，求直径AC的长．一十一．切线的判定（共3小题）29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为点E．（1）若⊙O的半径为，AC＝5，求BN的长；（2）求证：NE是⊙O的切线．30．如图，以△ABC的边BC的长为直径作⊙O，交AC于点D，若∠A＝∠DBC，求证：AB是⊙O的切线．31．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠ADB＝∠BDC＝60°，过点A作AE∥BC交CD延长线于点E．（1）求∠ABC的大小；（2）证明：AE是⊙O的切线．一十二．切线的判定与性质（共2小题）32．如图，AB是半圆O的直径，D为BC的中点，延长OD交于点E，点F为OD的延长线上一点且满足∠B＝∠F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AB＝4，∠B＝30°，连接AD，求AD的长．33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，DE＝1，求CD的长．一十三．切线长定理（共3小题）34．如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（）A．9 B．7 C．11 D．835．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD＝6，则CB长（）A．4 B．5 C．6 D．无法确定36．如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．C是弧AB上任意一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA和PB于D，E两点，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周长．一十四．三角形的内切圆与内心（共2小题）37．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝BD＝2，EC＝3，则△ABC的周长为（）A．10 B．12 C．14 D．1638．如图，点I为等边△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为（）A．2 B．3 C．4 D．一十五．正多边形和圆（共5小题）39．如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（）A．1 B． C．2 D．440．如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的度数是（）A．110° B．120° C．118° D．122°41．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CMD的大小为（）A．60° B．45° C．30° D．15°42．如图，正方形ABCD内接于⊙O，＝，求证：BM＝CM．43．如图，已知⊙O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距r6、面积S6．一十六．弧长的计算（共2小题）44．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D．（1）求证：AD＝3BD；（2）求的长．（结果保留π）45．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，求弧CD的长．一十七．扇形面积的计算（共4小题）46．如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角∠AOB＝120°，半径为6m，求该扇形的弧长与面积．（结果保留π）47．如图所示，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于点G．（1）求证：＝；（2）若∠C＝120°，BG＝4，求阴影部分弓形的面积．48．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2．（1）求OE和CD的长；（2）求图中两阴影部分的面积各是多少？49．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E．（1）若＝．求证：AB＝AC；（2）若D、E为半圆的三等分点，且半径为2，图中阴影部分的面积是π﹣．（结果保留π和根号）一十八．圆锥的计算（共6小题）50．如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（）A．1 B．3 C．2 D．651．如图，圆锥母线长l＝8，底面圆半径r＝2，则圆锥侧面展开图的圆心角θ是（）A．60° B．90° C．120° D．150°52．若圆锥的底面半径为1cm，侧面展开图的面积为2πcm2，则圆锥的母线长为（）A．2cm B． C．πcm D．3cm53．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm54．如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC．（1）求剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径；（2）若用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥形铁帽，求此圆锥形铁帽的底面圆的半径r．55．在一块大铁皮上裁剪如图所示圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm，母线为50cm，求裁剪的面积．期末考前基础练练练-圆一．圆的认识（共2小题）1．已知⊙O中最长的弦为10，则⊙O的半径是（）A．10 B．20 C．5 D．15【分析】根据圆的直径为圆中最长的弦求解．【解答】解：∵最长的弦长为10，∴⊙O的直径为10，∴⊙O的半径为5．故选：C．【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．2．下列说法，其中正确的有（）①过圆心的线段是直径②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形③大于半圆的弧叫做劣弧④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据圆的有关概念进项分析即可．【解答】解：①过圆心的弦是直径，故该项错误；②由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条半径组成的图形叫做扇形，故该项正确；③小于半圆的弧叫做劣弧，故该项错误；④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆，故该项正确．故选：B．【点评】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的相关概念是解题的关键．二．垂径定理（共3小题）3．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则OD的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】连接OA，先由垂径定理得AD＝BD＝AB＝8cm，再由勾股定理求出OD的长即可．【解答】解：如图，连接OA，则OA＝10cm，∵OC⊥AB，AB＝16cm，∴∠ODA＝90°，AD＝BD＝AB＝8cm，在Rt△ODA中，由勾股定理得：OD＝＝＝6（cm），故选：D．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解此题的关键．4．如图，AB，CD是⊙O的两条平行弦，且AB＝4，CD＝6，AB，CD之间的距离为5，则⊙O的直径是（）A． B．2 C．8 D．10【分析】作OM⊥AB于M，延长MO交CD于N，连接OB，OD，由垂径定理，勾股定理即可求解．【解答】解：作OM⊥AB于M，延长MO交CD于N，连接OB，OD，设OM＝x，∴MB＝AB＝2，DN＝CD＝3，∵OB2＝OM2+MB2，∴OB2＝x2+22，∵OD2＝ON2+DN2，∴OD2＝（5﹣x）2+32，∵OB＝OD，∴x2+4＝（5﹣x）2+9，∴x＝3，∴OB2＝32+4＝13，∴OB＝，∴⊙O直径长是2，故选：B．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是作OM⊥AB于M，延长MO交CD于N，连接OB，OD构造直角三角形，以便应用垂径定理，勾股定理．5．（1）解方程：x2﹣4x＝0．（2）如图，已知弓形的弦长AB＝8，弓高CD＝2（CD⊥AB并经过圆心O）．求弓形所在⊙O的半径r的长．【分析】设⊙O的半径为r，根据垂径定理得到AD＝6，由于OD＝r﹣2，则利用勾股定理得到62+（r﹣2）2＝r2，然后解方程即可．【解答】（1）解：∵x（x﹣4）＝0，∴x＝0或x﹣4＝0，∴x1＝0，x2＝4；（2）解：设⊙O的半径为r，∵CD⊥AB并经过圆心O，∴AD＝BD＝AB＝×8＝4，OD＝OC﹣CD＝r﹣2，在Rt△OAD中，42+（r﹣2）2＝r2，解得r＝5，即⊙O的半径的长为5．【点评】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．三．圆心角、弧、弦的关系（共3小题）6．如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝23°，试求∠EOB的度数．【分析】利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解．【解答】解：∵CD＝OA＝OD，∠C＝23°，∴∠ODE＝2∠C＝46°，∵OD＝OE，∴∠E＝∠EDO＝46°，∴∠EOB＝∠C+∠E＝46°+23°＝69°．【点评】本题考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．7．如图，AB是⊙O直径，，连接CD，过点D作射线CB的垂线，垂足为点G，交AB的延长线于点F．（1）求证：AE＝EF；（2）若CD＝EF＝10，求BG的长．【分析】（1）连接AD，证明∠A＝∠F，再根据三线合一即可证明AE＝EF；（2）先求出DE＝CE＝5，由∠C的正切求出BE＝，从而得到BF的值，在Rt△BGF中即可求出答案．【解答】（1）证明：如图，连接AD，∵AB是直径，，∴AB⊥CD，∴∠C+∠CBE＝90°，∵CG⊥DF，∠F+∠FBG＝90°，又∵∠CBE＝∠FBG∴∠C＝∠F，∵，∴∠A＝∠C，∴∠A＝∠F，又∵AF⊥DE，∴AE＝EF；（2）解：∵CD＝EF＝10，AB⊥CD，∴DE＝CE＝EF＝5，∴tan∠F＝tan∠C＝，∴BE＝CE＝，∴BF＝EF﹣BE＝10﹣＝，∴BG＝．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系等圆的有关知识和三角函数，第（2）问解题的关键是求出BF的长．8．如图．在四边形ABCF中．FA⊥AB．BC⊥AB．ʘO经过点A，B，C，分别交边AF．FC于点D，E．且E是的中点．（1）求证：E是FC的中点．（2）连结AE，当AB＝6．AE＝5时，求AF的长．【分析】（1）连接AC，根据AC为圆O的直径，得到∠AEC为直角，根据E为弧CD的中点，得到弧相等，根据等弧对的圆周角相等，利用ASA得到三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（2）连接CD，利用面积法求出FC与AF比值，设FC，根据勾股定理求出x的值，即可求出AF的长．【解答】（1）证明：连接AC，∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴AC是圆O的直径，∴∠AEC＝90°，∴∠AEF＝180°﹣∠AEC＝90°＝∠AEC，∵E为的中点，∴＝，∴∠FAE＝∠CAE，在△AEC和△AEF中，，∴△AEC≌△AEF（ASA），∴EC＝EF，∴E为FC的中点；（2）连接CD，∵FA⊥AB，CB⊥AB，∴∠ADC＝∠AEC＝90°，∴四边形ADCB是矩形，∴CD＝AB＝6，∵S△AFC＝FC•AE＝AF•CD，∴5FC＝6AF，∴＝，设FC＝12x，则AF＝10x，∵E为FC的中点，∴FE＝FC＝6x，在Rt△AEF中，根据勾股定理得：AE2+EF2＝AF2，即52+（6x）2＝（10x）2，解得：x＝，∴AF＝10x＝．【点评】此题考查了弧、弦、圆心角的关系，矩形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，知识点较多，难度一般，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．四．圆周角定理（共3小题）9．如图，已知AB是半圆O的直径，点C和点D是半圆上的两点，且OD∥BC．求证：AD＝CD．【分析】利用直径所对的圆周角是90°，可得AC⊥BC，再利用OD∥BC，可得OD⊥AC，最后利用垂径定理即可求证．【解答】证明：∵AB是半圆O的直径，∴AC⊥BC，又∵OD∥BC，∴OD⊥AC，∴，∴AD＝CD．【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是利用垂径定理得到．10．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AD．（1）若＝104°，求∠BAD的度数．（2）点G是上任意一点，连结GA，GD求证：∠AGD＝∠ADC．【分析】（1）由圆周角定理的推论即可计算；（2）由垂径定理，圆周角定理的推论，即可证明．【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴＝，∵＝104°，∴＝52°，∴∠BAD＝×52°＝26°；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴＝，∴∠AGD＝∠ADC．【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理的讨论，关键是掌握：垂直于弦的直径平分弦对的两条弧；同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于它所对弧度数的一半．11．如图，C是的中点，∠AOC＝4∠B，OC＝4．（1）求∠A的度数；（2）求线段AB的长度．【分析】（1）延长CO交AB于H，连接BC，根据圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角性质推出∠A＝30°；（2）解直角三角形求出AH＝2，根据垂径定理即可解决问题．【解答】解：（1）如图，延长CO交AB于H，连接BC，∵C是的中点，∵＝，∴CH⊥AB，AH＝BH，∴∠AHO＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵∠AOC＝90°+∠A＝4∠OBA，∴∠A＝30°；（2）∵OA＝OC＝4，CH⊥AB，∠A＝30°，∴OH＝OA＝2，∴AH＝＝＝2，∴AB＝2AH＝4．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．五．圆内接四边形的性质（共3小题）12．如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．（1）求证∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠DCB＝180°，根据同角的补角相等证明结论；（2）根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝70°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE；（2）解：∵∠ACB＝70°，∴∠ADB＝∠ACB＝70°，∴∠ABD＝180°﹣60°﹣70°＝50°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使CE＝AB，连接BD，ED．（1）求证：BD＝ED．（2）若∠ABC＝60°，AD＝5，则⊙O的直径长为10．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到BAD＝∠ECD，根据全等三角形的性质得到BD＝ED；（2）连接DO并延长交⊙O于F，连接CF，则∠FCD＝90°，根据已知条件得到∠ABD＝∠CBD，AD＝CD＝5，求得∠F＝30°，根据直角三角形的性质得到结论．【解答】（1）证明：∵＝，∴AD＝DC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠ECD+∠BCD＝180°，∴∠BAD＝∠ECD，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴BD＝ED；（2）解：连接DO并延长交⊙O于F，连接CF，则∠FCD＝90°，∵D是弧AC的中点，∴＝，∴∠ABD＝∠CBD，AD＝CD＝5，∵∠ABC＝60°，∴∠CBD＝30°，∴∠F＝∠DBC＝30°，∴DF＝2CD＝10，∴⊙O的直径长为10，故答案为：10．【点评】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．14．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC＝30°．（1）求∠BOC的度数；（2）求∠ACB的度数；【分析】（1）根据垂径定理得出，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数；（2）连接BD，根据圆内接四边形的性质便可求得结果．【解答】解：（1）∵点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∴，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝∠BOC＝2∠ADC＝60°，∴∠BOC的度数为60°；（2）连接BD，∵，∴∠ADC＝∠BDC＝30°，∴∠ADB＝60°，∵∠ACB+∠ADB＝180°，∴∠ACB＝120°．【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理和圆周角定理等知识，熟练掌握和运用这些定理是解决问题的关键．六．点与圆的位置关系（共2小题）15．已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（）A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D．6cm【分析】搞清楚P点到圆上点的最近距离与到圆上点的最远距离的关系为差为直径（P为圆外一点），本题易解．【解答】解：P为圆外一点，且P点到圆上点的最近距离为1cm，到圆上点的最远距离为7cm，则圆的直径是7﹣1＝6（cm），因而半径是3cm．故选：A．【点评】本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆的最大距离和最小距离，可以得到圆的直径，然后确定圆的半径．16．平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．（1）在图中清晰标出点P的位置；（2）点P的坐标是，⊙P的半径是．【分析】点P的坐标是弦AB，CD的垂直平分线的交点．【解答】解：（1）弦AB的垂直平分线是y＝6，弦CD的垂直平分线是x＝6，因而交点P的坐标是（6，6）．（2）点P的坐标是，⊙P的半径是P的半径是PA的长，，故答案为：（6，6），5．【点评】本题考查了点和圆的位置关系，掌握圆心是圆的垂直平分线的交点，是解决本题的关键．七．确定圆的条件（共2小题）17．下列语句中正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③三点确定一个圆；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理等对每一项进行分析即可求出正确答案．【解答】解：①同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；②平分弦的直径垂直于弦，被平分的弦不能是直径，故此选项错误；③三点必须不在同一条直线上，故此选项错误；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，此选项正确；故正确的有1个，故选：A．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理和圆的有关定理；解题时要注意圆心角、弧、弦的关系是在同圆或等圆中才能成立．18．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）．【分析】根据垂径定理，在残破的圆形瓷盘上任取两个弦，分别作弦的垂直平分线即可．【解答】解：在圆上取两个弦，根据垂径定理，垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线即可．【点评】本题主要考查了垂径定理的推论，我们可以把垂径定理的题设和结论这样叙述：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧．在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立．八．三角形的外接圆与外心（共4小题）19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝30°，则∠A的大小为（）A．30° B．60° C．80° D．120°【分析】由OB＝OC，得∠OBC＝∠OCB＝30°，则∠BOC＝120°，即可根据圆周角定理求得∠A＝∠BOC＝60°，得到问题的答案．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝120°，∴∠A＝∠BOC＝60°，故选：B．【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，根据等腰三角形的性质求出∠BOC的度数是解题的关键．20．如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，⊙O的半径为5，∠A＝60°，求弦BC的长．【分析】连接CO并延长交⊙O于D，根据圆周角定理得到∠D＝∠A＝60°，∠CBD＝90°，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：连接CO并延长交⊙O于D，连接BD，则∠D＝∠A＝60°，∠CBD＝90°，∵⊙O的半径为5，∴CD＝10，∴BD＝CD＝5，∴BC＝＝＝5，故弦BC的长为5．【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．21．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AB＝4，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，连接AD、BD．（1）若∠CAB＝25°，求∠AED的度数；（2）求AD的长．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用角平分线的定义可得∠ACD＝∠BCD＝45°，然后再利用三角形的外角性质进行计算即可解答；（2）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用（1）的结论可得＝，从而可得AD＝DB，然后利用等腰直角三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，∵∠CAB＝25°，∴∠AED＝∠ACE+∠CAE＝70°，∴∠AED的度数为70°；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝DB，∵AB＝4，∴AD＝BD＝＝2，∴AD的长为2．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．22．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D，连接BD．求证：DB＝DE．【分析】根据角平分线定义得到∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，得到＝，根据圆周角定理得到∠DBC＝∠BAE，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，∴和所对的圆心角相等，∴＝，∴∠DBC＝∠CAD，∴∠DBC＝∠BAE，∵∠DBE＝∠CBE+∠DBC，∠DEB＝∠ABE+∠BAE，∴∠DBE＝∠DEB，∴DE＝DB．【点评】本题考查了三角形外接圆和外心，圆周角定理，等腰三角形的判定，熟练掌握角平分线定义是解题的关键．九．直线与圆的位置关系（共3小题）23．如图，已知∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，试判断半径为3的圆与OA的位置关系，并说明理由．【分析】利用直线l和⊙O相切⇔d＝r，进而判断得出即可．【解答】解：相切，理由：过点C作CD⊥AO于点D，∵∠O＝30°，OC＝6，∴DC＝3，∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时d与r的关系是解题关键．24．如图，AB是⊙O的直径，AN、AC是⊙O的弦，P为AB延长线上一点，AN、PC的延长线相交于点M，且AM⊥PM，∠PCB＝∠PAC．（1）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝10，∠P＝30°，求MN的长．【分析】（1）连结OC，则OA＝OC，根据等腰三角形的性质得到∠PAC＝∠ACO．求得∠PCB＝∠ACO．根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，求得OC⊥PC．根据切线的判定定理即可得到结论．（2）根据直角三角形的性质得到∠COP＝60°．解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）直线PC与⊙O相切．理由：连结OC，则OA＝OC，∴∠PAC＝∠ACO．∵∠PCB＝∠PAC，∴∠PCB＝∠ACO．∴∠OCP＝∠OCB+∠PCB＝∠OCB+∠ACO＝∠ACB．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC．∵OC为半径，∴直线PC与⊙O相切．（2）∵∠P＝30°，∠OCP＝90°，∴∠COP＝60°．∵AB＝10，∴AN＝5，∴．∴．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，直角三角形的性质，解题的关键：熟练掌握圆的切线的判定方法．25．如图，在△ABC中，BD＝DC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：AB＝AC；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．【分析】（1）利用HL证明Rt△ABD≌Rt△ACD，可得结论；（2）连接OD，利用三角形中位线定理可得OD∥AC，从而证明OD⊥DE，即可证明结论．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC，在Rt△ADB和Rt△ADC中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴AB＝AC（2）解：直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，如图所示：由△ABD≌△ACD知：BD＝DC，又∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．【点评】本题主要考查了圆周角定理，三角形中位线定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．一十．切线的性质（共3小题）26．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（）A．4 B．3 C．2 D．2【分析】连接OB，根据切线的性质定理得到∠OBD＝90°，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△OAB为等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．【解答】解：如图：连接OB，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∵四边形OABC为菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ODB＝30°，∴OD＝2OB＝4，由勾股定理得，BD＝＝2，故选：C．【点评】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．27．如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA、OB．（1）求证：AB平分∠OAD；（2）点E是⊙O上一动点，且不与点A、B重合，连接AE、BE，若∠AOB＝100°，求∠AEB的度数．【分析】（1）根据切线的性质得到OB⊥BC，证明AD∥OB，根据平行线的性质得到∠DAB＝∠OBA，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，等量代换证明结论；（2）分点E在优弧AB上、在劣弧AB上两种情况，根据圆周角定理解答即可．【解答】（1）证明：∵直线BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∵AD⊥BC，∴AD∥OB，∴∠DAB＝∠OBA，∵OB＝OA，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠DAB＝∠OAB，∴AB平分∠OAD；（2）解：当点E在优弧AB上时，∠AEB＝∠AOB＝50°，当点E′在劣弧AB上时，∠AE′B＝180°﹣50°＝130°，综上所述，∠AEB的度数为50°或130°．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．28．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，AC是直径．（1）连接BC，OP，求证：OP∥BC；（2）若OP与AB交于点D，OD：DP＝1：4，AD＝2，求直径AC的长．【分析】（1）连接OB，根据线段垂直平分线的判定定理得到OP⊥AB，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，根据平行线的判定定理证明结论；（2）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据相似三角形的性质得到AD2＝OD•DP，求出OD，根据勾股定理求出OA，进而求出AC．【解答】（1）证明：如图，连接OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∵OA＝OB，∴OP⊥AB，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠ADO，∴OP∥BC；（2）解：设OD＝x，则DP＝4x，∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，AD⊥OP，∴AD2＝OD•DP，即22＝x•4x，解得：x＝1（负值舍去），∴OD＝1，由勾股定理得：OA＝＝，∴AC＝2．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．一十一．切线的判定（共3小题）29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为点E．（1）若⊙O的半径为，AC＝5，求BN的长；（2）求证：NE是⊙O的切线．【分析】（1）由直角三角形的性质可求AB，由勾股定理可求BC，由等腰三角形的性质可得BN＝6；（2）欲证明NE为⊙O的切线，只要证明ON⊥NE．【解答】解：（1）连接DN，ON，∵⊙O的半径为，∴CD＝，∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD＝AD＝．∴AB＝13，∴BC＝＝12，∵CD为直径，∴∠CND＝90°，且BD＝CD．∴BN＝NC＝6．（2）∵∠ACB＝90°，D为斜边的中点，∴CD＝DA＝DB＝AB．∴∠BCD＝∠B，∵OC＝ON，∴∠BCD＝∠ONC．∴∠ONC＝∠B．∴ON∥AB，∵NE⊥AB，∴ON⊥NE．∴NE为⊙O的切线．【点评】本题考查切线的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．30．如图，以△ABC的边BC的长为直径作⊙O，交AC于点D，若∠A＝∠DBC，求证：AB是⊙O的切线．【分析】根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，根据题意得到AB⊥BC，根据切线的判定定理证明结论．【解答】证明：∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，∵∠A＝∠DBC，∴∠DBC+∠ABD＝90°，∴AB⊥BC，∵BC为⊙O的直径，∴AB是⊙O的切线．【点评】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．31．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠ADB＝∠BDC＝60°，过点A作AE∥BC交CD延长线于点E．（1）求∠ABC的大小；（2）证明：AE是⊙O的切线．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，根据等边三角形的性质解答即可；（2）连接AO并延长交BC于F，根据垂径定理的推论得到AF⊥BC，根据平行线的性质得到AF⊥AE，根据切线的判定定理证明结论．【解答】（1）解：由圆周角定理得：∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°；（2）证明：连接AO并延长交BC于F，∵AB＝AC，∴＝，∴AF⊥BC，∵AE∥BC，∴AF⊥AE，∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线．【点评】本题考查的是切线的判定、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．一十二．切线的判定与性质（共2小题）32．如图，AB是半圆O的直径，D为BC的中点，延长OD交于点E，点F为OD的延长线上一点且满足∠B＝∠F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AB＝4，∠B＝30°，连接AD，求AD的长．【分析】（1）欲证明CF为⊙O的切线，只要证明即OC⊥CF即可；（2）利用圆周角定理和勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：连接CO，∵D为BC的中点，∴OD⊥BC，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB，∵∠B＝∠F，∴∠OCB＝∠F，∵OD⊥BC，∴∠DCF+∠F＝90°，∴∠DCF+∠OCB＝90°．即OC⊥CF，∴CF是⊙O的切线．（2）解：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°．∵AB＝4，∠B＝30°，∴AC＝2BC＝，∴，在Rt△ACD中，AD＝＝．【点评】本题考查切线的判定和性质，掌握切线的基本性质，学会添加常用辅助线，构造直角三角形是解决问题的关键．33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，DE＝1，求CD的长．【分析】（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD内接于⊙O，得∠CDE＝∠OBC，再根据等量代换和直角三角形的性质可得∠OCE＝90°，由切线的判定可得结论；（2）如图2，过点O作OG⊥AE于G，连接OC，OD，则∠OGE＝90°，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC是矩形，设⊙O的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠OBC，∵CE⊥AD，∴∠E＝∠CDE+∠ECD＝90°，∵∠ECD＝∠BCF，∴∠OCB+∠BCF＝90°，∴∠OCE＝90°，即OC⊥EF，∵OC是⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线；（2）解：如下图，过点O作OG⊥AE于G，连接OC，OD，则∠OGE＝90°，∵∠E＝∠OCE＝90°，∴四边形OGEC是矩形，∴OC＝EG，GD＝5﹣1＝4，∴EC＝OG＝＝3，∴CD＝＝．【点评】本题考查了切线的判定，圆的有关知识，圆的内接四边形的性质，勾股定理等知识，掌握切线的判定是本题的关键．一十三．切线长定理（共3小题）34．如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（）A．9 B．7 C．11 D．8【分析】设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q．根据切线长定理得到NC＝MC，QE＝DQ．所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可．【解答】解：设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q，CM＝x，根据切线长定理，得CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．则有9﹣x+10﹣x＝8，解得：x＝5.5．所以△CDE的周长＝CD+CE+QE+DQ＝2x＝11．故选：C．【点评】此题主要是考查了切线长定理．要掌握圆中的有关定理，才能灵活解题．35．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD＝6，则CB长（）A．4 B．5 C．6 D．无法确定【分析】方法1、设圆O的半径是R，圆O与AD、DC、CB相切于点E、F、H，连接OE、OD、OF、OC、OH，则圆的半径R，可以看作△BOC，△COD，△AOD的高，根据S梯形ABCD＝S△BOC+S△COD+S△DOA，以及梯形的面积公式即可求解．方法2、利用切线的性质得出∠ADO＝∠ODC，进而得出∠ADO＝∠AOD，即可得出OA＝6，即：OB＝4，同理：BC＝OB即可得出结论．【解答】解：方法1、设圆O的半径是R，圆O与AD、DC、CB相切于点E、F、H，连接OE、OD、OF、OC、OH．设CD＝y，CB＝x．设S梯形ABCD＝S则S＝（CD+AB）R＝（y+10）R﹣﹣﹣﹣（1）S＝S△BOC+S△COD+S△DOA＝xR+yR+×6R﹣﹣﹣﹣（2）联立（1）（2）得x＝4；方法2、连接OD．OC∵AD，CD是⊙O的切线，∴∠ADO＝∠ODC，∵CD∥AB，∴∠ODC＝∠AOD，∴∠ADO＝∠AOD∴AD＝OA∵AD＝6，∴OA＝6，∵AB＝10，∴OB＝4，同理可得OB＝BC＝4，故选：A．【点评】此题主要考查了切线的性质和等腰三角形的性质，解本题的关键是求出OA＝6．36．如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．C是弧AB上任意一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA和PB于D，E两点，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周长．【分析】根据切线长定理得到PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵PA和PB是⊙O的两条切线，∴PA＝PB，同理可得：DA＝DC，EB＝EC，∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10（cm）．【点评】本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．一十四．三角形的内切圆与内心（共2小题）37．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝BD＝2，EC＝3，则△ABC的周长为（）A．10 B．12 C．14 D．16【分析】根据切线长定理得出AF＝AD＝2，BE＝BD＝2，CF＝CE＝3，再求出△ABC的周长即可．【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，AD＝BD＝2，EC＝3，∴AF＝AD＝2，BE＝BD＝2，CF＝CE＝3，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AD+BD+BE+CE+AF+CF＝2+2+2+3+3+2＝14，故选：C．【点评】本题考查了切线的性质，三角形的内切圆与内心，能熟记从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解此题的关键．38．如图，点I为等边△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为（）A．2 B．3 C．4 D．【分析】连结BI，先由△ABC是等边三角形证明∠ABC＝∠BAC＝∠C＝60°，则∠D＝∠C＝60°，再根据三角形的内心的定义证明∠IAB＝∠BAC＝30°，∠IBA＝∠ABC＝30°，即可证明AD是△ABC外接圆的直径，再证明△DBI是等边三角形，则DI＝BI，即可证明DI＝AI＝AD＝2，则BD＝DI＝2．【解答】解：如图，连接BI，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝60°，∴∠D＝∠C＝60°，∵点I为等边△ABC的内心，∴∠IAB＝∠BAC＝30°，∠IBA＝∠ABC＝30°，∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠IAB＝90°，∠DIB＝∠IAB+∠IBA＝60°，∴AD是△ABC外接圆的直径，∵∠DBI＝180°﹣∠D﹣∠DIB＝60°，∴△DBI是等边三角形，∴DI＝BI，∵∠IAB＝∠IBA，∴AI＝BI，∴DI＝AI＝AD＝2，∴BD＝DI＝2，∴线段DB的长为2，故选：A．【点评】此题重点考查三角形的内心与三角形的外心的性质、等边三角形的判定与性质、90°的圆周角所对的弦是直径、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．一十五．正多边形和圆（共5小题）39．如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（）A．1 B． C．2 D．4【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等边三角形的性质求出OH即可．【解答】解：如图所示，连接OB、OA，过点O作OH⊥AB于点H，∵⊙O的直径为4cm，∴OB＝OA＝2cm，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝2cm，∵六边形ABCDEF是正六边形∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵OB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝2cm，∵OH⊥AB，∴BH＝AB＝×2＝1（cm），∴OH＝＝（cm），∴正六边形纸片的边心距是cm，故选：B．【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．40．如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的度数是（）A．110° B．120° C．118° D．122°【分析】根据正六边形的性质可得AB＝BC＝CD，BN＝CM，利用全等三角形的判定与性质可得∠BNP＝∠CMB，然后利用三角形的内角和定理可得答案．【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC＝∠BCD＝＝120°，AB＝BC＝CD，∵M，N分别为边CD，BC的中点，∴BN＝CM，∴△ABN≌△BCM（SAS），∴∠BNP＝∠CMB，∵∠CBM＝∠PBN，∴∠BPN＝∠BCD＝120°，∴∠APM＝120°，故选：B．【点评】本题考查了正六边形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，通过证三角形全等得到∠BNP＝∠CMB是解决此题的关键．41．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CMD的大小为（）A．60° B．45° C．30° D．15°【分析】由正六边形的性质得出∠COD＝60°，由圆周角定理求出∠CMD＝30°．【解答】解：连接OC，OD，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠COD＝60°，∴∠CMD＝COD＝30°，故选：C．【点评】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠AOB＝60°是解决问题的关键．42．如图，正方形ABCD内接于⊙O，＝，求证：BM＝CM．【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴＝，∵＝，∴+＝+，即＝，∴BM＝CM．【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．43．如图，已知⊙O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距r6、面积S6．【分析】连接OB，OG⊥CB于G，易得△COB是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆半径R，然后由勾股定理求得边心距，又由S正六边形＝6S△OBC求得答案．【解答】解：连接OB，OG⊥CB于G，∵∠COB＝60°，OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OC＝OB＝6cm，即R＝6cm，∵OC＝OB＝6，OG⊥CB，∴CG＝BG＝CB＝×6＝3cm，在Rt△COG中，r6＝OG＝＝3（cm），∴S6＝×6×6×3＝54（cm2）．【点评】此题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．一十六．弧长的计算（共2小题）44．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D．（1）求证：AD＝3BD；（2）求的长．（结果保留π）【分析】（1）两次应用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”即可证得结论；（2）直接利用弧长公式求解即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴∠COD＝120°，∵BC＝4，BC为半圆O的直径，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝30°，∴BC＝2BD，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4BD，∴AD＝3BD；（2）由（1）得∠B＝60°，∴OC＝OD＝OB＝2，∴弧BD的长为＝．【点评】本题考查弧长公式、直角三角形的性质、解题的关键是正确记忆相关知识点．45．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，求弧CD的长．【分析】根据平角定义和已知条件求出∠AOD＝70°，∠DOB＝110°，∠COA＝20°，进而求出∠COD＝90°，解直角三角形求出半径OD，再根据弧长公式求出即可．【解答】解：∵∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，∠AOD+∠DOB＝180°，∴∠AOD＝×180°＝70°，∠DOB＝110°，∠COA＝20°，∴∠COD＝∠COA+∠AOD＝90°，在Rt△OCD中，OD＝OC，CD＝4，OC2+OD2＝CD2，∴2OD2＝42，∴OD＝2，∴的长＝＝π，即弧CD的长为π．【点评】本题考查了勾股定理和弧长公式，根据勾股定理能求出半径OD的长是解此题的关键．一十七．扇形面积的计算（共4小题）46．如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角∠AOB＝120°，半径为6m，求该扇形的弧长与面积．（结果保留π）【分析】直接利用弧长公式和扇形的面积公式列式计算即可．【解答】解：∵扇形OAB的圆心角为120°，半径为6m，∴该扇形的弧长为：＝4π（m），面积为＝12π（m2）．答：该扇形的弧长与面积分别为4πm和12πm2．【点评】此题主要考查了弧长公式及扇形面积公式的应用，熟练记忆弧长公式及扇形面积公式是解题关键．47．如图所示，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于点G．（1）求证：＝；（2）若∠C＝120°，BG＝4，求阴影部分弓形的面积．【分析】（1）由同圆或等圆中相等的圆心角对的弧相等即可证明；（2）根据弓形的面积等于扇形面积减三角形的面积，即可计算．【解答】（1）证明：连接AF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠GAE＝∠ABF，∠EAF＝∠AFB，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB，∴∠GAE＝∠EAF，∴＝；（2）解：作AH⊥BF于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠C+∠ABC＝180°，∵∠C＝120°，∴∠ABC＝60°，∵AB＝AF，∴△ABF是等边三角形，∴BF＝AB＝2，∠BAF＝60°，∴S扇形ABF＝×π×22＝，∵sin∠ABH＝，∴AH＝AB•sin∠ABH，∴AH＝2×＝，∵S△ABF＝BF•AH，∴S△ABF＝×2×＝，∴S阴＝﹣．【点评】本题考查圆的有关知识，关键是掌握：在同圆或等圆中相等的圆心角对的弧相等；正确表示出阴影的面积．48．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2．（1）求OE和CD的长；（2）求图中两阴影部分的面积各是多少？【分析】（1）在△OCE中，利用三角函数即可求得CE，OE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长