专题07平行四边形的判定及三角形中位线(考点剖析)-2018-2019学年浙江省八年级数学下学期期末必考点复习(浙教版)(原卷版+解析)

专题07平行四边形的判定及三角形的中位线【考点剖析】1、平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.2、三角形的中位线三角形的中位线;连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.注意：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.3、反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．平行四边形的判定【典例】例1．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列各组条件，其中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．OA＝OC，OB＝OD B．OA＝OC，AB∥CD C．AB＝CD，OA＝OC D．∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD例2．如图所示，以△ABC的三边AB、BC、CA在BC的同侧作等边△ABD、△BCE、△CAF．请说明：四边形ADEF为平行四边形．例3．如图4×4的正方形网格每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A，B（均在格点上）的位置如图，若以A，B为顶点画面积为2的格点平行四边形，则符合条件的平行四边形的个数有（）A．6 B．7 C．9 D．11【巩固练习】1．下列能判定一个四边形是平行四边形的是（）A．对角线相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形 B．一对邻角的和为180°的四边形是平行四边形 C．两条对角线相互垂直的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形2．在四边形ABCD中，若有下列四个条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；④AB＝CD．现以其中的两个条件为一组，能判定四边形ABCD是平行四边形的条件有（）A．3组 B．4组 C．5组 D．6组3．已知四边形ABCD，对角线AC与BD交于点O，从下列条件中：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠ABC＝∠ADC；④OA＝OC，任取其中两个，以下组合能够判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．①④4．已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD交于F．求证：四边形AECF是平行四边形．平行四边形的性质与判定【典例】例1．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE＝CF，连接AF，BF，DE，CE，分别交于H、G．求证：（1）四边形AECF是平行四边形．（2）EF与GH互相平分．【巩固练习】1．已知：如图，平行四边形ABCD，E、F是直线AC上两点，且AE＝CF．求证：四边形EBFD为平行四边形．2．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF＝2．（1）求证：D是EC中点；（2）求EF的长．3．如图，平行四边形ABCD是对角线AC、BD交于E点，DF∥AC，∠DFC＝∠AEB，连接EF．（1）求证：DF＝AE；（2）求证：四边形BCFE是平行四边形．三角形中位线定理【典例】例1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的最大值为（）A． B．3.5 C．5 D．2.5例2．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，点F是BE延长线与AC的交点，求的值．例3．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长．【巩固练习】1．若三角形的各边长分别是8cm、10cm和16cm，则以各边中点为顶点的三角形的周长为（）A．34cm B．30cm C．29cm D．17cm2．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝25°，则∠EPF的度数是（）A．100° B．120° C．130° D．150°3．如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是OB、OC的中点，连接AO．若AO＝3cm，BC＝4cm，则四边形DEFG的周长是（）A．7cm B．9cm C．12cm D．14cm4．如图，在△ABC中，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE上，且DF＝3FE，当AF⊥BF时，BC的长是____________．5．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，EF的中点，求证：GH⊥EF．6．如图在△ABC中，M是BC中点，AP是∠A平分线，BP⊥AP于P，AB＝12，AC＝22，则MP长为（）A．3 B．4 C．5 D．6专题07平行四边形的判定及三角形的中位线【考点剖析】1、平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.2、三角形的中位线三角形的中位线;连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.注意：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.3、反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．平行四边形的判定【典例】例1．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列各组条件，其中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．OA＝OC，OB＝OD B．OA＝OC，AB∥CD C．AB＝CD，OA＝OC D．∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD【答案】C【解析】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；B、∵OA＝OC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；C、AB＝CD，OA＝OC，∴四边形ABCD不是平行四边形．故不能判定这个四边形是平行四边形；D、∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，故能判定这个四边形是平行四边形．故选：C．【点睛】根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．此题考查了平行四边形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．例2．如图所示，以△ABC的三边AB、BC、CA在BC的同侧作等边△ABD、△BCE、△CAF．请说明：四边形ADEF为平行四边形．【答案】见解析【解析】证明：∵△BCE、△ACF、△ABD都是等边三角形，∴AB＝AD，AC＝CF，BC＝CE，∠BCE＝∠ACF，∴∠BCE﹣∠ACE＝∠ACF﹣∠ACE，即∠BCA＝∠FCE，在△BCA和△ECF中，，∴△BCA≌△ECF（SAS），∴AB＝EF，∵AB＝AD，∴AD＝EF，同理：△BDE≌△BAC，∴DE＝AF，∴四边形ADEF是平行四边形．【点睛】根据等边三角形的性质推出∠BCE＝∠FCA＝60°，求出∠BCA＝∠FCE，证△BCA≌△ECF，推出AD＝EF＝AB，同理得出DE＝AF，即可得出结论．此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出△BCA≌△ECF是解题关键．例3．如图4×4的正方形网格每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A，B（均在格点上）的位置如图，若以A，B为顶点画面积为2的格点平行四边形，则符合条件的平行四边形的个数有（）A．6 B．7 C．9 D．11【答案】D【解析】解：∵AB＝2，平行四边形的面积＝2，∴高＝1，∴符合条件的平行四边形如图所示，共11个，其中以AB为边的平行四边形有6个，AB为对角线的平行四边形有5个，共11个．故选：D．【点睛】根据已知条件即可得到结论．本题考查了平行四边形的判定，正确的作出图形是解题的关键．【巩固练习】1．下列能判定一个四边形是平行四边形的是（）A．对角线相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形 B．一对邻角的和为180°的四边形是平行四边形 C．两条对角线相互垂直的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【答案】D【解析】解：A、对角线相等，且一组对角相等的四边形无法确定是平行四边形，故此选项不合题意；B、一对邻角的和为180°的四边形是平行四边形，错误，有可能是梯形，故此选项不合题意；C、两条对角线相互垂直的四边形无法确定是平行四边形，故此选项不合题意；D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意．故选：D．2．在四边形ABCD中，若有下列四个条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；④AB＝CD．现以其中的两个条件为一组，能判定四边形ABCD是平行四边形的条件有（）A．3组 B．4组 C．5组 D．6组【答案】A【解析】解：①③组合能根据平行线的性质得到∠B＝∠D，从而利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；①④组合能利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；②④组合能利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定，故选：A．3．已知四边形ABCD，对角线AC与BD交于点O，从下列条件中：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠ABC＝∠ADC；④OA＝OC，任取其中两个，以下组合能够判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【答案】D【解析】解：以①④作为条件，能够判定四边形ABCD是平行四边形．理由：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（ASA），∴OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．故选：D．4．已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD交于F．求证：四边形AECF是平行四边形．【答案】见解析【解析】证明：∵平行四边形ABCD中AB∥CD，∴∠OAE＝∠OCF，又∵OA＝OC，∠COF＝∠AOE，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．平行四边形的性质与判定【典例】例1．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE＝CF，连接AF，BF，DE，CE，分别交于H、G．求证：（1）四边形AECF是平行四边形．（2）EF与GH互相平分．【答案】见解析【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．（2）由（1）得：四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE，∵AE＝CF，AB∥CD，AB＝CD，∴BE∥DF，BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BF∥DE，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EF与GH互相平分．【点睛】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，由AE＝CF，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出AF∥CE，再证明四边形BFDE是平行四边形，得出BF∥DE，证出四边形EGFH是平行四边形，即可得出结论．本题考查了平行四边形的判定与性质；熟记一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．【巩固练习】1．已知：如图，平行四边形ABCD，E、F是直线AC上两点，且AE＝CF．求证：四边形EBFD为平行四边形．【答案】见解析【解析】证明：连结BD交AC于O点，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，又∵OB＝OD，∴四边形EBFD为平行四边形．2．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF＝2．（1）求证：D是EC中点；（2）求EF的长．【答案】见解析【解析】解：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD，又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB＝DE，∴CD＝DE，即D是EC的中点；（2）∵EF⊥BF，∴△EFC是直角三角形又∵D是EC的中点，∴DF＝CD＝DE＝2，∵AB∥CD∠ABC＝60°，∴∠DCF＝60°，∴△DCF是等边三角形，∴CF＝2，∴在Rt△ECF中EF2．3．如图，平行四边形ABCD是对角线AC、BD交于E点，DF∥AC，∠DFC＝∠AEB，连接EF．（1）求证：DF＝AE；（2）求证：四边形BCFE是平行四边形．【答案】见解析【解析】证明：（1）∵DF∥AC，∴∠DFC+∠FCE＝180°，∵∠DFC＝∠DEC，∴∠DEC+∠FCE＝180°，∴CF∥DE，∴四边形DECF是平行四边形，∴DF＝EC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE＝CE，∴DF＝AE．（2）∵DF＝AE，DF∥AE，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AD＝EF，AD∥EF，∵AD＝BC，AD∥BC，∴EF∥BC，EF＝BC，∴四边形BCFE是平行四边形．三角形中位线定理【典例】例1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的最大值为（）A． B．3.5 C．5 D．2.5【答案】D【解析】解：连接BD、DN，在Rt△ABD中，DB5，∵点E、F分别为DM、MN的中点，∴EFDN，由题意得，当点N与点B重合时，DN最大，∴DN的最大值是5，∴EF长度的最大值是2.5，故选：D．【点睛】连接BD、DN，根据勾股定理求出BD，根据三角形中位线定理解答．本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．例2．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，点F是BE延长线与AC的交点，求的值．【答案】见解析【解析】解：作DH∥AC交BF于点H，∵DH∥AC，点E是AD的中点，∴DH＝AF，∵DH∥AC，AD是△ABC的中线，∴DHFC，∴．【点睛】作DH∥AC交BF于点H，根据相似三角形的性质证明DH＝AF，根据三角形中位线定理证明DHFC，得到答案．本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．例3．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长．【答案】见解析【解析】解：如图，延长BD与AC相交于点F，∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴∠DAB＝∠DAF，AD＝AD，∠ADB＝∠ADF，∴△ADB≌△ADF，∴AF＝AB，BD＝DF，∵AB＝6，AC＝10，∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝10﹣6＝4，∵E为BC中点，∴DE是△BCF的中位线，∴DECF4＝2．【点睛】延长BD与AC相交于点F，根据等腰三角形的性质可得BD＝DF，再利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DECF，然后求解即可．本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的判定与性质，作辅助线构造出以DE为中位线的三角形是解题的关键．【巩固练习】1．若三角形的各边长分别是8cm、10cm和16cm，则以各边中点为顶点的三角形的周长为（）A．34cm B．30cm C．29cm D．17cm【答案】D【解析】解：∵D、E分别为AB、BC的中点，∴DEAC＝5，同理，DFBC＝8，FEAB＝4，∴△DEF的周长＝4+5+8＝17（cm），故选：D．2．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝25°，则∠EPF的度数是（）A．100° B．120° C．130° D．150°【答案】C【解析】解：∵P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴PEAD，PFBC，∵AD＝BC，∴P