2020-2021学年人教版2019必修二高一数学满分期末冲刺卷02 复数（浙江解析版）

专题02复数(共51题)

一、单选题

1.(2021•浙江高一期末)若复数z满足z+25=3-i,贝iJ|z|=()

A.1B.72C.y/3D.2

【答案】B

【解析】

设z=a+0i(a,beR),则5一次，代入z+2Z=3—i，根据复数相等的条件求出a,。，再根据模长公式

可求得结果.设z=a+bi(a,bwR),则2=a—4，

所以a++2(a—bi)=3—i,即3ai=3—i,

所以a=l,b=l,z=l+i,

所以|z|=Jl+1=V2.

故选：B

2.(2021.浙江高一期末)设复数z满足z(6-，)=(l+i)2,则忖=()

A.—B.—C.—D.1

222

【答案】D

【解析】

利用复数的除法化简复数Z,利用复数的模长公式可求得结果.•••z(G-i)=(l+i)2=l+2i+/=2i,

=2/=2/(73+zj=i(G+i)=1石.

,"=石=阳)回)=-T-F丁

因此，回=，-£|2+图=i.

故选：D.

3.(2021•浙江高一期末)若复数z满足z・(2+，)=3(1—，)+1,则关于复数z的说正确的是()

A.复数z的实部为1B.复数z的虚部为0

C.复数z的模长为1D.复数z对应的复平面上的点在第一象限

【答案】A

【解析】

设Z=4+初，（6T,Z?GR）,利用复数的乘法运算以及复数相等即可求解.设Z=Q+〃，（。/£R）,则

z=a-bi

由z・（2+i）=z・（l-i）+l,

则（。+初）（2+，）=（。_初）（1_，）+1,

即2a+ai+2hi-b=a-ai—bi—b+\,

整理可得2cl—b+（a+2/?）i=a—Z?+1—（〃+/?），

2a-b=a-b-^-12

<O//J解得Q=1,力=---,

a+2b=-（a+b）3

所以z=1—gi,复数Z的实部为1,复数Z的虚部不为0,复数Z的模长不为1,复数Z对应的复平面上的点11,一：

在笫四象限.

故选：A

4.（2021•浙江高一单元测试）已知复数z=l+i,I是z的共机复数，若白。=2+从，其中a,b均为实数，贝！1b

的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【解析】

根据共规复数的定义，结合复数的运算性质和复数相等的性质进行求解即可.因为Z=l+i,所以

2b

所以一=1且一=一1,则。=2,。=-2.

aa

故选：A

5.（2021•浙江高一单元测试）复数z=cos675+isin67.5°，则包=（）

2

,V2V2C.-显一显iD.1

——+——I

222222

【答案】C

【解析】

根据复数的运算法则，结合复数的除法运算，即可求解.由题意，复数z=cos67.5。+isin67.5，可得

\zf=cos267.50+sin267.5°=1,

z2=(cos67.5:+isin675)2=cos135°+zsin135"=一立+立J,

22

,672.

所以li=]=

FF=_V2_V2Z.

z2&夜.夜&夜夜22

11(F——7)•(---------1)

2-2-------2---222

故选：C.

6.（2020•浙江杭州市•高一期末）已知a,beR,若。2+匕+（“-3，>2（i为虚数单位），则实数。的取值范

围是（）

A.。>2或av-1B.或。<-2C.-l<a<2D.-2<a<1

【答案】B

【解析】

依题意复数的虚部为零，实部大于2,即可得到不等式，解得即可；解：因为a,beR,cr+b+（a-b）i>2,

ci1+b>2°

所以〈，即。2+。>2,解得a>l或a<—2

a-b=Q

故选：B

7.（2021•浙江高一单元测试）下列命题：

①若z=a+bi,则仅当4=0且力加时，z为纯虚数；

②若Z：+Z2=0,则Z1=Z2=0：

③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立对应关系.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】A

【解析】

利用特列法可判断①②③都不正确.在①中。=0,。=，时，Z不为纯虚数，故①错误；

2

在②中Z1=i,Z2=1时，Z]+z2=0,但Z]WZ2#0,故②错误；

在③中，。=0时，0xi=0不是纯虚数，故③也是错误的.

故选：A.

8.(2021•浙江高一期末)己知复数z满足(G+)Z=4,则忖=()

A.2B.72C.4D.472

【答案】A

【解析】

化简可得Z=G—i，代入求模公式，即可求得答案.由题意得z=3-=/(百二)—=g-i,

V3+z(V3+0(A/3-0

所以|Z|=G7T=2.

故选：A

9.(2021•浙江高一期末)已知复数z满足|z|—z=l+i(i为虚数单位)，则2=()

A./B.-/C.1-ZD.1+z

【答案】B

【解析】

令z=a+bi,然后代入|z|-z=l+i中化简求出〃的值，从而可求出z解：令z=a+bi,

因为|z|—z=l+i，所以Ja?+Z?2—(a+bi)=1+i，即飞a2+b?-a-Z?i=l+i，

所以北""解得

h=-l

所以z=T,

故选：B

10.(2021•浙江高一期末)已知QER,若(2+5)(a—2i)=Ti(i为虚数单位)，则。=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】

将(2+ai)(a-2i)展开可得答案.(2+ai)(a—2i)=4a+(a--4)i=-4z,所以a=0

故选：B

11.(2021•浙江高一期末)已知aeR,若有|a—4=石(i为虚数单位)，则a=()

A.1B.-2C.±2D.±1

【答案】C

【解析】

根据复数模的定义直接计算即可.因为a&R

所以1。一才=病不17=百，

即标+1=5，

解得a=±2,

故选：C

12.(2021•江苏高一单元测试)已知复数2=(加+1)+(m-1)i(i为虚数单位，机GR)在复平面内对应的点在

第四象限，则机的取值范围是()

A.(-a),-1)U(1,+oo)B.(-co,-l]Ufl,+oo)

C.(-1,1)D.[-1,1]

【答案】C

【解析】

根据复数的几何意义求解.z=(机+1)+(机-1)i(i为虚数单位，加CR)在复平面内对应的点在第四象限，

所以m+1〉0且相-1<0,

解得-

故选：C.

13.(2021.江苏高一期中)若i为虚数单位，复数z满足lw|z+l+i|«J5,则|z—1—4的最大值为()

A.272-1B.2V2+1C.272D.3A/2

【答案】D

【解析】

设2=%+加(x,y&R),则由题意可得14(x+l)2+(y+l)242,由此可知(x,y)在如图所示有阴影上，而

|z-l—i|=|z—(l+i)|表示Z到点(1,1)的距离，结合图形求解即可解：设z=x+yi(x,yeR),则

|z+l+z|=|(x+l)+(y+l)/|,

因为14|z+l+心&,

所以lW(x+l)2+(y+l)242,

所以(x,y)在如图所示有阴影上，

因为以一1一4=以一(1+4表示2到点(1,1)的距离，而(1,1)到(TT)的距离为2近，大圆的半径为企,

所以|Z-1T[的最大值为3五,

故选：D

八P

14d.(2021.全国高一课时练习)复数ziZ2分别对应复平面内的点M，%，且|z】+Z2|=|Z]_Z2|,线段

的中点M对应的复数为4+33则上/+22「=()

A.10B.25C.100D.200

【答案】C

＞

根据归+22|=区—2|可得丽|'_1瓯,再根据直角三角形的性质可求上『+22「的值.因为

jz]+z2|=1^-z2|,故OM]J_OM],

故AOM1〃2是直角三角形，

所以|zj+%|2=|西『+|次疔=4|OM|2=4x25=100,

故选：C.

15.(2021•全国高一课时练习)已知复数z对应的向量为旗(。为坐标原点)，亍2与实轴正向的夹角为120。,

且复数Z的模为2,则复数2为（）

A.1+5B.2

C.（-1,73）D.-1+5

【答案】D

【解析】

由复数对应向量与x轴正向夹角，及复数的模，应用复数的三角表示写出对应坐标，进而写出复数z代数形式.

设复数Z对应的点为（x,y）,则

x=|z|cos120°=2x（——）=—1,＞=|z|sin120。=2x-^--A/3，

复数z对应的点为（-1,百），

•••z=-l+V3z.

故选：D.

16.（2021・上海高一课时练习）欧拉公式*=cosx+isinx（i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它

将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，被誉为“数学中的天桥''.根据欧拉公式,

则复数6彳，在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

—।8万8万

由欧拉公式得e3=cos—+/sin—,结合诱导公式、三角函数值或直接根据辐角所在的象限，即可判断其所

33

大苗阳小as含的尊8万••812万..2117行♦

在象限•由题意如：e3=cos-----Fzsin——=cos-----i-zsin——=——d-----1，

333322

•••e竽,在复平面内对应的点所在的象限为第二象限.

故选：B.

17.（2020•全国高一课时练习）设复数Z|=2sin6+icos4（＜，＜擀）在复平面上对应向量西，将向量西

绕原点。按顺时针方向旋转，后得到向量区，返'对应复数Z2=r(cose+isin。)，则tanQ=()

2tan。+12tan-111

A.--------B.------------C--.--------------D.--------------

2tan-12tan。+12tan9+12tan。一1

【答案】A

【解析】

先把复数劣化为三角形式，再根据题中的条件求出复数z2,利用复数相等的条件得到sin。和cos。的值，求出

tan°.因为=V4sin2^+cos20=Vl+3sin20，

”,r—「―42sin。icos0、

所以Z[=\Zl+3snr。/=+1---------------

<Vl+3sin2^Vl+3sin2^；

2sin。.ccos3

设cos/?=sinp=/=

Vl+3sin26>Vl+3sin2^

cos。

则tan(3=

2sin。

2

z2=71+3sin0cos(万一

即r=，l+3sin2。cos。=cos

.(5万}

sin——+B|/、/

I4)(571o}(71°

故tan°=一说一^=tan—+/?=tan-+^

cosl—+I、、

cos。

=l+tan/=.zsine=2tan6+l

1-tan/?]cos'2tan^-l

2sin。

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的几何意义及复数的综合运算，较难.解答时要注意将4、Z2化为三角形式然后再计算.

18.(2020•全国高一课时练习)设meR,复数z=(1+。(〃?一。在复平面内对应的点位于实轴上，又函数

“x)=〃?lnx+x,若曲线y=/(x)与直线/：y=2日-1有且只有一个公共点，则实数上的取值范围为

A.18sU{1}B.(YO,0]U{1}

C.(3,0]U{2}D.(-O),0)U(2，H

【答案】A

【解析】

由已知求得小，得到/(X),利用导数研究单调性及过(0,-1)的切线的斜率，再画出图形，数形结合，即可求

得实数A的取值范围.由题意，复数Z=(l+i)(m一i)=(/〃+l)+(〃2—l)i在复平面内对应的点位于实轴上，

所以加一1=0,即〃2=1,所以/(x)=lnx+x,x>0,则/'(x)=J+l>0,所以函数/(X)单调递增，且

当x-0时，/(x)fYO,

作出函数/(x)=lnx+x的图象，如图所示：

又由直线/：y=2日-1过点(0,—1),

设切点为(Xo，lnXo+Xo),则在切点处的切线方程为y-lnx。一/=(」-+1)。一玉.)，

玉)

把(0,-1)代入，可得一1-In%-尤o=-1-不，即lnXo=O,即毛=1,

即切线的坐标为(1,1),代入/:y=2Ax—l,可得2%=2,即4=1,

又由图象可知，当2々€(-8,1],即Ze(—0O,L|D寸，

2

曲线>=/(%)与直线/：y=2"一1有且只有一个公共点，

综上所述，当丘(-oo,Ju{l}时，曲线y=/(x)与直线/:y=2aT有且只有一个公共点，

故选A.

【点睛】

本题主要考查了复数的基本概念，考查函数零点的判定，以及导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性的应

用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、多选题

19.（2021•浙江高一期末）已知z=a+初（。力eR）为复数，三是其共期复数，则下列命题一定正确的是（）

A.Z2=|z|2B.z-z=|z|2

C.若z?为纯虚数，则。=力。（）D.复数z是实数的充要条件是z=W

【答案】BD

【解析】

利用特殊值法可判断A选项的正误；利用复数的乘法可判断B选项的正误；利用复数的乘法以及复数相等可判

断C选项的正误;利用复数的概念结合充分条件、必要条件的定义可判断D选项的正误.对于A选项，取z=1+i,

则z2=（l+i）2=2i,|Z『=F+12=2,所以，z2^|z|2,A选项错误；

对于B选项，z•z=（a+0i）（a-Z?i）="+〃=卜『，B选项正确；

对于C选项，z?=（「+4）2=（〃—〃）+2a4为纯虚数，则彳即4=幼彳0,C选项错误；

对于D选项，充分性：若z为实数，即z=a,此时』=a，z=I，充分性成立.

必要性：若z=I，即。+初=。一次，可得b=—b,即b=0,;.ZGR，必要性成立.

所以，复数z是实数的充要条件是z=1,D选项正确.

故选：BD.

20.（2021•浙江高一期末）下列关于复数的说法，其中正确的是（）

A.复数z=a+杭是实数的充要条件是〃=0

B.复数z=a+bi（a,bGR）是纯虚数的充要条件是岳口）

C.若Z1,Z2互为共掘复数，则ZR2是实数

D.若Z-Z2互为共匏复数，则在复平面内它们所对应的点关于》轴对称

【答案】AC

【解析】

根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可.解：对于A：复数z=。+初(a,heR)是实

数的充要条件是。=0,显然成立，故A正确;

对于3：若复数z=a+〃(a,beR)是纯虚数则a=0且6刈，故5错误;

对于C：若z-Z2互为共轨复数，设Z[=。+初(a,0eR),则z2=a-〃(a,Z?wR),所以

222

Z|Z2~(a+bi^a-bi)-a-bi=后+k是实数，故C正确;

对于O：若Z],Z2互为共期复数，设Z]=a+〃(a,Z?eH),则z?=a-6(a,0eR),所对应的坐标分别为

(a,b),(。，-〃)，这两点关于x轴对称，故O错误;

故选：AC

【点睛】

本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题.

[冗JI

21.(2020•山东日照市•高一期末)已知复数z=l+cos26+isin2。一<式(其中i为虚数单位)，则

I22；

()

A.复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限B.z可能为实数

C.Iz|=2cos6>D.，的实部为一,

11z2

【答案】BC

【解析】

由一工<。(工可得一万<2。<%，得0<l+cos26<2,可判断A选项，当虚部sin26>=0,一个，£

22I22

时.，可判断B选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C选项，由复数的运算得

\_l+cos2^-zsin2011+cos201jrTT

----------------，—的实部是R----------=-，可判断D选项.因为一—<。<一，所以

Zl+2cos26z2+2cos20222

—4<26<乃，所以一1<COS26W1,所以0<l+cos26W2,所以A选项错误;

[7T71\

当sin26=0,。力一万，万)时，复数z是实数，故B选项正确；

|z|=J(1+cos26)2+(sin26=j2+2cos26=2cos6，故C选项正确：

1_1_l+cos26-isin2。_l+cos26-isin2。]

zl+cos2®+isin2。(1+cos2^+Zsin2^)(1+cos20-isin2^)l+2cos2。'z

l+cos29_1

故D不正确.

2+2cos292

故选：BC

【点睛】

本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.

22.(2021•全国高一课时练习)任何一个复数Z=a+初(其中i为虚数单位)都可以表示成:

z=r(cos9+isin。)的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：

z"=[r(cos6+isin。)]"=r"(cos〃e+isin〃e)(〃cN+),我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，

下列说法正确的是()

A-归|=0

jr

B.当尸=1，§时，z3=1

C.当r=1，。=工时，Z=---z

322

D.当r=l，e=—时，若"为偶数，则复数z"为纯虚数

4

【答案】AC

【解析】

利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复

数三，可判断C选项的正误；计算出可判断D选项的正误.对于A选项，z=r(cose+isin。)，则

z2=r2(cos20+isin2^),可得归卜卜2(cos28+isin2。)卜/，|z「=，，(cose+isin6)「=产，A选项

正确；

对于B选项，当〃=1，，=§时，=(cose+isin6)=cos3e+isin36=cos"+isin;r=—1,B选项

错误；

对于C选项，当r=l，。=工时，z=cos三+isin2=’+走3则1=,一正3C选项正确；

3332222

对于D选项，z"=(cos0+zsin6)"=cosnO+zsinnd=cos子+zsin竽,

取”=4,则〃为偶数，则z4=cos乃+isin乃=—1不是纯虚数，D选项错误.

故选：AC.

【点睛】

本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轨复数的运算，考查计算能力，属于中等题.

三、填空题

23.（2021•浙江高一期末）已知i是虚数单位，复数z=5-,则|z|=.

3-4z

【答案】叵

5

【解析】

利用复数的除法运算化简，然后再代入模长公式计算

1+)_(l+i)(3+4i)_3+7i+4/_-l+7z

3-4z-(3-4z)(3+4z)-25-25

旦

故答案为:

24.（2021•浙江高一单元测试）设aGR,且（a+炉,•为正数，则.

【答案】-1

【解析】

利用（a+i）2为正数可得该复数为正实数，从而可求实数。的

值+i=（/+2ai—lji=-2a+（/_］）j,

a2-1=0

因为该复数为正数且aeR,故｛，故a=—l,

-2a>0

故答案为：一1.

25.（2021•浙江高一期末）若复数z=（/-□）+5（J是虚数单位，aeR）是纯虚数，则。=

【答案】1

【解析】

-2

/7\.a—。二0

根据纯虚数的概念列式即可计算.•••z=（/-a）+s是纯虚数，*0，解得。=1.

故答案为：1.

26.（2021•浙江高一期末）已知复数Z1,Z2满足Z2%=1,y-=l+V3i,则对于任意的/eR,上4+z2|的最

小值是.

【答案】立

2

【解析】

先设出Z2=a+bi,根据题意得到㈤="2+/=1,Z）=（l+V3zj-z2,代入归1+Z2I化简得到

，Z]+=Jdx'+；）+5,即可求出|Z]+z?]的最小值.解：设z?=a+初，

则z2=a-bi，

又.：z旦?=（6f+Z?z）-（6z-/?z）=a2+b2-1,

22

/.|z2|=a-^-b=1，

•/—=1+>/3i,

Z2

・，.4=（1+而）2,

・二匕+zi\

=^1+V3zj-z2+z2

=［（1+后）+1限|

=卜（1+网+1

=14/+2/+1

,:tGR,

.•.当/=_［时，\fZ+z21.=A/4xf——+—=^~.

11

421mmYI44J42

故答案为：正.

2

27.（2021•浙江高一期末）设复数z满足|z—4—2"=百，则|z|的最大值为.

【答案】3行

【解析】

设2=%+9,（%/€氏），依题意可得|（X—4）+（y-2川=6,根据复数模的计算公式可得

（x—4）2+（y—2p=5,即可得到复数z在复平面内的点的轨迹方程，从而求出复数z的模的最大值；解：设

z=x+yi,（x,yeR）在复平面内所对应的点为（x,y）,因为|z-4-2i|=6,所以|x+9一4-2/[=6,

即|（》—4）+（丁一2川=6,即（%一4）2+（>一2）2=5,即复数2在复平面内所对应的点表示以（4,2）为圆心,

石为半径的圆，则|Z|M="2+2?+口=3君

故答案为：375

(4-8i)2_(~4+8i)

28.（2020•宁波市北仑中学高一期中）化简

VTT-T7z

。={z||z+1+\/3i|=1,zGC）>则Iz|的最小值和最大值.

【答案】-113

【解析】

根据复数的代数形式的除法、乘方运算法则计算可得，根据复数的几何意义得到Z的轨迹，即可得到|z|的最值;

2012.

(4-8Z)2-(-4+8Z)

十后3

(4-8Z)2-(4-8/)

V2V2

_（八10°6_"Of,_-251x4+2_-2_,

—）—I—1—i

设z=x+yeR）,因为£）={z||z+1+^i|=1,zeC}

即卜+yi+1+Gz[=1

根据复数的几何意义可知。={z||z+l+J§i|=l,zeC}表示以（-1,一G）为圆心，1为半径的圆上的点集，

则="-1）2+卜可+1=3.|z|mjn=“―l[+f—1=1，

故答案为：一1；1；3.

【点睛】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，也考查了复数模的求法与几何意义，是中档题.

29.（2021•浙江高一期末）若复数z满足|z—G+il,,1，则卜+6-24（i为虚数单位）的最小值为.

【答案】V21-1

【解析】

设2=。+4,4,人€/?,由|z—6+i|,,1，知点。（。力）在以为圆心，1为半径的圆上及圆的内部,

|Z+73-2Z|=J（a+我2+（8_2）2表示点pg,b）与点8（-6,2）的距离，数形结合即可得到答案.设

z=a+bi,a,b&R,由|z-+i1可得（a+3+1『＜1,此式表示复平面上

的点P（a,加在以4、四,一1）为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，

卜+石—2z]=J（a+舟+3-2）2,此式表示点「色力）与点§（一代,2）的距离，

故PB*=—1=J（2石I+32—]=后八

所以卜+6-24的最小值为后■一1.

故答案为：V2T-1

【点睛】

本题考查复数的几何意义，考查学生数形结合思想以及数学运算求解能力，是一道中档题.

30.（2021•浙江高一期末）在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别为巴，-2+"0,则第四个顶

1-z

点对应的复数为.

【答案】-l+3i

【解析】

化简复数出为。+方的形式，设出第四个点的坐标和写出前三个点的坐标，根据这四个点构成正方形，则平

1-1

行的一对边对应的向量相等，写出一对这样的向量，坐标对应相等，得到所设的坐标，得到结

m3+z_(3+z)(l+z)2+4/

果.----=-----------=------=l+2i

1-z(l-z)(l+z)2

设复数Z=l+2z；z2=-2+z,z3=0,它们在复平面上的对应点分别是A,B,C.

A(l,2),8(—2,1),C(0,0)

设正方形的第四个顶点对应的坐标是D(x,y),

*'•AD=在，

(x-Ly-2)=(-2,1),

x—1=—2,y—2=1,

x=-1,y=3

故答案为一1+37.

【点睛】

本题考查复数与复平面中的点的对应，根据复数对应的点所在的位置，判断四条边的位置关系，本题结合复数与

点对应，复数与向量对应，是一个很好题目.

31.(2021•全国高一课时练习)复数4=-l+2i,z2=l-z,Z3=3—2i,它们所对应的点分别为A、B、C，

若=*(x,ye7?),则)=.

【答案】4

【解析】

根据已知条件可得出Z3=X4+yz2,根据复数相等可得出关于X、解出这两个未知数的值，即可得解.由题

意知3—2i=x(—l+2i)+y(l—=(y—x)+(2x—,

y-x=3fx=1v

由复数相等知c，解得〈，，因此，上=4.

2x-y=-2[y=4x

故答案为：4-

32.(2021•全国高一■课时练习)复数z=(2w72+3z)+(;n—w20+(—1+2加),/nWR,若z为纯虚数，则m等于.

【答案】g

2

【解析】

由已知条件，得到复数z的代数形式，根据z为纯虚数，求，九由题设，知：z=（2浮+m—1）+（3—浮+2"。，是纯

虚数，

2m2+，〃­1=01

•1-5,,解得加=二.

3-m~+2mw02

故答案为：一.

2

33.（2021・上海高一课时练习）下列命题，是真命题的有

①两个复数不能比较大小；

②若x,yCC,x+yi=l+i的充要条件是尸户1；

③若实数。与山对应，则实数集与纯虚数集一一对应；

④实数集相对复数集的补集是虚数集.

【答案】④

【解析】

举例说明①③错误；由两复数相等的充要条件说明②错误；由集合间的关系说明④正确.解：对于①，若两个复数

为实数，则能比较大小，故①错误；

对于②，当且仅当x,yGR,x+yi=l+i的充要条件是x=y=l,故②错误；

对于③，当。=0时，0i=0不是纯虚数，故③错误；

对于④，实数集和虚数集构成复数集，所以实数集相对复数集的补集是虚数集，故④正确.

故答案为：④.

34.（2020.全国高一课时练习）在复平面内，等腰直角三角形OZ/2以OZ2为斜边（其中。为坐标原点），若Z2

对应的复数Z2=l+后,则直角顶点Z\对应的复数4=.

r发玄11+GV3—1.1->/31+G.

【管元】------+------2或------+------1

2222

【解析】

根据复数的几何意义由Z2=l+gi，得到上|=2,点Z?的坐标为设点Z］的坐标为（x,y）,再根据

三角形OZZz是以OZ2为斜边的等腰直角三角形，则有西上有西卜辛|西卜逝，再运算求解..

因为z2=l+百3

所以区|=2,点Z?的坐标为(1,6).

设点Z1的坐标为(x,y),

则Z2Z1

由题意得,|西卜今西|="

。4±z2z,,

x2+y~=2c

所乂x(x-l)+'('―班)=0

1+61-V3

X-x=

22

解得＜或.

\/3—11+V3

)'=y=

22

所以复数1苧•或1

故答案为「=¥+铝，•或子+臂,，

【点睛】

本题主要考查了复数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

四、解答题

35.(2021•浙江高一期末)若复数Z1满足(Z]-2+i)(l+i)=l-i(i为虚数单位)，复数Z2的虚部为2,且ZE2

是实数.

(1)求4的模长;

(2)求z2.

【答案】(D272：(2)Z2=2+2Z.

【解析】

(1)利用复数的四则运算直接化简已知等式可求得4,由模长运算可求得结果;

(2)设Z2=a+万，由Z]Z2为实数可知ZR2的虚部为零，构造方程求得“，进而得到Z2.(1)

•.­(zl-2+z)(l+z)=l-z,.-.z,=—+2-z=-i+2-z=2-2z,

1+i

.•.|Zi|=V4+4=2^:

(2)设Z2=a+2i,则Z|Z2=(2—2i)(a+2i)=(2«+4)+(4—2a)i,

•.•2逐2为实数，；.4—24=0,解得：a=2,：.z2=2+2i.

八兀

36.(2021•浙江高一单元测试)已知复数zi=m+(4—Z2=2cos6+(2+3sin8)i,A,相£R,夕£0,—,zi

=Z2，求2的取值范围.

9

【答案】——,1

16

【解析】

利用复数相等，建立方程，转化为7=4sin2。一3sin仇利用sin。£[0,1],求丸的取值范围.由zi=Z2,九团£R,

m=2cos夕，

可得《9

4一行=2+3sin0,

整理，得力=4sin2。一3sin0=4(sin8—--

I816

-2i

,:0,-.,.szn<9e[0,1],AzG

216'

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是利用实部和虚部对应相等后，得到2=4sin2。-3sin仇转化为关于sin。的取值范围求

4的取值范围.

37.(2021•浙江高一单元测试)实数x分别取什么值时，复数z=(f+%_6)+12-2%—15＞对应的点Z在:

(1)第三象限；

(2)直线x-y—3=0上.

【答案】(1)-3<x<2；(2)x=-2.

【解析】

x2+x—6<0

(1)由题意可得《即可求解;

X2-2x-15<0

(2)找出复数对应的点的坐标，代入直线的方程即可求解.因为x是实数，所以X2+%一6，V—2x—15也是

实数.

x2+x-6<0f-3<x<2

(1)由题意可得《即《

%2—2,x-15<0—3<x<5

解得：一3<x<2

即当一3<x<2时，点Z在第三象限.

(2)z-+x—6)+(x~—2x-15)i对应点Z(x?+x—6,—2x—15^,

由题意可得X?+x—6—(x?—2x—15)—3=0,

整理可得：3x+6=0,

解得：x=—2>

即当x=—2时，点Z在直线x-y-3=0上.

38.(2021•浙江高一单元测试)在复平面内的长方形A3CO的四个顶点中，点A，B,C对应的复数分别是

2+3K3+23-2-3i,求点。对应的复数.

【答案】-3-2;

【解析】

根据复数的几何意义，先设加=(x,y),由而=配列出方程组求解，得出X，)，即可求出其对应的复数.

_____UUU_____

由题意得。4=(2,3),05=(3,2),OC=(-2,-3).

设历=(x,y),则亚=(x—2,y—3),5C=(-5,-5).

由题意知，AD=BC>所以《，则《一，

y-3=-5[y=-2

故点。对应的复数为一3—2匚

39.(2021・浙江高一单元测试)已知复数z=(l+ai)(l+i)+2+4i(aeR).

(1)若z在复平面中所对应的点在直线x—y=0上，求a的值；

(2)求|z-l|的取值范围.

【答案】(1)a=-l；(2)^—,+oo.

L2)

【解析】

（1）化简Z,得Z在复平面中所对应的点的坐标，代入直线x-y=O计算；（2）代入模长公式表示出|z一1|,

再利用二次函数的性质求解最值即可.（1）化简得z=（l+az）（l+i）+2+4i=（3—a）+（a+5）i,所以z在复

平面中所对应的点的坐标为（3—a,。+5）,在直线x-y=O上，所以3—。一（。+5）=0,得。=一1.

(2)|z—1|=|(2—a)+(a+5舛=J(2—a)?+(a+5/=J2a?+6a+29，因为aeR，

且2a2+6a+29N5,所以|z-l|=J2a?+6a+292苧,所以|z-l|的取值范围为701

亍,+：.

40.（2021•浙江高一期末）已知复数4=1-21,Z2=3+4i,i为虚数单位.

（1）若复数马+422,在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围;

Z]

（2）若z=」，求z的共辄复数

Z2

【答案】（1）（—,一）；（2）---1—i

3255

【解析】

（1）化简复数Z1+az2=（l+3a）+（4a-2）i,再由复数4+az2在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式

组，即可求解；

（2）由复数的除法运算法则，化简得z=-；-|i,再根据共朝复数的概念，即可求解.（1）由题意，复数

z,=1-2z,z2=3+4/,

则Z1+az?=1—2z+Q(3+4z)=(1+3a)+(4a—2)z

因为复数4+QZ2在复平面上对应的点在第四象限,

1+3。＞0解得一：＜a＜1,

所以＜

4。-2Vo32

即实数a的取值范围(一L1).

32

⑺由“4=1-2i(J2i)(3-旬—5-10J12

z23+4z(3+4z)(3-4z)2555

所以彳=

55

【点睛】

与复数的几何意义相关问题的一般步骤：

（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；

（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数a+4与复平面上的点勿一一对应,

列出相应的关系求解.

z

41.（2021•浙江高一单元测试）已知复数z「z2满足|Z||=J7+1、|z,|=V7-1,且|Z1-Z2l=4,求」与

Z2

I4+Z2I的值.

【答案】人:土上Hi,Iz+z,|=4.

z23

【解析】

设复数Z］、Z2在复平面上对应的点为Z|、Z2,从模长入手，可以得到上F+卜2|2^Z］—Z2『，进而得到以区、

oz［为邻边的平行四边形是矩形.设复数Z1、z2在复平面上对应的点为4、z2,

由于（0+1）2+（77—1）2=42,

故,I|2+卜2/=|Z|-Z2I2,

“y

P

Z2--------二4

故以oZ；、区为邻边的平行四边形是矩形，从而西J_区，

A+也乜=+d=/+出

则|Z]+Z21=1Z,-Z2I=4,=

【点睛】

万1

本题的易错点在幺=±可上，，原因是4/2可以交换位置，所以这个取正负值均可.

z?V7-1

42.（2021•浙江高一期末）已知复数z=（/〃-1）+（2加+l）i（〃？eR）

（1）若z为纯虚数，求实数机的值;

（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数，”的取值范围及忖的最小值

3亚

【答案】（1）1；（2）me