2025届黑龙江省双鸭山市尖山区第一中学高二上数学期末统考模拟试题含解析

2025届黑龙江省双鸭山市尖山区第一中学高二上数学期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则AN与BM所成角的余弦值为（）A. B.C. D.2．接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法，我国自2021年1月9日起实施全民免费接种新冠疫苗并持续加快推进接种工作．某地为方便居民接种，共设置了A、B、C三个新冠疫苗接种点，每位接种者可去任一个接种点接种．若甲、乙两人去接种新冠疫苗，则两人不在同一接种点接种疫苗的概率为（）A. B.C. D.3．总体有编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取3个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B.02C.63 D.144．若函数，则（）A. B.C.0 D.15．若等比数列中，，，那么（）A.20 B.18C.16 D.146．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m，深度为0.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（）A.1.35m B.2.05mC.2.7m D.5.4m7．已知，且，则的最大值为（）A. B.C. D.8．椭圆＝1的一个焦点为F，过原点O作直线（不经过焦点F）与椭圆交于A，B两点，若△ABF的面积是20，则直线AB的斜率为（）A. B.C. D.9．设，则“”是“直线与直线”平行的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件10．过点A(3，3)且垂直于直线的直线方程为A. B.C. D.11．一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A.5800 B.6000C.6200 D.640012．已知关于的不等式的解集是，则的值是（）A B.5C. D.7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数x，y满足方程，则的最大值为_________14．函数，若，则的值等于_______15．已知函数，则曲线在处的切线方程为___________.16．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，，则其“欧拉线”的方程为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.18．（12分）如图，扇形AOB的半径为2，圆心角，点C为弧AB上一点，平面AOB且，点且，面MOC（1）求证：平面平面POB；（2）求平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值的大小19．（12分）已知数列的前项和为，且，（1）求的通项公式；（2）求的最小值20．（12分）已知椭圆上的点到左、右焦点、的距离之和为4，且右顶点A到右焦点的距离为1.（1）求椭圆的方程;（2）直线与椭圆交于不同两点，，记的面积为，当时求的值.21．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧棱底面ABCD，，，E为PB中点，F为PC上一点，且（1）求证：；（2）求平面DEF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值22．（10分）（1）某校运动会上甲、乙、丙、丁四名同学在100m、400m、800m三个项目中选择，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）若甲、乙、丙、丁四名同学选报100m、400m、800m三个项目，每项均有一人报名，且每人至多报一项，共有多少种报名方法？（3）若甲、乙、丙、丁名同学争夺100m、400m、800m三项冠军，共有多少种可能的结果？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】构建空间直角坐标系，根据已知条件求AN与BM对应的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示求AN与BM所成角的余弦值.【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，∴，，，，∴，，∴，所以AN与BM所成角的余弦值为.故选：D2、C【解析】利用古典概型的概率公式可求出结果【详解】由题知,基本事件总数为甲、乙两人不在同一接种点接种疫苗的基本事件数为由古典概型概率计算公式可得所求概率故选:3、D【解析】由随机数表法抽样原理即可求出答案.【详解】根据题意，依次读出的数据为65（舍去）,72（舍去）,08,02,63（舍去）,14，即第三个个体编号为14.故选：D.4、A【解析】构造函数，再用积的求导法则求导计算得解.【详解】令，则，求导得：，所以.故选：A5、B【解析】利用等比数列的基本量进行计算即可【详解】设等比数列的公比为，则，所以故选：B6、A【解析】根据题意先建立恰当的坐标系，可设出抛物线方程，利用已知条件得出点在抛物线上，代入方程求得p值，进而求得焦点到顶点的距离.【详解】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系xOy，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点O重合，焦点F在x轴上设抛物线的标准方程为，由已知条件可得，点在抛物线上，所以，解得，因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为1.35m，故选：A.7、A【解析】由基本不等式直接求解即可得到结果.【详解】由基本不等式知；（当且仅当时取等号），的最大值为.故选：A.8、A【解析】分情况讨论当直线AB的斜率不存在时，可求面积，检验是否满足条件，当直线AB的斜率存在时，可设直线AB的方程y＝kx，联立椭圆方程，可求△ABF2的面积为S＝2代入可求k【详解】由椭圆＝1，则焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，不妨取F(5,0)①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝0，此时AB＝4，＝AB•5＝×5＝10，不符合题意；②可设直线AB的方程y＝kx，由，可得(4+9k2)x2＝180，∴xA＝6，yA＝，∴△ABF2的面积为S＝2＝2××5×＝20，∴k＝±故选：A9、D【解析】由两直线平行确定参数值，根据充分必要条件的定义判断【详解】时，两直线方程分别为，，它们重合，不平行，因此不是充分条件；反之，两直线平行时，，解得或，由上知时，两直线不平行，时，两直线方程分别为，，平行，因此，本题中也不是必要条件故选：D10、D【解析】过点A(3，3)且垂直于直线的直线斜率为，代入过的点得到.故答案为D.11、D【解析】解：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴当另外两名员工的工资都小于5300时,中位数为(5300+5500)÷2=5400，当另外两名员工的工资都大于5300时,中位数为(6100+6500)÷2=6300，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400,6300]，∴8位员工月工资的中位数不可能是6400.本题选择D选项.12、D【解析】由题意可得的根为，然后利用根与系数的关系列方程组可求得结果【详解】因为关于的不等式的解集是，所以方程的根为，所以，得，所以，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】设，根据直线与圆的位置关系即可求出【详解】由于，设，所以点既在直线上，又在圆上，即直线与圆有交点，所以，，即故答案为：14、【解析】对函数进行求导，把代入导函数中，化简即可求出的值.【详解】函数.故答案为：.15、【解析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程【详解】解：∵，∴，又，∴曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：.16、【解析】由题意知是直角三角形，即可写出垂心、外心的坐标，进而可得“欧拉线”的方程.【详解】由题设知：是直角三角形，则垂心为直角顶点，外心为斜边的中点，∴“欧拉线”的方程为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、见解析【解析】将代入式子，得到，，进而进行化简，最后通过基本不等式证明问题.【详解】∵，，，∴，.∴＝，当且仅当，即时取“＝”18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接，设与相交于点，连接MN，利用余弦定理可求得，，的长度，进而得到，又，由此可得平面，最后利用面面垂直的判定定理即可得证；（2）建立恰当空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后利用向量法求解二面角的余弦值，从而即可得答案【小问1详解】证明：连接，设与相交于点，连接MN，平面，在平面内，平面平面，，，，在中，由余弦定理可得，，，又在中，，由余弦定理可得，，，故，又平面，在平面内，，又，平面，又平面，平面平面；【小问2详解】解：由（1）可知直线，，两两互相垂直，所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，，设平面的一个法向量为，则，可取；设平面的一个法向量为，则，可取，，平面与平面所成二面角的正弦值为19、（1）（2）【解析】（1）由可求得的值，由可求得数列的通项公式；（2）求得，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.【小问1详解】解：由题意可得，解得，所以，.当时，，当时，，也满足，故对任意的，.【小问2详解】解：，所以，当或时，取得最小值，且最小值为.20、（1）（2）【解析】（1）根据题意得到，，再根据求解即可.（2）首先设，，再根据求解即可.【小问1详解】由题意，，因为右顶点到右焦点的距离为，即，所以，则，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】设，，且根据椭圆的对称性得，联立方程组，整理得，解得，因为的面积为3，可得，解得.21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）依题意可得，再由，即可得到平面，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可；（2）利用空间向量法求出二面角的余弦值；【小问1详解】证明：因为平面，平面，平面，则，，又，因为，，平面，所以平面，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，，所以，则，所以，故；【小问2详解】解：解：因为，设平面的法向量为，则，即，令，则，，故，因为底面，所以的一个法向量为，所以，故平面与平面夹角的余弦值为22、（1）81种；（2）24种；（3）64种【解析】（1）利用分步计数原理可求报名方法总数.（2）利用分步计数原理可求报名方法总数.（3）利用分步计数原理可求报名方法总数.【详解】（1）要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因