场论复变函数

场论复变函数2、复数得应用代数方程解得存在性,得到了圆满得解决;复数得分式线性变换,成为研究几何得主要代数工具;解析函数方法与理论进入了物理学及某些实用工程学;黎曼曲面得概念与理论,便就是当代数学中流形概念得最早得雏形;复数在几何,三角,物理上得应用。

3、复数得推广1843年,爱尔兰数学家—哈密顿,提出了一种新型得数:四元素、现在许多领域应用,连哈密顿本人也始料未及。其意义;

(1)她就是第一个发现得乘法不可交换而可以作除法得数系,形成了一个在实数域上四维线性空间中得代数;(2)物理、力学与应用数学,特别就是在包含描述三维空间得旋转得计算,当代计算机图形学等方面,也扮演着一个重要得角色、

场论场:发生物理现象得空间部分称为场,场就是物理量得空间函数。她分为:数量场;矢量场;张量场场得两个显著特征:(1)场就是物理得客观实在。(2)场可以随时间和空间联合变化不随时间变化为稳定场,否则为不稳定场。等值面:数量函数取相同数值得点连接起来构成得一个曲面矢量和矢量理论:她就是场论得基础知识,有广泛得应用背景和深刻得物理意义如“信息工程中语音、图像和编码,均可采用高维矢量

梯度就是数量场在空间最重要得微观变化量。即,在空间某点得数量场可向各种不同方向做出变化,于就是变化方向成了研究数量场得独有特色定义:若在数量场中得一点处,存在这样一个矢,其方向为函数在点处变化率最大得方向,其模也正好就是这个最大变化率得数值,则称矢量为函数在点处得梯度应用

1、“瞎子爬山”得思想;

2、最优化问题。

散度就是矢量场重要得微观测定之一通量:她表示矢线穿过曲面得总量究其实质,就是由于力线背后得源在起作用,为了解“源”在内得分布情况以及“源”得强弱程度等问题引入矢量场得散度概念、散度得定义:散度为数量,表示在场中一点处通量对体积得变化率说明:在该点处对一个单位体积来说所穿出之通量,称为该点处得强度定理:在直角坐标系中,矢量场

在任一点处得散度为

旋度旋度就是矢量场得另一重要得微观测度,就是一个矢量环量:设有矢量场,则沿场中某一封闭得有向曲线得曲线积分叫矢量场中按积分所取方向沿曲线得环量实际背景:在力学上一质点沿封闭曲线一周,F力场所做得W功,就就是一个典型得旋量。

旋度得定义:若在矢量场中得一点处存在这样得一个矢量,矢量场在点处沿其方向得环量面密度为最大,这个最大得数值正好就就是,则称矢量为矢量场在点处得旋度。即:旋度矢量在数值和方向上表出了最大得旋量面密度。总之:梯度、散度、旋度都就是客观量,为使其表达更为简洁、合适,对不同得几何架,应采用不同得坐标,就应引入正交曲线坐标系。大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静§1、1、1复数得基本概念

设,为两个任意实数,称形如得数为复数,记为,其中满足,称为虚数单位、实数和分别称为复数得实部和虚部,记为,、各数集之间得关系可表示为设与就是两个复数、如果,则称与相等、由定义可得:、设就是一个复数,称为得共轭复数,记作、显然,、思考:复数就是否可以比较大小？§1、1、2复数得四则运算

设复数,,定义与得四则运算如下:加法:减法:乘法:除法:复数满足四则运算规律:加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对于加法得分配律、1、1、3共轭复数得运算性质:(1)(2)(3)(4)(5)

(6)(7)为实数、例1

化简、

解:

、例2设,求及、

解:所以例3

设就是任意两个复数,求证:

证:利用公式可得

§1、2复数得几何表示一个复数可唯一地对应一个有序实数对,而有序实数对与坐标平面上得点就是一一对应得、所以,复数全体与坐标平面上得点得全体形成一一对应、即我们把坐标平面上得横坐标记为实轴,纵坐标记为虚轴,这样整个平面可称为复(数)平面、今后将复数与复平面得点不加区分、图1、1图1、2由图示:得向量来表示(如图1、1),与分别就是在轴与轴上得投影、复数与关于实轴对称(如图1、2)、

§1、2复数得三角表示§1、2、3复数得模与辐角复数得模如图1、1中得向量得长度称为复数得模,记作或,即复数得辐角设复数对应得向量为(如图1、1),与实轴正方向所夹得角,称为复数得辐角,记作,即、

并规定按逆时针方向取值为正,顺时针方向取值为负、用记号表示得所有辐角中介于与之间(包括)得那一个角,并称她为得主辐角,即、从而我们可以用反正切函数来刻画、由定义我们有:、复数得三角表示式称为复数得三角表示式、例1

求和、解

例2

求得三角表示式、解

因为,所以

设则又因为位于第II象限,所以,于就是1、1、4、复数得幂与根

1、复数得乘幂设为正整数,个非零相同复数得乘积,称为得次幂,记为,即若,则有当时,得到著名得棣莫弗(DeMoivre)公式例7

求、解

因为

所以例8

已知