广东省某中学2024-2025学年高三年级上册8月月考数学试题

2024-2025学年度第一学期8月月考

高三数学试题2024.08

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合Z={x|x2_4go},B={x\lx+a<Q},J=LAC\B={x|-2<x<l},则a=()

A.-4B.-2C.2D.4

2.若。：实数。使得“丸,eR,x；+2x°+a=0”为真命题，q：实数。使得“Vxe[0,+功,2,-a>0”为

真命题，则。是g的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知函数〃x)=x2_2(aT)x+a,若对于区间[-1,2]上的任意两个不相等的实数%,马,都有

/(力/㈤,则实数a的取值范围是()

A.(—co,0]B.(-8,°)C.D.[3,+oo)

4.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要

求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界

的乘用车的发展方向.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年尸e欣e%

提出铅酸电池的容量C、放电时间/和放电电流/之间关系的经验公式：C3,其中尤为

与蓄电池结构有关的常数(称为尸改船〃常数)，在电池容量不变的条件下，当放电电流

为15A时，放电时间为30h；当放电电流为50A时，放电时间为7.5h,则该菩电池的尸e欣

常数2约为()(参考数据：lg2«0.301,lg3«0.477)

A.1.12B.1.13C.1.14D.1.15

2

5.已知x>0/>0,且2x+y=l,则,+”的最小值为()

xy

A.4B.4V2C.4V2+ID.2V2+I

6.函数/(x)Jn(x+GB的图象大致为()

x-cosx

高三数学8月月考试卷第1页，共4页

7.设函数/(尤)=1%|尤|--，则不等式〃》-2经/(2》+2)的解集为()

A.[-4,0]B.[-4,0)C.H,-l)u(-l,0]D.[-4,-l)u(-l,0)

8.已知可导函数/⑺的定义域为R,/仁-1)为奇函数，设g(x)是/⑴的导函数，若g(2x+l)

110

为奇函数，且g(0)=：，则Z像(24)=()

2k=\

413-13-11-11

A.—B.--C.—D.--

LLL乙

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

log21M0<Ixl<1

9.已知函数〃x)=u,,,'',则下列说法正确的是()

|4-x|,|x|>l

A.〃x)为偶函数B.函数有4个零点

C.函数/⑴在(0,+8)上单调递增D.函数k/(/卜))-5有6个零点

10.函数/(%)=--+"-6g(工)=工+4,若对任意占e(0,+co),存在乙e(-8，T],使得了(xJVgH),

则实数。可能的取值为()

A.4B.5C.6D.7

11.函数为定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)=e^(x-l),下列结论正确的有()

A.当x<0时，/(x)=eA'(x+l)

B.函数有且仅有3个零点

C.若机则方程/(x)=加在x>0上有解

D.曾1,工2©尺，|/(%)-/(匹)|<2恒成立

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.质点M按规律s«)=(r-l)2做直线运动(位移单位：m,时间单位：s),则质点〃在r=3s

时的瞬时速度为.

13.若曲线y=ln.，+2x在丫=1处的切线恰好与曲线y=e，+a也相切，则。=.

14.设函数"x)=£T(x+21nx+3恰有两个极值点，则实数/的取值范围为.

XX

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.(13分)在ZUBC中，已知内角A,B,C所对的边分别为。，be,且满足

2(csinC-bsinCcos/)=csmA.

(1)求角8的大小；

(2)若4sin/=G，求的最大值.

高三数学8月月考试卷第2页，共4页

16.（15分）如图，在直角梯形Z5CO中，ABHDC,ZABC=9Q°,AB=2DC=2BC,E为AB

的中点，沿。£将折起，使得点Z到点尸位置，且尸M为08的中点，N

是5c上的动点（与点8,C不重合）.

（1）求证：平面瓦切\」平面尸8C；

（2）是否存在点N,使得二面角8-EN-/的余弦值如？若存在，确定N点位置；若不存

6

在，说明理由.

17.（15分）刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”

的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安

全感问卷进行调查（问卷得分在40〜100分之间），并从参与者中随机抽取200人.根据调查

结果绘制出如图所示的频率分布直方图.

（1）据此估计这200人满意度的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：

方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为:

从装有8个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一

次性摸出3个球，若摸到3个红球，返消费金额的20%；若摸到2个红球，返消费

金额的10%,除此之外不返现金.

方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动,

根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有J的概率享受8折优惠，有;的概率享受9

折优惠，有;的概率享受95折优惠.现小张在该超市购买了总价为1000元的商品.

高三数学8月月考试卷第3页，共4页

①求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；

②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精

确到0.1）

18.(17分)已知函数/(x)=e'+("l)x-l,其中aeR.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)当0>1时，证明：/(x)>xlru-acosx.

22

19.（17分）已知双曲线E：♦-与=1（。＞0,6＞0）的左，右焦点分别为耳，工，离心率为2,点

ab

3为（0/）,直线愿与圆方+7/-12=0相切.

（1）求双曲线E方程；

（2）过月的直线/与双曲线E交于M,N两点，

①若丽=2可（1＜力＜3）,求的面积取值范围：

②若直线/的斜率为左，是否存在双曲线E上一点。以及x轴上一点尸，使四边形PMQN

为菱形？若存在，求出产；若不存在，请说明理由.

高三数学8月月考试卷第4页，共4页

2024-2025学年度第一学期8月月考

高三数学参考答案

1.B【详解】求解二次不等式炉-4《0可得：A={x\-2<x<2},求解一次不等式2x+aW0可得:

5=由于4c3={x|-2WxVl},故：-"1=1，解得：〃=-2.故选：B.

2.A【详解】因为P：实数。使得“3°eR芯+2x°+a=0”为真命题，所以/+2x+〃=0有解，

所以A=4-4a20,解得aVl,即p:a〈l；因为4：实数。使得“V龙e-a>0”为真命

题，所以Vxe[0,+8),2*>。，由指数函数的图象和性质可得,即夕：4<1,所以。分0,

q=P,即。是4的必要不充分条件，故选：A

3.C【详解】二次函数/3=/_2m-1口+0图象的对称轴为直线x=a-l,•.•对于任意4马」-1,2]

且玉f，都有/(再)片/(》2),即/(X)在区间都,2]上是单调函数，a-iv-l或aTN2,aWO

或。之3,即实数a的取值范围为(-叫0]口[3,+。).故选：C.

4.D【详解】由题意知。=15隈30=50隈7.5,所以[义丫=迎=4,两边取以10为底的对数，

<15)7.5

得Rg?=21g2,所以2=笔名等券”15.故选：D.

31—lg31—U.H-//

5.D【详解】"=义+'=』+立立=1T021+2F^=2^+1,当且仅当上=空，即

xyxyxyxy\xyxy

/=&-1,尤=1-9时，等号成立.故选：D.

6.A【详解】•.•令g(x)=--cosx,x>0时，/是递增的，cosx在(0产)上递减,则有g(x)在(0,万)

上单调递增，而g(O)=-l,g⑴=1-COS1>。，所以存在修€(0,1)使得g®)=0,.•・/(X)中

xeR,x^x0,排除C、D,..rq时〃x)>0,排除B,所以选A.故选：A

7.C【详解】函数/(x)=bg2R-婷的定义域为{x|xw0},且

-2-2

/(-x)=log2|-x|-(-x)=log2|x|-x=/(x),所以/(x)=log22为偶函数，当x>0时

2

/(x)=log2x-x-,因为y=唾2%与y=一婷在(o,+e)上单调递增，所以/(x)=log2尤-/在

(0,+。)上单调递增,则/(x)在(-叫。)上单调递减，不等式〃x-2”〃2x+2),即

|x-2|>|2x+2|

/(|x-2|)>/(|2x+2|),等价于，x-2w0,解得一44x<T或-1<X40,

2x+2w0

所以不等式的解集为T,T)5T,0].故选：C

8.D【详解】因为了停-”为奇函数，则/停-1]=-

即—/“1),两边求导得r(i)=r("),则g(xT=g“i),可知g(x)关

于直线X=-1对称,又因为g(2x+l)为奇函数,则g(2x+l)+g(-2x+l)=0,即

答案第1页，共6页

g(x+l)+g(r+l)=O,可知g(x)关于点。0)对称，令％=1,可得g(2)+g(0)=0,即

g(2)=-g(0)=-1,由g(x-l)=g(-尤-1)可得g(x)=g(-x-2),由g(x+l)+g(-x+l)=0,可得

g(x)+g(-x+2)=0,即g(x)=-g(-x+2),可得g(-x-2)=-g(-x+2),即g(x+4)=-g(_r),令

x=0,可得g(4)=-g(0)=-；；令x=2,可得g(6)=-g(2)=g；且

g(x+8)=-g(x+4)=-［-g(x)］=g(x),可知8为g(x)的周期，可知

g(8左+2)=g(84+4)=—g,g(8左+6)=g(8左+8)=；,左eZ,所以

101111

^^(2A:)=--(l+2+5+6+9+10)+-(3+4+7+8)=--.故选：D.

斤=1222

log7Ixl,0<|x|<l,i/

9.AD【详解】解：因为/'(x)=上1忖；，函数图象如下所示：\,I

4函数两段均为偶函数，所以整个函数也为偶函数B令/(尤)=。，\/

解得x=±2C〃x)在(1,2)上单调递减.D〃/(x))=5,即H/J\\

,-尸(到=5,且〃⑺,1,解得〃x)=±3,则/⑴=3,即|4-/卜3,」［丫：］户

解得x=±l,或者x=±g；/«=-3,即皿2国=一3解得x=±(.故\/

选：AD邓

10.ABC【详解】对任意演e(0,+°°),存在三使得/(xjVgH),只需保证/(x)在(0,+8)

上值域是g(X)在上值域的子集或/'(x)max<g(x)ra„,g(x)在(f-l］上g(x)单调递增，

故g(x：U=g(T)=T+4=3,〃x)开口向下且对称轴x=会

当了。时，/(x)</(0)=-6,此时/(x)Wg(M恒成立；

22

当£>0时，/(X)max=/(j)=^-6,此时?一6W3即可，可得0<aV6.综上，aV6.故选：ABC

11.ABD【详解】解：对于A.函数/(x)为定义在R上的奇函数，当x<0时，-x>0,

f(^)=-f(-x)=-ex(-x-1)=(x+1),故A正确；对于B.当x>0时,/(x)=e"Y(x-l)=0,解

得x=l,x<0时，f(x)=e，(x+l)=0,解得x=-l,又〃0)=0,所以/'⑺有±1和0三个零

点，故B正确；

对于C.当x<0时，/(x)=^(x+l),八x)=e*(x+2),当x<-2时,/'(x)<0,/(x)递减,

-2<x<0时，r(x)>0,/(x)递增，.*.x=_2时，〃x)极小值=/(-2)=p-2=_g,x->0+时，

xf(r,由/(x)是奇函数，.•.x=2时，〃尤)极大值=〃2)=±,

/(0)=0,所以“X)的值域是若屋-1时，方程/("=%在x>0时无解,故C错误;

对于D.由C的讨论知T</(x)<l,因此对任意的实数4，%有-1</(网)<1,

.•.-2</(X1)-/(X2)<2,即-〃3)|<2,故D正确.故选：ABD.

12.4m/s【详解】因为s(f)=(I『，所以s()=2(I),所以s，(3)=4,所以质点“在f=3s时

的瞬时速度为4m/s.故答案为：4m/s.

13.-1【详解】对于：y=lnx-x2+2x,可得了='-2x+2,当x=l,则了=L"=1,

答案第2页，共6页

可知曲线V=lnx-x2+2x在x=l处的切线是N=尤；对于：y=Qx+a,可得y'=e"令j/=e，=l

得x=0,由切点(0,0)在曲线y=e*+a上得a=-l.

14.(!，4)^(7+0°)【详解】因为/(x)=^--f(x+21nx+3(x>0),

344xx

所以/'(x)=eJ:-J(+2-]/(X-1)-(「)(x+3)=(xT)[e；4x+3),因为有两个

极值点，所以/3=0恰有两个正根，即尸1为一个根，则e，T(x+3)=0有唯一正根，且xwl,

即/=/—有唯一正根，且xwi,设g(x)=——(x>o),则y=g(X)的图象与>=彳图象有一个交

x+3x+3

b(x+3)-e*e%x+2)

点，g'(x)=,所以xe(0,+8)时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,+8)为增函

(x+3)2(x+3)?

数，又g(0)=g，g(l)=j,因为xwl,所以g(x)R：

所以只需经；且踪：，即可满足题意，

所以实数t的取值范围为4早5/⑹.

15.【详解】(1)因为2(csinC-bsinCcos")=csin4,

由正弦定理得

2sinC(sinC-siii8cos^)=sinCsiih4,.............1分

因为sinC丰0.............2分

2sinC-2sinSco&4=sinX,由三角形的内角和定理得2sin(/+8)-2sinScos/=sinJ,

2sinAcosB+2sin5cosZ-2sin5cos4=siiL4

所以得2cosBsiM=siiU,.............3分

因为siiMwO,............4分

所以解得cosB=；,.............5分

•."©(。㈤，5=j；.............6分

a4

(2)若4sin4=A^z,sin4=忑'.............8分

b_4b_4

由正弦定理得/还=方=国=耳，解得6=2,.............9分

~T

2222

由余弦定理得/+c-2accosB=b9a+c=ac+4,............10分

利用基本不等式可得“C+4224C,所以℃44(当且仅当。=c=2时，取等

号)，...........12分(没有取等条件扣1分)

即这的最大值为4...............13分

16.【详解】解：(1)证明：由0PELED,EBCED=E,

所以尸平面£5CD,.............1分

又8CU平面E5CD,PELBC,XBCLBE,故平面尸£8,.............2分

ENU平面尸£瓦故区..........3分

又等腰三角形尸£8,EMLPB,............4分

BSPB=B,故平面05C,.............5分

答案第3页，共6页

EMU平面EAW,故平面SAW，平面03C；.............6分

(2)假设存在点N,使得二面角8-EN-/的余弦值号.

以E为原点，丽而Q分别为X,了，2轴建立空间直角坐标系，

设PE=EB=2,设N(2,m,0),BQ,0,0),£>(0,2,0),尸(0,

0,2),C(2,2,0),M(l,0,1),由=(1,0,1),丽=(2,0,0),

EN=(2,m,0),........8分

设平面EW的法向量为方=(Q,Z),由;疗二十30

[m.EN=2x+my=0

令X=%得P=(叽-2,-加),........10分

平面的一个法向量为力=(0。1),.............11分

故|cos(方,4=jti=/!°+0­=?,...............

11x26

'|^||«|yjm+(-2)+(~myXVo+o+l

解得：m=l,故存在N为5c的中点...........15分

17.【详解】（1）由直方图可知，满意度的平均数为：

（O.Olx45+0.02x55+0.025x65+0.025x75+0.015x85+0.005x95）x10=68.........3分（式子1分）

（2）①摸到3个红球，返消费金额的20%,实际付款为1000（1-20%）=800；..........4分

摸到2个红球，返消费金额的10%,实际付款为1000（1-10%）=900,.............5分

「3roi1s

所以X的可能取值为800,900,1000,因为P（x=800）=胃=-,P（X=900）=平六-,

^•^8JU

所以尸（丫=1000）=1一尴«,...........8分（每个概率1分）

X的分布列为：

X8009001000

1155

P

56567

............9分

所以E（X）=800x，+900x”+1000x37969.6（元）...........10分

56567

②若选择方案二，记实际付款金额为匕依题意，y的可能取值为800,900,950,.........11分

因为p（y=8oo）=：,p（y=9oo）=；,p（y=95o）=；,............12分

所以，¥的分布列为：

Y800900950

]_j_]_

P

632

............13分

答案第4页，共6页

所以，£1(y)=800X1+900X-+950x-»908.3(元)..........14分

632

因为E(x)>£(y),所以选择方案二付款更划算..........15分

18.【详解】(1)因为〃》)=1+("1"-：1,所以/(x)=e，+a-1,...........1分

当.21时，((x)=e，+a-l>0,函数/(x)在R上单调递增；..........2分

当。<1时，由/[x)=e*+a-l>0,得x>ln(l-a),

函数〃x)在区间(ln(l-a),+“)上单调递增，

由/[x)=e，+("l)<0,得x<ln(l-a),函数/(x)在区间(-oo,ln(l-明上单调递减........4分

综上：当让1时“X)在R上单调递增，当。<1时/'(x)在区间(ln(l-a),+e)上单调递增，在

区间上单调递减。..........5分

(2)要证/(x)>xlnx—acosx,艮|］证e"+1)工一1>xlnx-acosx,xE(0,+。),

即证e》+tz(x+cosx)-x-1-xh\x>0,xG(0,+e),............6分

设左(x)=x+cosx,左'(x)=1-sinx>0,

故左(x)在(0,+8)上单调递增,又左(0)=1>0,所以左(x)>l,............7分

又因为Q>1,所以Q(X+COSX)〉X+COSX,.............8分

x

所以e》+Q(x+cosx)-x-1-xh\x>e+cosx-1-xh\x,.............9分

①当0<xWl时，［3^jex+cosx-l>0,xlnx<0,所以e"+cosx-1-xlnx>0；............10分

②当x〉l时，令g(x)=e"+cosx-xlnx-l,贝ljg'(x)=e'-Inx-sinx-1,............11分

设=则〃(x)=e"----cosx,设加(x)=e*----cosx,则

m'^x)=Qx-\■--+sinx,.........12分

因为X>1,所以加'(x)>0,所以加(x)即/(X)在(1,+s)上单调递增，..........13分

所以〃(x)>%l)=e-l-cosl>0,所以力⑺在。，+8)上单调递增,..........14分

所以〃(x)>Ml)=e-sinl-l>0,即g［x)>0,所以g(x)在(1,+℃)上单调递增，.........15分

g(x)>g(l)=e+cosl-l>0,即e*+cosx-l-xlnx>0...............16分

综上可知