数学三同步训练：数据的数字特征（附答案）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§4数据的数字特征1．某班一次语文测验的成绩如下：得100分的3人，得95分的5人,得90分的6人，得80分的2人,70分的16人，60分的5人,则该班这次语文测验的众数是（）A．70分B．80分C．16人D．10人2．一组数据为168,170,165,172，180,163,169,176,148,则这组数据的中位数是（）A．168B．169C．168。5D．1703．已知容量为40的样本方差s2＝4，则其标准差s等于（)A．4B．3C．2D。eq\r（2)4．已知下列一组数据：10208040309050405040试分别求出该组数据的众数、中位数与平均数．答案:1．A众数即出现次数最多的数．由题意知，该班这次语文测验的众数是70分．故选A.2．B将一组数据按从小到大的顺序依次排列,处在中间位置的一个(或最中间两个数据的平均数）即为该组数据的中位数,所以169是所求的中位数．3．Cs＝eq\r(s2)＝2.4．解：将数据由小到大排列得:10203040404050508090在上面数据中，40出现了3次，是出现次数最多的,所以这组数据的众数为40；最中间的两个数均为40,所以中位数为40;平均数eq\x\to（x)＝eq\f（1，10）（10＋20＋30＋40＋40＋40＋50＋50＋80＋90）＝45.1．下列说法错误的是(）A．一组数据的众数、中位数和平均数不可能是同一个数B．极差、方差和标准差都是刻画数据离散程度的统计量C．一组数据的平均数既不可能大于，也不可能小于这组数据中的所有数据D．众数、中位数和平均数从不同角度描述了一组数据的集中趋势2．期中考试结束以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，若把M当成一个同学的分数,与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N,则eq\f(M,N)等于(）A。eq\f（40,41)B．1C.eq\f（41，40)D．23．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人,得95分的有1人，得90分的有2人,得85分的有4人,得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为…()A．85,85,85B．87，85,86C．87，85,85D．87，85,904．5个数1,2，3,4，a的平均数是3，则a＝______，这5个数的标准差是________．5．在一次歌手大奖赛中，6位评委现场给每位歌手打分，然后去掉一个最高分和一个最低分，其余分数的平均数作为该歌手的成绩．已知6位评委给某位歌手的打分是:9．29。59.49.69。89.5求这位歌手的得分及6位评委评分的众数和中位数．6．从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试,两人在相同条件下各射击10次,命中的环数如下：甲59107478686乙6867795787(1）计算甲、乙两人射击命中环数的平均数和标准差；（2）比较两人的成绩，然后决定选择哪一人参赛．答案：1．A一组数据中，众数、中位数和平均数可能是同一个数，例如数据10,11,11,11，11，11，12的众数、中位数和平均数都是11。故A错．2．B由题意知，全班总分数为40M,若把M看成一个分数，则总分为41M，平均分为：eq\f(41M，41)＝M，也即M＝N.3．C众数、中位数都是85，平均数为eq\x\to（x）＝eq\f(1,10)×(100＋95＋90×2＋85×4＋80×1＋75×1)＝87.∴选C.4．5eq\r(2)∵eq\f（1，5）（1＋2＋3＋4＋a)＝3，∴a＝5。∴s＝eq\r(\f(1,5)［（1－3）2＋(2－3）2＋（3－3)2＋（4－3)2＋（5－3）2)]＝eq\r(2)。5．解：(1)该歌手得分为eq\x\to(x′)＝eq\f(1,4)(9.5＋9。4＋9.5＋9.6）＝9.5.(2）9.5在这组数据中出现2次，出现次数最多，故打分的众数是9.5.(3)将这组数据按从小到大顺序排列后最中间的两个数都是9.5，故中位数是9。5。6．解：(1）计算得eq\x\to(x）甲＝7，eq\x\to（x)乙＝7；s甲≈1。73，s乙≈1。10。(2）由(1）可知，甲、乙的平均成绩相等，但s乙＜s甲，这表明乙的成绩比甲的成绩稳定一些．从成绩的稳定性考虑，选择乙参赛．1．某工厂有10名工人，他们某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14，10，15,17，17,16,14，12。设其平均数为a,中位数为b，众数为c,则有…（）A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞a＞bD．c＞b＞a答案：Da＝eq\f（1,10)(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7；将这10个数从小到大排序为：10，12，14,14，15,15，16,17,17，17.从而b＝eq\f（1,2）（15＋15)＝15，c＝17，∴a＜b＜c。2．一组数据的方差为s2，将这组数据中的每个数据都扩大3倍，所得到的一组数据的方差是（)A。eq\f（1,3)s2B．s2C．3s2D．9s2答案：D当每个数据乘以或除以一个常数a，则所得的方差是原来方差的a2倍或eq\f（1,a2）倍．3．数据101，98，102,100,99的标准差为（)A.eq\r(2）B．0C．1D．2答案：A它们的平均数eq\x\to（x)＝eq\f(1,5)（101＋98＋102＋100＋99)＝100，方差s2＝eq\f（1，5)［（101－100）2＋（98－100)2＋（102－100)2＋(100－100）2＋(99－100)2］＝2，∴s＝eq\r（2）.4。一组数据中的每一个数据都减去80，得到一组新数据,若求得新数据的平均数是1。2,方差是4。4,则原来数据的平均数和方差分别是(）A．81.2，4。4B．78。8,4。4C．81。2,84。4D．78。8,75.6答案：A设这组数据为x1，x2，…，xn,都减去80后得到的新数据为x1′，x2′，…,xn′，则eq\f(x1′＋x2′＋…＋xn′,n）＝1.2，∴eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n）＝eq\f(x1′＋x2′＋…＋xn′,n）＋80＝81。2.又方差是反映数据离散程度的，故各数据减去(或加上）同一数据后，方差的大小不变．∴选A。5．为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分，转化关系为:Z＝eq\f(x－\x\to（x）,s）（其中x是某位学生的考试分数，eq\x\to（x)是该次考试的平均分,s是该次考试的标准差,Z称为这位学生的标准分)．转化成标准分后可能出现小数和负值，因此，又常常再将Z分数作线性变换转化成其他分数．例如某次学业选拔考试采用的是T分数，线性变换分式是：T＝40Z＋60.已知在这次考试中某位考生的考试分数是85，这次考试的平均分是70，标准差是25，则该考生的T分数为________．答案：84T＝40Z＋60＝40·eq\f（x－\x\to（x)，s)＋60＝40×eq\f(85－70，25）＋60＝84。6．（易错题)为迎接2008年北京奥运会,甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差见表(1)．表(1)甲乙丙丁平均数eq\x\to(x)8。58。88.88方差s23.53.52。18。7则参加奥运会的最佳人选应为____________．答案：丙平均数说明水平的高低，越大水平越高;方差说明技术的稳定性．∵乙、丙的平均数相等且最大，又seq\o\al（2,乙)＞seq\o\al（2,丙)，∴丙稳定．点评：平均数反映了数据的平均水平，方差则反映了数据的稳定与波动、集中与离散程度．在平均数相同的前提下，方差越小,即离散程度越小，表明数据的集中稳定程度越高；反之方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．若忽视这一点,会导致解题失误，切记此规律并弄清概念内涵是解题的关键．7．在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：成绩(单位：m)1.501。601.651。701.751.801.851。90人数23234111则运动员成绩的众数为、中位数为、平均数为（平均数的计算结果保留到小数点后第2位)．答案：1.75m1.70m1。69m1.75m出现次数最多，是4次，∴众数为1。75m；17名运动员中间一位是第9名,所以中位数为1。70m；平均数为eq\x\to（x)＝eq\f（1,17)（1。5×2＋1.6×3＋1.65×2＋1.7×3＋1。75×4＋1。8×1＋1.85×1＋1。9×1）≈1。69m。8．已知样本9，10，11，x,y的平均数是10,标准差是eq\r(2），则xy＝______。答案:96由已知得，平均数为eq\f(1，5)(9＋10＋11＋x＋y)＝10，∴x＋y＝20.方差为eq\f(1，5）[(9－10)2＋(10－10)2＋（11－10）2＋（x－10)2＋（y－10）2］＝2，∴（x－10）2＋(y－10)2＝8。把x＋y＝20代入得x＝12，y＝8或x＝8，y＝12.∴xy＝12×8＝96。9．对甲、乙两个人的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下:甲6080709070乙8060708075问：甲、乙谁的平均成绩更好？谁的各门功课发展较平衡?解：eq\x\to（x)甲＝eq\f（1,5）(60＋80＋70＋90＋70)＝74；eq\x\to(x）乙＝eq\f（1，5)（80＋60＋70＋80＋75)＝73.seq\o\al(2，甲)＝eq\f(1，5）[(60－74)2＋（80－74）2＋(70－74)2＋(90－74)2＋（70－74)2］＝eq\f（1,5）（142＋62＋42＋162＋42）＝104；seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1，5)[(80－73）2＋（60－73）2＋（70－73）2＋(80－73）2＋（75－73）2］＝eq\f(1，5)（72＋132＋32＋72＋22)＝56。∴甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡．10．某工厂有经理1人,另有6个管理人员，5个高级技工,10个工人和1个学徒．现在需要增加一名新工人，小张前来应征，经理说:“我公司报酬不错,平均工资每周300元．”小张工作几天后找到经理说:“你欺骗了我，我问过其他工人，没有一个工人的周工资超过200元,平均工资怎么可能是300元呢？”经理拿出如下的工资表说:“你看，平均工资就是300元．”人员经理管理人员高级技工工人学徒合计周工资2200250220200100人数16510123合计220015