数学例题与探究：向量的线性运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1下列说法正确的是()A.∥就是的基线平行于的基线B.长度相等的向量叫做相等向量C。零向量长度等于0D。共线向量是在同一条直线上的向量思路解析：考查向量的基本概念。∥包含的基线与的基线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同,故B错;按定义零向量长度等于0，故C正确；共线向量,它们可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量，故D错.答案：C绿色通道:熟知向量的基本概念，弄清向量基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础。变式训练下列命题正确的是(）A。a与b共线，b与c共线,则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C。向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D。有相同起点的两个非零向量不平行思路解析：由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确;假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而零向量与任一向量都共线，可有a与b共线,这与a与b不共线矛盾，所以有a与b都是非零向量，所以应选C。答案：C例2(2006安徽高考卷,理14）在ABCD中，=a，=b，=3,M为BC的中点，则=__________________。(用a,b表示）思路解析：考查向量的线性运算.由=3,得4=3=3（a+b)，即=(a+b)。又=a+b，所以=—a+b。答案：—a+4b绿色通道:用已知向量表示未知向量时，通常是结合图形的特点，把未知向量放到三角形或平行四边形中，适当选择向量的加法、减法和数乘运算.变式训练1若M是△ABC的重心,则下列各向量中与AB共线的是（）A.B.C.D.3思路解析：设D、E、F分别为三边中点,根据点M是△ABC的重心,=（)=(）=0,而零向量与任何向量都共线，所以与共线。答案:C变式训练2如图2-1—4，已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,求.图2思路分析：所给图形是平行四边形，为了应用图形的性质，将向量、、、都转化到四条边上来，由向量加法的三角形法则得，,于是根据BA与CD互为相反向量的关系可得结论。解：因为,，,所以，.所以=a-b+c.问题探究问题课堂上老师布置作两个向量的和,同学们选择的始点通常都是不相同的,那么选择不同的始点作出的向量都相等吗?或许你会认为，这还需要理由吗，这是“显然"成立的.到底这种“显然”是否正确，如何逻辑地说明这个问题？导思:判断作出的向量是否相等，主要从相等向量的定义上来分析。探究：如图2—1-5,在平面内任取一点A，以A为始点依次作向量=a,=b，连结向量，则由三角形法则知=a+b.再任取一点A′，以A′为始点依次作向量=a，=b，连结向量。图2∵=a，∴四边形AA′B′B为平行四边形.∴AA′∥BB′，且AA′=BB′。∵=b，∴四边形BB′C′C为平行四边形.∴BB′∥CC′且BB′=CC′。∴AA′∥CC′，且AA′=CC′,即四边形AA′C′C为平行四