数学例题与探究：离散型随机变量及其分布列

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲【例1】①某路口一天经过的机动车的车辆数为X；②一天内的温度为X;③某单位的某部电话在单位时间内被呼叫的次数X；④某投篮手在一次训练中，投中球的个数X.上述问题中的X是离散型随机变量的是（）A.①②③④B.②③④C。①③④D。①②④思路解析:随机试验的结果可以一一列出的,就是离散型随机变量.一天内的温度变化的取值不能一一列出，是非离散型随机变量.答案:C绿色通道：判断一个量是否是离散型随机变量,关键是看它的取值能否一一列出，分析时要紧紧把握定义.变式训练抛掷两颗骰子,所得点数之和为X,那么X=4表示的随机试验的结果是()A.一颗是3点,一颗是1点B.两颗都是2点C。两颗都是4点D。一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点思路解析:X=4应代表所有试验结果中和为4的试验.故选D.答案：D【例2】有10把钥匙串成一串,其中只有一把能把某房门打开,若依次尝试开锁,打不开则扔掉,直到打开为止,则试验次数X的取值为_____________.思路解析：根据题意可以看出,由于打不开的即刻扔掉,所以最多开10次即可打开.答案:1,2,3,4,5,6，7,8,9,10绿色通道：写离散型随机变量的取值要结合具体的试验和试验可能出现的结果来写。变式训练例2中条件“打不开，则扔掉”改为“若打不开,放回再随机地取一把”,如此重复下去，直到打开为止，则试验次数X的取值为____________。答案：1，2,3,…【例3】将一颗骰子投掷两次，设两次掷出点数的最大值为X，求X的分布列。思路分析:由题意知X的取值为1、2、3、4、5、6.再根据古典概型求出取每个值时的概率。解：由题意知X可取的值为1、2、3、4、5、6，则P（X=1）=；P(X=2）=;P（X=3)=；P(X=4)=;P（X=5)=；P(X=6)=。所以抛掷两次最大点数的分布列为：X123456P绿色通道：求离散型随机变量的分布列关键有两点:（1）随机变量的取值;(2)每一个取值所对应的概率值。所求是否正确，可通过概率和是否为1来检验.变式训练将一颗骰子投掷两次,设两次掷出点数的差的绝对值为X，求X的分布列.解:由题意可知,X的取值为0、1、2、3、4、5。则P(X=0)=;P(X=1)=；P(X=2)=；P(X=3)=;P(X=4)=;P(X=5）=。所以X的分布列为:X012345P【例4】若离散型随机变量的分布列为X01P9c2—c3-8c试求出常数c.思路分析:根据性质列出不等式组求解。解:由离散型随机变量分布列的性质,得解得c=。绿色通道：离散型随机变量分布列的两个性质:①pi≥0,i=1，2，3,…，n;②p1+p2+…+pn=1,这是处理分布列问题的关键。变式训练随机变量X的概率分布规律为P(X=k）=,k=1、2、3、4。其中c为常数，则P(＜X＜)的值为(）A。B。C。D。答案：D【例5】设某项试验的成功概率是失败概率的4倍，试写出一次试验成功次数的分布列.思路分析:首先求出随机变量的取值,即试验成功次数,然后求出对应的概率.解：一次试验成功的次数是一个随机变量X,它的取值为0、1。设P（X=0)=p1,P(X=1)=p2，由题意知p2=4p1。又∵p1+p2=1，∴p1=0.2,p2=0.8。∴一次试验成功次数的分布列为X01P0。20。8绿色通道:两点分布在生产、生活中有很多应用,如新生儿的性别,某天是否下雨，一件产品是否合格等，都要用两点分布来研究.变式训练在“30选7福利彩票”中,小李一次买了一注，试写出他中一等奖的分布列.解：X01P【例6】四名同学同时报名参加了数学、物理、化学三科知识竞赛，每个同学取得第一名的机会均等.记一个人取得第一名的最多次数为X，求X的分布列.(不考虑并列名次）思路分析：随机变量的取值为1、2、3.分别计算所对应的概率.解：由题意可知，一个人所得第一名的次数取值可能为1，2，3.当X=1时，对应于四人中恰有三人各获得一个第一名；当X=2时,对应于四人中有一人获得两个第一；当X=3时,三个第一被同一人获得.当X=1时,P(X=1)=;当X=2时，P(X=2)=;当X=3时，P（X=3）=.∴X的分布列为X123P绿色通道：对分布列的求解，归根结底还是概率的求法,而求概率还要运用排列组合的知识,掌握好排列组合是解决这类概率问题的关键.变式训练将3个小球任意放入4个盒子里，盒子里球的个数的最大值记为X,求X的分布列。解：由题意可知，盒子里球的个数的最大值可能取1,2，3.当X=1时，4个盒子里恰有3个盒子各放一球；当X=2时,对应着4个盒子里恰有一个放两个球；当X=3时,对应着4个盒子中恰有1个放了3个球。∴X的分布列为X123P【例7】某10人兴趣小组,其中有5名团员,从中任选4人参加某项活动,用X表示4人中的团员人数,求X的分布列。思路分析：要把问题的背景转化为超几何分布,问题迎刃而解。解：X的可能取值为0、1、2、3、4.P（X=0）=；P(X=1)=；P(X=2）=;P(X=3）=；P（X=4）=.∴X的分布列为X01234P绿色通道：超几何分布的分布列中，要搞清附加条件:P（X=k）=，k=0,1,2，…，m,其中m=min{M,n},且n≤N，M≤N.变式训练为迎接2008奥运会，北京某中学准备成立一个义务宣传队，现高一有3名、高二有5名、高三有4名备选人员，从中选出4名同学组成宣传队,求所选队员中高三所占人数的分布列。解:由题意可知,所选队员中高三所占人数X服从超几何分布，其中N=12,M=4,m=4,所以分布列为X01234P【例8】已知随机变量X的分布列为X—10123P分别求出随机变量Y1=2X,Y2=X2的分布列。思路分析:在求新的随机变量的分布列时要根据它与原来随机变量的关系,从而求出所对应的概率值.解：由Y1=2X，对X不同的取值—1、0、1、2、3，Y1的取值分别为—2、0、2、4、6。∴Y1的分布列为Y1—20246P由Y2=X2，对于X的不同取值-1、1，Y2的取值为1，当Y2取1时对应的概率应是X取—1与1的概率和,即。∴Y2的分布列为Y20149P绿色通道：X是离散型随机变量,Y=f（X）也是离散型随机变量,计算Y的分布列时,要注意当多个X对应1个Y值时，概率对应的要求和。变式训练已知X的分布列为X-101P求Y=2X+3,Z=｜X｜的分布列.解：Y=2X+3,对X取-1、0、1的值,Y取1、3、5,∴Y的分布列为Y135PZ=｜X｜，当X取-1、0、1的值，Z取0、1。当Z=1时,X=—1或1，所以P（Z=1）=+=。∴Z的分布列为Z01P【例9】有三粒骰子同时掷出,求三个骰子中的最大点数的分布列。思路分析：要搞清对应每一个随机变量取值的情况。如最大点数是3，可能是1、1、3,1、2、3，2、2、3，3、3、3.解：设掷出的最大点数为X，则X的取值为1、2、3、4、5、6。当X=1时，即三粒骰子都掷出1点,P（X=1)=；当X=2时，即三粒骰子掷出1、1、2，1、2、2,2、2、2三种情况,P（X=2)=;当X=3时，可能掷出1、1、3，1、2、3，2、2、3,3、3、3,P(X=3）=.依次类推,可求出P(X=4）=，P（X=5）=，P（X=6）=.∴最大点数的分布列为X123456P绿色通道：对随机变量的取值有时要分类进行讨论，在分类时,要考虑各种情况，有时要采取列举的方式来解决。变式训练数字1、2、3、4任意排成一列,如果数字k恰好出现在第k个位置，则称有一个巧合,求巧合数X的分布列.解：X的取值有0、1、2、4.当X=0时，没有巧合,这时有3×3=9种，P(X=0)=;当X=1时，只有一个巧合，P（X=1)==;当X=2时，只有两个巧合，P（X=2）==;当X=4时，四个数位置都巧合,P(X=4）=。∴巧合数X的分布列为X0124P【例10】核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分.RNA长链的每个位置都有一种称为碱基的化学成分占据,总共有四种不同的碱基，分别用A、C、G、U来表示。在一个RNA分子中,各种碱基能够以任意的次序出现，所以在任意位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组成,求含碱基A的个数的分布列。解:由题意可知,出现碱基A的个数是一个随机变量,设为X,则X的取值为0,1，2，3，…,100。当X=0时，即100个位置中都不出现A，P（X=0)=；当X=1时,即100个位置中出现一个A,P（X=1)=；当X=2时，即100个位置中出现两个A,P(X=2）；…;当X=100时，即100个位置中出现100个A，P(X=100)=。∴含有A的个数的分布列为X012…100P…绿色通道：在求一类随机变量分布列的概率值时,有时有一定的规律可寻,这样求概率变得简单,在做题时要找出这种规律,使问题得以简化。如例10中的概率分母都相同,分子变化有规律。变式训练已知一密码锁有四个拨号盘,每个拨号盘上有0到9这10个数字，求所有密码中含数字9的个数X的分布列。解:由题意可知,X可取的值为0、1、2、3、4。当X=0时，P(X=0）=;当X=1时，P(X=1）=;当X=2时，P(X=2)=;当X=3时，P（X=3)=;当X=4时,P(X=4）=。∴密码中含数字9的个数X的分布列为X01234P问题探究问题1:在随机试验中，随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量。试探究在抛掷一枚硬币数次的试验中,出现正面或反面的次数是一随机变量，这种说法对吗?导思：随机变量的取值实质是试验结果的对应值,有的虽然不是数，但我们可以用数来表示,如抛硬币，出现正面朝上用数字1表示,反面朝上用数字0表示。当然也可以用其他数字表示.探究:判断一个量是否是随机变量，关键看随机试验的量与所描述的量间的关系.随机变量表示随机试验所有可能的结果，但要有标准，有了标准之后，量是变化的.问题中的出现正面或反面的次数给出的标准模糊不清，所以不是随机变量,若改为出现正面的次数,它就是随机变量.问题2:随机变量与函数都是一种映射，对于离散型随机变量的分布列你能给出几种表示方式?对比不同表示方式，试说出它们的优缺点.导思：类比是一种重要的数学思想方法,很多数学的定理及结论都是通过类比得到的,随机变量与函数既然都是映射，他们在表达方式上应有类似的地方，通过类比可以得到随机变量分布列的不同表达方式.探究：随机变量分布列的表达方式有：(1)表格法随机变量X的分布列用表格的形式可表示为Xx1x2…xi…xn