（初中）中考数学《平行四边形的判定和性质》专题复习训练典型试题梳理（附答案详解）

(初中)中考数学《平行四边形的判定和性质》专题复习训练典型试题梳理汇

总(54页附答案详解)

1.已知：如图，回A8CQ中，E、尸分别是43、CQ的中点.求证：

(1)AAFP^ACEB；

(2)四边形AECb是平行四边形.

2.已知，四边形A3CQ是平行四边形，E、尸是对角线AC上的两点，AE=CF.

(1)如图1,求证：四边形5厂是平行四边形；

(2)如图2,AE=EF=FC,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2

中所有面积与四边形QE8F面积相等的三角形.

3.已知：5c中，A3=AC,ADJ_3c于点。，过点A作AE〃3C,且

连结DE.

(1)求证：四边形A6OE是平行四边形；

(2)作bGLAB于点G,AG=4,cosZGAF=|,求RS和RD的长.

4.如图，在3c中，AB=BC,平分NABC交AC于点。，点E为AB的

中点，连接。E,过点后作E/〃交CB的延长线于点?

(1)求证：四边形DEEB是平行四边形；

(2)当AO=4,BD=3时，求C尸的长.

A

5.如图，四边形ABC。是平行四边形，延长AO至点E,使Z)E=AD连接B。、

CE.

(1)求证：四边形BCED是平行四边形；

(2)若£>A=Q3=4,cosA=求点8到点E的距离.

4

6.如图，点。是ABC内一点，点E,F,G,"分别是43,AC,CD,8□的中

点.

(1)求证：四边形EbG”是平行四边形；

(2)如果N8DC=90°,Z£)5C=30°,CD=2,4。=6,求四边形E/G”的

周长.

7.如图，在平行四边形A6C0中，点E,尸分别是AB,CQ上的点，CF=BE.

(1)求证：四边形4EFD是平行四边形；

(2)若NA=60°,AD=2,A5=4,求3。的长.

8.如图，在四边形A6CZ)中，ZACB=ZCAZ)=90o,AD=8C,点E在3c延

长线上，与CQ交于点尸.

(1)求证：四边形A8CZ)是平行四边形；

(2)若4E平分NBA。，A3=13,cosB=―,求AD和CE的长.

13

9.在团ABCO中，E,/分别是AB,CD的中点，连接DE,M,N分别是3尸,

的中点，连接EM,FN.

(1)求证：四边形BfDE是平行四边形；

(2)若A8=12,EM=EN=5,则四边形ABC。的面积为.

10.在因ABCO中，E,E分别为对角线8□上两点，连接A£、CE、ARCF,且

AE//CF.

(1)如图1,求证：四边形AEC厂是平行四边形；

(2)如图2,若2BE=3EF,在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写

出图2中面积是△ABD面积的:的四个三角形.

8

11.如图，已知等边3c中，D、F分别是边3C、A3上的点，且CQ=3R

以A3为边向左作等边△4£)£,联结CREF.

(1)求证：四边形C0E尸是平行四边形；

⑵当“所=45。时，求期值.

12.如图，在四边形ABCQ中，AB//CD,AB=CD,点、E、/在对角线AC上,

且AE=C足

(1)如图1,求证：DF//BE-,

(2)如图2,延长QF、BE分别交3。、AO于点P、N,连接B尸并延长交CO

于点例，连接并延长交A8于Q,在不添加其它线的条件下，直接写出图

中所有的平行四边形.

即图2

13.在△ABC中，。是8C边上的一点，£是AC边的中点，过点A作A尸〃8C

交QE的延长线于点E连接ADCF.

(1)求证：四边形4QC尸是平行四边形；

(2)若//丛=2/49匹，CF=2近,CD=1,请直接写出AE的长为

14.已知点E、厂分别是团A3C。的边BC、AO的中点.

(1)求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)若3c=12,ZBAC=90°,求团AEC厂的周长.

15.如图，在RtZXABC中，NAC3=90°,D、石分别是边AC、45的中点，连

接CE、DE,过。点作。CE交8C的延长线于方点.

(1)证明：四边形£)石。/是平行四边形；

(2)若45=13cm,AC=5cm,求四边形OEC尸的周长.

16.已知：如图所示，在△ABC中，。是AC的中点，£是线段8C的延长线上

一点，过点A作A/〃BE,交线段ED的延长线于点F，连接AE、CF.

(1)求证：CF=AE.

(2)若AE=Cb=4,ZAFZ)=30°,则四边形AECb的面积是.

p

RCE

17.如图，在四边形43CD中，ZBCD=90°,对角线AC,相交于点N.点

M是对角线8D中点，连接AMCM.如果AM=OC,ABLAC,且A8=AC.

(1)求证：四边形AMCD是平行四边形.

(2)求tan/QBC的值.

18.如图，在△ABC中，。是边上任意一点，E是8C边中点，过点C作AS

的平行线，交的延长线于点尸，连接3RCD.

(1)求证：四边形CQ8F是平行四边形；

(2)若NFDB=30°,NA8C=45°,BC=4V2,求。尸的长.

19.如图，在△ABC中，点。是3c边的中点，点£,/分别在AC,A8上，且

DE//AB,EF//BC.

(1)求证：CD=EF；

(2)连接BE,若3E平分乙4BC,CD=6,求四边形3。石厂的周长.

20.如图，四边形ABC。是平行四边形，N3A0的角平分线AE交CD于点尸,

交BC的延长线于点E.

(1)求证：BE=CD；

(2)若8厂恰好平分连接AC、DE,求证：四边形是平行四边

形.

21.如图，在平行四边形4BCD中，AE.分别平分NBAD和N8CD,AE交

BC于点、E,C/交A。于点f

(1)如图1,求证：BE=DF；

(2)如图2,连接8D分别交A£、C尸于点G、H,连接A”，CG,CF,EH,

A”与Gb交于点M,EH与GC交于点、N,请直接写出图中所有的平行四边形

(平行四边形ABCO除外).

22.如图，平行四边形4BCQ中，E、歹是对角线BQ上不同的两点，添加个条

件，使得四边形A£b为平行四边形.

(1)现有四个条件：®BE=DF；®AF//CE；®AE=CF；④/BAE=/DCF.你

添加的条件是：.(填一个序号即可)

(2)在(1)的基础上，求证：四边形A£C厂是平行四边形.

23.在△ABC中，A8=AC,点。在边8C所在的直线上，过点。作。/〃AC交

直线AB于点R。石〃A3交直线AC于点£

(1)当点。在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC.

(2)当点。在边的延长线上时，如图②；当点。在边3c的反向延长线

上时，如图③，请分别写出图②、图③中。£,DF,AC之间的数量关系，不需

要证明.

(3)若AC=6,DE=4,则.

24.如图，已知四边形A8CD中，对角线4C,3。相交于点0,且。4=OC,OB

=0D,过O点的线段政，分别交AD,BC于点、E,F.

(1)求证：MAOE”△COF、

(2)如果/EBD=NCBD,请判断并证明四边形3EQ尸的形状.

25.如图，E,/是a43CQ对角线BD上两点，HBE=DF.

(1)求证：四边形A£C厂是平行四边形；

(2)连接4C,若NBAb=90°,A8=4,A尸=A£=3,求AC的长.

26.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,D,E分别是A3,AC的中点，连接

CD,过点E作跖〃CD交的延长线于点尸.

(1)证明：四边形。"是平行四边形；

(2)若NABC=30°,AC的长是5cvn,求四边形CQE厂的周长.

27.如图，平行四边形A3C。中，AB^Scm,BC=12cm,ZB=60°,G是CD

的中点，E是边A。上的动点，£G的延长线与8C的延长线交于点R连接

CE,DF.

(1)求证：四边形CEQ厂是平行四边形；

(2)当AE=8c加时，四边形CEDb是什么样的特殊平行四边形？请写出你的

理由.

28.如图，在四边形43CD中，ZBCD=90°,对角线AC,BD相交于点N,点

M是对角线8D中点，连接AMCM.如果AM=OC,ABLAC,且A8=AC.

(1)求证：四边形AMCD是平行四边形.

(2)DN=V10,则BC=,tanZD5C=

ND

M

29.如图所示，AABC^AEAD,点E在3c上.

(1)求证：四边形45。是平行四边形；

(2)若NB：ZCAD=3：2,ZEDC=25°,求NAE。的度数.

30.如图，在△ABC中，NABC=90°,。/垂直平分A3,交AC于点E,连接

BE、CD,且ED=2FE.

(1)如图1,求证：四边形5CDE是平行四边形；

(2)如图2,点G是3c的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出

图2中所有面积是△8EG的面积的2倍的三角形和四边形.

(初中)中考数学《平行四边形的判定和性质》专题复习训练典型试题梳理汇

总(54页附答案详解)

1.已知：如图，图ABCO中，E、尸分别是AB、8的中点.求证:

(1)AAFP^ACEfi；

(2)四边形AEb是平行四边形.

【分析】根据平行四边形的性质可得到两边及夹角对应相等，根据SAS判定△

AFD^ACEB；根据有一对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形

AECF是平行四边形.

【解答】证明：(1)在图A3CO中，AD^CB,AB=CD,ND=/B,

,:E、E分别是AB、CO的中点，

11

：.DF=-CD,BE=-AB.

22

：.DF=BE.

：.AAFD"ACEB.

(2)在回A3co中，AB=CD,AB//CD.由(1),得BE=DF.

...AE=CK.••四边形AECb是平行四边形.

【点评】此题考查了平行四边形的性质及判定，全等三角形的判定等知识点的

综合运用能力.

2.已知，四边形45CQ是平行四边形，E、尸是对角线AC上的两点，AE=CF.

(1)如图1,求证：四边形DEBT是平行四边形；

(2)如图2,AE=EF=FC,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2

中所有面积与四边形。面积相等的三角形.

【分析】（1）证△ADEg/XCB/（SAS）,得DE=BF,/AED=/CFB,再证

DE//BF,即可得出结论；

（2）由平行四边形的性质得SWEF=52EF，再由三角形面积关系得SzM°E=Sa

DEF=S&DCF，S&CBF=S"EF=SdABE，贝（JS4ADF=S&CDE=SGABF=S"CF=S平行四边形OEBF，

即可得出结论.

【解答】（1）证明：•••四边形A8C0是平行四边形，

：.AD=CB,AD//CB,

工ZDAE=/BCF,

在△ADE和△C8F'中，

ZD=CB

^DAE=Z.BCF,

AE=CF

：.^ADE^^CBF（SAS）,

:.DE=BF,/AED=/CFB,

，NDEF=ZBFE,

J.DE//BF,

...四边形DEBF是平行四边形；

（2）解：•.•四边形。£6厂是平行四边形，

S&DEF=SABEF，

•:AE=EF=FC,

••S&ADE=s&DEF=s&DCF，sGCBF=s&BEF=sAABE，

••S&ADF=SACDE=S4ABF=S4BCF=S平行四边形DEBF，

.•.图2中所有面积与四边形DEBF面积相等的三角形为△ADR4CDE、△

ABF、ABCF.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及

三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.

3.已知：中，A3=4C,于点D,过点A作AE//BC,且AE=被C,

连结DE.

(1)求证：四边形48DE是平行四边形；

(2)作于点G,AG=4,cosZGAF=求FG和ED的长.

【分析】⑴由等腰三角形的性质得8D=C0=匏C,再证然后由

AE//BC,即可得出结论；

(2)由锐角三角函数定义求出A尸=5,再由勾股定理得FU=3,连接CE,然

后证明四边形A0CE是矩形，即可解决问题.

【解答】(1)证明：'：AB=AC,AD1BC,

:.BD=CD=：BC,

'：AE=

:.AE=BD,

5L,：AE//BC,

四边形480£是平行四边形；

(2)解：'：FG±AB,

...NAG尸=90°,

VAG=4,cosZGAF=—=-,

AF5

：.AF=5,

/.FG=y/AF2—AG2=V52—42=3,

如图，连接CE,

由（1）可知，AE=CD,

'：AE//BC,

...四边形ADCE是平行四边形，

又,.,AOL8C,

AZADC=90°,

二平行四边形AOCE是矩形，

：.CF^AF=5,FD=FE,AC=DE,

二.尸£>=A/=5.

【点评】本题考查了平行四边形的频道与性质、等腰三角形的性质、矩形的判

定与性质、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判

定与性质是解题的关键.

4.如图，在△ABC中，AB=BC,8D平分NABC交AC于点。，点E为A3的

中点，连接OE,过点£作交CB的延长线于点足

(1)求证：四边形是平行四边形；

(2)当AD=4,80=3时，求。尸的长.

【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到AO=OC根据三角形中位线定理得

到DE//BC,根据平行四边形的判定定理即可得到结论；

(2)根据等腰三角形的性质得到BDLAC,根据勾股定理得到AB=BC=

yjAD2+BD2=5,根据三角形的中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论.

【解答】(1)证明：3。平分NA3C交AC于点

C.AD^DC,

二•点E为48的中点，

.•.OE是△A3C的中位线，

.,.DE//BC,

C.DE//BF,

'：BD//EF,

...四边形DEFB是平行四边形；

(2)解：'JAB^BC,8D平分NABC交AC于点D

：.BDVAC,

：.ZADB=9Q°,

VAD=4,BD=3,

：.AB=BC=y/AD2+BD2=5,

「DE是△ABC的中位线，

：.DE=：BC=j,

•••四边形DEFB是平行四边形，

：.BF=DE=3,

2

IS

：.CF=BC+BF=—.

2

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角

形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键.

5.如图，四边形ABC。是平行四边形，延长A0至点£,使Z)E=AZ),连接80、

CE.

(1)求证：四边形8CED是平行四边形；

(2)若D4=Z)B=4,cosA=求点3到点E的距离.

4

【分析】(1)根据平行四边形的性质得到AD=BC,AD//BC,等量代换得到

DE=BC,DE//BC,于是得到四边形3c£0是平行四边形；

(2)连接根据已知条件得到AQ=8D=OE=4,根据直角三角形的判定

定理得到NA8E=90°,A£=8,解直角三角形即可得到结论.

【解答】(1)证明：•••四边形A3CD是平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC,

'：DE^AD,

:.DE=BC,DE//BC,

...四边形BCED是平行四边形；

(2)解:连接BE,

•.•0A=Q8=4,DE=AD,

：.AD=BD^DE=4,

二.NAB£=90°,AE=S,

VcosA=

4

：.AB=2.

：.BE=y]AE2-AB2=2V15.

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三

角函数的定义，证得NA8E=90°是解题的关键.

6.如图，点。是A3C内一点，点E,F,G,”分别是A3,AC,CD,BD的中

点.

(1)求证：四边形ENG”是平行四边形；

(2)如果N8DC=90°,ZDBC=30°,CD=2,AD=6,求四边形EfGH的

周长.

【分析】⑴利用三角形的中位线定理得出EH=FG=：AD,EF=GH=3BC,

即可得出结论；

(2)由(1)得出四边形EFGH的周长=石"+6”+尸6+七/=4。+3。，即可得出

结果.

【解答】(1)证明：•.•点£,F,G,"分别是A3,AC,CD,8□的中点.

二.

EH=FG=-2AD,2EF=HG=-BC,

...四边形EFGH是平行四边形；

(2)解：'：ZBDC=9Q°,ZDBC=30°,

：.BC=2CD=4.

由(1)得：四边形由G”的周长=£”+6”+/6+后方=4。+8。，

又•.•A—G,

二四边形EFGH的周长=AO+3C=6+4=10.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理.熟记三

角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键.

7.如图，在平行四边形A6CO中，点E,方分别是AB,C。上的点，CF=BE.

(1)求证：四边形是平行四边形；

(2)若NA=60°，AO=2,A8=4,求8D的长.

A

【分析】(1)由平行四边形的性质得AB〃CO,AB=CD,再证DF=AE,即可

得出结论；

(2)过8作8GLAD于G,由含30°角的直角三角形的性质得AG=

2,则AG=AD,得G与。重合，BDLAD,然后由勾股定理求解即可.

【解答】(1)证明：二•四边形A3C。是平行四边形，

：.AB//CD,AB=CD,

'：CF=BE,

：.CD-CF=AB-BE,

即DF=AE,

y.,：DF//AE,

二.四边形AEFD是平行四边形；

(2)解：如图，过8作8G_LA0于G,

VZA=60°,

NABG=90°-60°=30°,

1

：

.AG=-2AB=2,

'：AD=2,

：.AG=AD,

二.G与。重合，

，BD1.AD,

BD=y]AB2—AD2=V42-22=2A/3.

G

C

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质

以及勾股定理得知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.

8.如图，在四边形ABCO中，ZACB=ZCAD=90°,AO=3C,点E在BC延

长线上，AE与CD交于点F.

(1)求证：四边形ABC。是平行四边形；

(2)若平分N84D,A3=13,cosB=求AD和。尸的长.

【分析】(1)先证AZ)〃8C,再由AD=3C,即可得出结论；

(2)由锐角三角函数定义得BC=5,再由平行四边形的性质得AZ)=3C=5,

然后证8E=AB=13,贝！J8C=8,进而证NC/E=N3E4,得CF=

CE=8.

【解答】(1)证明：•.•NAC3=NC43=90°,

J.AD//BC,

'：AD=BC,

四边形ABCD是平行四边形;

(2)解:VZACB=90°,AB=13,

•BC5

•D•cosB——,

AB13

：.BC=5,

由(1)可知，四边形A8CQ是平行四边形,

：.AD^BC=5,AB//CD,AD//BC,

；.NDAE=/BEA,

平分N840,

:./DAE=/BAE,

：.NBEA=/BAE,

：.BE=AB=13,

:.CE=BE-BC=13-5=8,

'：AB//CD,

:.NCFE=/BAE,

：./CFE=/BEA,

:.CF=CE=8.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、锐角三角

函数定义、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是

解题的关键.

9.在团ABC。中，E,尸分别是AbCD的中点，连接BRDE,M,N分别是BF,

DE的中点，连接EM,FN.

（1）求证：四边形8口）石是平行四边形；

（2）若AB=12,EM=EN=5,则四边形A6CD的面积为96.

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB=OC,AB//DC.根据线段中点的

定义得到=^DC,根据平行四边形的判定定理即可得到结论；

（2）连接ER根据平行四边形的性质得到根据线段中点的定义得

到EN=DN=BM=FM=LBF,求得EM=-BF,根据勾股定理得到EF=

22

y/BF2-BE2=8,于是得到结论.

【解答】（1）证明：•.•四边形A8CZ）是平行四边形,

：.AB=DC,AB//DC.

•：E,产分别是A3,CO的中点，

11

Z.BE=-AB,DF=-DC,

22

BE=DF,

'：BE//DF

...四边形BFDE是平行四边形；

（2）解：连接ER

•••四边形3FOE是平行四边形，

：.DE=BF,

,：M,N分别是BE,的中点，

:.EN=DN=BM=FM=涉，

•:EM=EN=5,

：.EM=^BF,

：.ZBEF=90°,BF=2EM=IQ,

VAfi=12,

：.BE=6,

：.EF=y/BF2-BE2=8,

.••四边形ABCD的面积为12X8=96,

故答案为：96.

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边

形的判定和性质定理是解题的关键.

10.在团ABC。中，E,/分别为对角线8。上两点，连接A£、CE、ARCF,且

AE//CF.

（1）如图1,求证：四边形AEW是平行四边形；

（2）如图2,若2BE=3EF,在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写

出图2中面积是△48□面积的:的四个三角形.

8

【分析】（1）先证△ABE0△C。/（A4S）,得AE=CR再由A石〃CR即可得

出四边形AEC尸是平行四边形；

（2）由（1）得：ZXABEZACDF,则再由2BE=3£R得BE：BD

=3：8,即可得出结论.

【解答】（1）证明：•••四边形A3CD是平行四边形，

：.AB//CD,AB=CD,

：./ABE=/CDF,

'：AE//CF,

二.NAEF=/CFE,

：./AEB=/CFD,

在△ABE和△CD尸中,

24BE=LCDF

^AEB=Z-CFD,

AB=CD

二.△ABE之△CD尸(A4S),

C.AE^CF,

y.'：AE//CF,

二.四边形A£Cb是平行四边形；

(2)解：△ABE、MCDF、/\BCE.AADF,理由如下：

由(1)得:AABE^ACDF,

:.BE=DF,

'：2BE=3EF,

：.BE：BD=3：8,

二.MABE的面积=△CDF的面积=的面积=Z\A0F的面积=△ABD面

积的|.

o

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及

三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解

题的关键.

11.如图，已知等边△ABC中，D、尸分别是边BC、A8上的点，且C£)=8R

以AD为边向左作等边联结CREF.

(1)求证：四边形CDE厂是平行四边形；

(2)当/DEF=45°时，求段的值.

【分析】(1)根据等边三角形的性质得到AC=CB,NACD=NB,根据全等三

角形的性质得到ND4C=N尸C3,求得NB43=N4CR根据平行线的判定定

理得到。尸〃由平行四边形的判定定理即可得到四边形8£厂是平行四边

形；

(2)过尸作尸于G,根据平行四边形的性质得到/爪8=/。£/=45°,

求得FG=CG,设3G=x,根据三角函数的定义即可得到结论.

【解答】(1)证明：•:△ABC是等边三角形，

：.AC^CB,ZACD^ZB,

又CD=BF,

:.XACDQXCBF(SAS),

:.NDAC=/FCB,

：.NBAD=ZACF,

•：NEDB=T8U°-AADE-ZADC=120°-ZADC,ZFCB=180°-ZB-

ZCFB=nO°-/CFB,

:./EDB=/FCB,

：.CF//DE,

...四边形CDEF是平行四边形；

(2)解：过/作FGJ_3C于G,

•.•四边形COE尸是平行四边形，ZDEF=45°,

；./FCB=/DEF=45°,

：.FG=CG,

设BG=x,则CG=FG=3G・tan60°=遍％,

CD=BF=cos600=2%,

：.BC=BG+CG=(1+V3)%,

:.BD=BC-CD=(1+V3)x-2x=(V3-1)x,

•BD(y/3—l^xy/3-1

*CD2x2

【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形及平行四边形的判定

和性质等知识，综合性较强，难度较大.

12.如图，在四边形A8C0中，AB//CD,AB^CD,点E、/在对角线AC上，

^AE=CF.

(1)如图1,求证：DF//BE；

(2)如图2,延长。F、8E分别交3C、于点尸、N,连接3厂并延长交CQ

于点连接。£并延长交48于Q,在不添加其它线的条件下，直接写出图

中所有的平行四边形.

【分析】(1)由平行线的性质得出N8AC=NQCA.证出AF=C£.由A4S证

明△A8/名△CDE即可；

(2)根据平行四边形的判定即可得出结论.

【解答】(1)证明：AB=CD,

四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,AD=BC,

：.ZDAF=/BCE.

'：AE=CF,

：.AE+EF=CF+EF,

：.AF=CE.

在/和中，

AD=CB

^DAF=乙BCE,

AF=CE

：.^ADF^ACBE(SAS),

:./DFA=/BEC,

：.DF//BE-,

(2)解：图中所有的平行四边形有：^ABCD,⑦NBPD,^QBMD,^\BEDF,

理由如下：

'：AB//CD,AB=CD,

...四边形ABCD是平行四边形；

由(1)知：AADF^ACBE,

：.DF=BE,

'：DF//BE,

...四边形BEDF是平行四边形；

：.DQ//BM.

'：AB//CD,

...四边形QBMD是平行四边形；

'：BN//DQ.

'：AD//BC,

...四边形NBPD是平行四边形.

图中所有的平行四边形有：^\ABCD,⑦NBPD,^\QBMD,^\BEDF.

【点评】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、

全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解

决问题的关键.

13.在△ABC中，。是3C边上的一点，E是AC边的中点，过点A作A尸〃3C

交。E的延长线于点R连接A。，CF.

(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；

(2)若NFE4=2NADE,CF=242,CD=i,请直接写出AE的长为-

-2-

【分析】(1)证4AE尸之△CEZ)(AAS),得FE=DE,再由AE=CE,即可得出

四边形AOC尸是平行四边形；

(2)先证AE=DE,再证平行四边形ADC/是矩形，得NA/C=90°,AF=

CD=1,然后由勾股定理求出AC=3,即可求解.

【解答】(1)证明：是AC边的中点，

：.AE=CE,

'：AF//BC,

/AFE=/CDE,

在△AEF和△CEZ)中，

'^AFE=乙CDE

^AEF=Z.CED,

AE=CE

：.AAEF^ACED(A4S),

：.FE=DE,

又,.•4£=CE,

...四边形ADCT是平行四边形；

(2)解：•：/FEA=NADE+/DAE,ZFEA^2ZADE,

：.ZADE=/DAE,

：.AE=DE,

由(1)得：四边形AOCF是平行四边形，AE=CE,FE=DE,

J.AC^DF,

二.平行四边形尸是矩形，

AZAFC=90°,Ab=CQ=l,

：.AC=y/AF2+CF2=J#+(2V2)2=3,

13

：.AE=-AC=

22

故答案为：|.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角

形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形

的判定与性质和矩形的判定与性质是解题的关键.

14.已知点E、厂分别是囿438的边BC、AO的中点.

(1)求证：四边形A£CF是平行四边形；

(2)若3C=12,ZBAC=90°,求团AEC厂的周长.

【分析】(1)根据平行四边形的性质得AD〃5C,AD=BC,再证即

可得出结论；

(2)根据直角三角形斜边上的中线性质得到AE=CE="C=6,再证平行四

边形AECT是菱形，于是得到结论.

【解答】(1)证明：•••四边形A8C0是平行四边形，

：.AD//BC,AD=BC,

\•点E、/分别是因ABC。的边BC、AO的中点，

：.AF=^AD,CE=3BC,

：.AF=CE,

5L,：AF//CE,

...四边形AECF是平行四边形；

(2)解：VBC=12,ZBAC=90°,E是BC的中点.

AE=CE=：BC=CE=6,

平行四边形AECF是菱形，

二.^AECF的周长=4X6=24.

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角

三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的

关键.

15.如图，在中，ZACB=90°,D、E分别是边AC、A3的中点，连

接CE、DE,过。点作。尸〃CE交BC的延长线于厂点.

(1)证明：四边形。ECF是平行四边形；

(2)若A8=13c/n,AC^5cm,求四边形。£C尸的周长.

【分析】(1)证DE是3c的中位线，得DE〃BC,由平行四边形的判定即

可得出结论；

(2)先由勾股定理得8。=12,再由三角形中位线定理得。£=抑7=6,然后

由平行四边形的性质得。£=CT=6,DF=CE,再由勾股定理得。歹=葭，即可

得出答案.

【解答】(1)证明：:。、E分别是边AC、AB的中点，

.,.OE是△ABC的中位线，

C.DE//BC,

：.DE//CF,

'：DF//CE,

/.四边形DECT是平行四边形；

(2)解：在中，由勾股定理得：BC=7AB2—AC2=V132-52=12,

,.,OE是△ABC的中位线，

11

：

.DE=2-BC=2-xU=6,

•••四边形DECF是平行四边形，

:.DE=CF=6,DF=CE,

\•。是边AC的中点，

：115

.CD=2-AC=2-x5=~2,

VZACB=90°,CF是BC的延长线，

：.ZDCF^90°,

在RtZiOCT中，由勾股定理得：DF=yJCD2+CF2=J(j)2+62=y,

四边形QECF的周长=2(DE+DF)=2*(6+—)=25.

2

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理

等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理是解题的关

键.

16.已知：如图所示，在△ABC中，。是AC的中点，E是线段的延长线上

一点，过点A作A/〃BE,交线段EZ)的延长线于点凡连接AE、CF.

(1)求证：CF=AE.

(2)若AF=b=4,ZAFD=30°,则四边形AECF的面积是8V3.

A

D

【分析】(1)iiEAADF^ACDE(A4S),WAF^CE,再由A尸〃CE,则四边

形AEC厂是平行四边形，即可得出结论；

(2)证四边形AECE为菱形，得ADLEREF=2FD,再由含30°角的直角

三角形的性质得AD=Ib=2,然后由勾股定理得以)=2百，贝！JE/=2尸0=

4V3,即可求解.

【解答】(1)证明：点为AC的中点，

C.AD^CD,

'：AF//BE,

/FAD=/ECD,

在/和△C0£中，

2FAD=乙ECD

^ADF=乙CDE,

AD=CD

：.AADF^ACDE(A45),

：.AF=CE,

'：AF//CE,

...四边形4EC尸是平行四边形，

：.CF=AE；

(2)解：•.•四边形A£CF为平行四边形，AF=CF=4,

...四边形A£C厂为菱形，

:.ADLEF,EF=2FD,

VZAFD=3Q°,

：.AD=-2AF=2,

：.AC=2AD=4,FD=yjAF2-AD2=V42-22=2百，

:.EF=2FD=4同

.••四边形AECF的面积=1。・£尸=[*4><48=8旧，

故答案为：8V3.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含

30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与

性质，证明△ADFgZiCDE是解题的关键.

17.如图，在四边形A8CD中，/BCD=90：对角线AC,8□相交于点M点

M是对角线8D中点，连接AMCM.如果AM=OC,ABLAC,且A8=AC.

(1)求证：四边形AMCO是平行四边形.

(2)求tan/QBC的值.

【分析】(1)要证明四边形AMC0是平行四边形，已知AM=QC,只需要证明

AM〃3C即可；由条件可知△AM3之△AMC(SSS),推理可得NQC4=/肠4c

=45°,由内错角相等两直线平行可知AM〃CD可得结论；

(2)延长AM交8c于点E,由等腰三角形三线合一可得点E是的中点，

是△BCD的中位线，则M£=1C。，进而M£=设AB=a,分别表达

BC,AE及BE,在RtZVLBE中，表达tanNQ3c的值.

【解答】解：(1)证明：如图，

二•点M是3。的中点，ZBCD=9Q°,

：.CM是RtABCD斜边BO的中线，

:.CM=BM=MD,

又4B=AC,AM=AM,

：.^AMB^^AMCCSSS),

：.ZBAM^ZCAM,

,：BALAC,

：.ZBAC=9Q°,

NCAM=45°,

XVA5=AC,

AZACB^ZABC=45°,

二.N0CA=ZDCB-NAC8=45°,

：.ZDCA=ZMAC,

：.AM//CD,

...四边形AMCD为平行四边形.

(2)如图，延长AM交BC于点£

'：AB=AC,ZBAC=90°,ZBAM=ZCAM,

：.AE±BC,且点石为3c的中点，

二•点M是8。的中点，点E是8C的中点，

ME是ABCD的中位线,

：.CD=2ME,

又AM=CD,

：.AM=2ME,

1

：.ME=-AE,

3

设AB=Q,则3C=&”，AE=^BC=ytz,

ME=-AE=—a,

36

又BE=AE=~~ci>

2

tanDBC=—

BE3

【点评】本题利用了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三

角函数值等内容.

18.如图，在△ABC中，。是边上任意一点，石是8c边中点，过点C作

的平行线，交OE的延长线于点尸，连接BRCD.

(1)求证：四边形CQ3尸是平行四边形；

(2)若NED8=30°，NA8C=45°，BC=4V2,求的长.

【分析】(1)欲证明四边形是平行四边形只要证明CF//DB,CF=DB

即可；

(2)如图，作于点M,解直角三角形即可；

【解答】(1)证明：

二.ZECF=ZEBD.

•.•E是3C中点，

:.CE=BE.

'：/CEF=/BED,

:.△CEFQ4BED.

:.CF=BD.

四边形CDBb是平行四边形.

(2)解：如图，作于点M,

•.•四边形CDB尸是平行四边形，BC=4V2,

:.BE=-2BC=2V2,DF=2DE.

在中，EM=BE*sinZABC^2,

在中，•:/EDM=3U°,

:.DE=2EM=4,

：.DF=2DE=S.

【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、

直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直

角三角形解决问题，属于中考常考题型.

19.如图，在△ABC中，点。是8C边的中点，点£,/分别在AC,AB上，且

DE//AB,EF//BC.

(1)求证：CD=EF；

(2)连接8E,若8E平分NABC,CD=6,求四边形8DE厂的周长.

【分析】(1)先证四边形BDEF是平行四边形，得EF=BD,再证出=8D=CQ,

即可得到结论；

(2)先由平行四边形的性质得8D=ERBF=ED,EF//BD,再证/尸8石=/

BEF,得BF=EF,则BD=EF=BF=ED,即可得出答案.

【解答】(1)证明：'：DE//AB,EF//BC,

二.四边形BDEF是平行四边形，

：.EF=BD,

二•点。是8C边的中点，

二BD=CD,

：.CD=EF；

(2)解：•.•BE平分NABC,

二.NFBE=ZDBE,

又•••四边形BDEF是平行四边形，

：.BD=EF,BF=ED,EF//BD,

：.NFEB=ZDBE,

：./FBE=/BEF,

：.BF=EF,

:.BD=EF=BF=ED,

又，：BD=CD=G

：.BD=EF=BF=ED=6,

：.四边形BDEF的周长=6X4=24.

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的

性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和等腰三角形的判定是解题的

关键.

20.如图，四边形ABC。是平行四边形，NBA。的角平分线AE交CO于点尸，

交3c的延长线于点£

(1)求证：BE=CD；

(2)若8F恰好平分NA8E,连接AC、DE,求证：四边形AC。是平行四边

形.

【分析】(1)根据平行四边形的性质得出A3〃BC,AB=CD,根据平行线的性

质得出ND4E=NAEB,求出N84E=NAE3,根据等腰三角形的判定得出即可;

(2)根据等腰三角形的性质得出求出尸丝△£0尸,根据全等三

角形的性质得出DF=CF,再根据平行四边形的判定得出即可.

【解答】证明：(1)二•四边形ABC。是平行四边形，

J.AD//BC,AB=CD,

二.NDAE=ZAEB,

•「AE平分NBA。，

ZBAE=ADAE,

：./BAE=/AEB,

：.BE=AB,

:.BE=CD；

(2)•:BE=AB,BF平分/ABE,

：.AF=EF,

在△ADF和△EC/中，

Z.DAE=Z.AEB

AF=EF，

^AFD=乙EFC

：.AADF^AECF(ASA),

：.DF=CF,

...四边形是平行四边形.

【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等

腰三角形的判定和平行线的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题

的关键.

21.如图，在平行四边形ABC。中，AE.b分别平分NBAD和N8CD,AE交

BC于点、E,CF交AQ于点f

(1)如图1,求证：BE=DF；

(2)如图2,连接80分别交A£、b于点G、H,连接AH,CG,CF,EH,

AH与GF交于点M,EH与GC交于点、N,请直接写出图中所有的平行四边形

(平行四边形A3CO除外).

【分析】(1)证(ASA),即可得出结论；

(2)先证四边形AEC厂是平行四边形，得AE〃CF,AE=CF,再证△D4GZ

△BCH(ASA),得AG=C”，U：NGHCH、则四边形AGC”是平行四边形,

然后证四边形EGFH是平行四边形，最后得四边形MGN〃是平行四边形即可.

【解答】(1)证明：二•四边形A3C。是平行四边形，

:./B=/D,/BAD=/BCD,AB=CD,

,：AE.C尸分别平分N84D和N8CD,

，

NBAE=-2ZBAD,2ZDCF=-ZBCD,

：./BAE=ZDCF,

在△ABE和△CD/中，

ZB=乙D

AB=CD,

/BAE=乙DCF

二.△△CDF(ASA),

：.BE=DF；

(2)解：•.•四边形A3CD是平行四边形,

：.AD//BC,AD=BC,

由(1)得：4DAE=/BCF,BE=DF,

：.CE=AF,

...四边形AECF是平行四边形，

：.AE//CF,AE=CF,

'：AD//BC,

ZADG=ZCBH,

在△IMG和△BC〃中，

2ADG=乙CBH

AD=CB,

^DAG=乙BCH

:•△DAG94BCH(ASA),

:.AG=CH,

又•：AG"CH,

...四边形AGCH是平行四边形，

J.AH//CG,

VAE=CF,

：.AE-AG^CF-CH,

即EG=FH,

...四边形EGFH是平行四边形，

J.EH//GF,

又,.，AH〃CG,

...四边形MGNH是平行四边形，

.•.图中所有的平行四边形（平行四边形ABC。除外）为平行四边形AEb、平

行四边形4GC"、平行四边形EG%、平行四边形MGN”.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及

平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定

与性质是解题的关键.

22.如图，平行四边形A3CQ中，E、/是对角线BD上不同的两点，添加个条

件，使得四边形AECT为平行四边形.

（1）现有四个条件：①BE=DF；®AF//CE；®AE=CF；④/BAE=/DCF.你

添加的条件是：①BE=DF,②—〃CE,④NBAE=NDCF.（填一个序号

即可）

（2）在（1）的基础上，求证：四边形是平行四边形.

【分析】（1）根据平行四边形的判定解答即可；

（2）根据平行四边形的判定解答即可.

【解答】解：（1）填①②④的任意一个都正确；

故答案为：①BE=DF,®AF//CE,④/BAE=/DCF；

（2）以①BE=DF为例,

•.•四边形ABC。是平行四边形，

：.AB=CD,AB//CD,

：.NABE=ZCDF,

,:BE=DF,

在△ABE与△CO厂中，

AB=CD

乙ABE=乙CDF,

BE=DF

：.AA5£^ACDF(SAS),

：.AE^CF,ZAEB=ZCFD,

：.NAEF=ZCFE,

：.AE//CF,

...四边形AECF是平行四边形.

以②Ab〃CE为例，

V四边形ABCD是平行四边形,

：.AD//BC,

'.'AF//CE,

四边形AECR是平行四边形;

以④NA4E=ZDCF为例，

V四边形ABCD是平行四边形,

：.AB^CD,AB//CD,

：./ABE=/CDF,

'：/BAE=ADCF,

在△ABE与△CD/中，

2BAE=乙DCF

AB=CD,

./.ABE=乙CDF

：,AABE^ACDF(ASA),

：.AE=CF,/AEB=/CFD,

，NAEF=ZCFE,

：.AE//CF,

...四边形AEC厂是平行四边形.

【点评】此题主要考查平行四边形的定义及其判定，熟练掌握平行四边形的性

质及判定，则比较简单.

23.在中，A8=AC,点。在边8c所在的直线上，过点。作。/〃AC交

直线43于点R。石〃A3交直线AC于点£

(1)当点。在边上时，如图①，求证：DE+DF=AC.

(2)当点。在边的延长线上时