数学例题与探究：和角公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1计算:。思路分析:考查两角和与差的三角函数.10°、20°角直观上看似没有联系，但是两者的和角是30°为特殊角，所以把10°等价代换成30°—20°后就可以用两角差的公式化简。解：==.绿色通道:本题是无条件的三角函数求值问题，这是三角函数中的重要内容，是高考常考查的内容之一，对于这类非特殊角的三角函数式，求解具体数值一般有以下途径：（1)将非特殊角化为特殊角的和或差的形式；(2）化为正负相消的项，消项，求值；(3)化为分子、分母形式,进行约分求值;（4)利用诱导公式化任意角的三角函数为在［0，]内的三角函数；(5）特别注意诱导公式±α的应用；（6）化切函数为弦函数；（7）善于逆用和变形三角函数的和差公式。在进行求值过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则才进行各局部的变形。变式训练1(2006陕西高考卷，理13）cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为__________________.思路解析：原式=cos43°cos77°+sin43°cos(90°+77°)=cos43°cos77°-sin43°sin77°=cos（43°+77°)=cos120°=-。答案：-变式训练2求sincos—sinsin的值.思路分析:观察分析这些角的联系，会发现=—，即与是互余的两角，因此可用诱导公式将sinπ9变为cos,进而用和差角的正余弦公式求解.解：sincos-sinsin=sincos-sin(-）sinsincos—cossin=sin（—）=sin=.例2(2006重庆高考卷，理13)已知α、β∈(，π),sin（α+β）=-，sin（β-）=，则cos（α+）=________________.思路解析:考查三角函数求值以及角的变换。利用α+=（α+β)-(β-)来求值.∵α、β∈（,π）,∴（α+β)∈(,2π)。∴cos(α+β）=1—sin2（α+β)=.又(β—)∈（,),∴cos(β-)=—.∴cos（α+)=cos［(α+β)-(β-）］=cos（α+β）cos（β—)+sin（α+β）sin(β-）=(-)+(-）=—.答案:—绿色通道:本题属于“知值求值”的题目，“变角”的技巧在于三角函数求值以及证明中常用，因为变角后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.常见的角的变换方式:α=（α+β）—β，2α=（α+β)+(α—β），α+2β=(α+β)+β等,变换的方式很多，需要自己慢慢的体会和探索。黑色陷阱:求解时如果将sin(α+β）和sin（β-)展开，通过解方程组求sinβ和cosβ，那么运算量会很大，会因解方程组而陷入困境。变式训练1已知cosα=，cos（α+β)=—,且α、β∈（0，），求cosβ的值。思路分析:观察得β=（α+β)-α，再利用两角差的余弦公式展开，求出结果。解：∵α、β∈(0，)，∴0＜α+β＜π.∵cosα=，cos(α+β）=-，∴sinα=1-cos2α==，sin（α+β）==-=.∴cosβ=cos［(α+β)-α］=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=—×+×=。∴cosβ=.变式训练2已知sinα+sinβ=,cosα+cosβ=，求cos(α—β)的值.思路分析:由于cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ,欲求cos（α-β）的值，只需要求出cosαcosβ+sinαsinβ的值,而要得到两组同名三角函数乘积，需将条件中的两式平方再相加,即得cosαcosβ+sinαsinβ的结果.解：∵（sinα+sinβ)2=,(cosα+cosβ）2=，∴sin2α+2sinαsinβ+sin2β=，①cos2α+2cosαcosβ+cos2β=.②①+②得2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1，∴2+2cos（α—β)=1。∴cos(α—β)=-。例3已知锐角α、β满足sinα=，cosβ=，求α+β。思路分析:本题是考查两角和与差余弦公式的应用，及已知三角函数值求角的问题。要求α+β的值，需先求α+β的一个三角函数值，再根据角的范围确定角的具体值。解：∵α、β是锐角，∴cosα===,sinβ===。∴cos（α+β)=cosαcosβ—sinαsinβ=·—·=.由于0＜α＜，0＜β＜,得到0＜α+β＜π，∴α+β=.绿色通道：本题是“知值求角”的题目。其解题策略是先求角的一个三角函数值，再由角的范围确定角的大小,通常情况下，所求的角是特殊角。选择求角的三角函数值方法：已知正切函数值，选择求正切函数；已知正、余弦函数值,选择求正弦或余弦函数；若角的范围是(0，)，有时选正弦函数,有时选余弦函数;若角的范围是(—，），选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是（0,π)，则选余弦函数比正弦函数好。黑色陷阱：本题若是改求sin（α+β）的值,则会得到α+β有两个值，这样还要将α+β的范围(0,π)再缩小才行，问题就变得复杂了。变式训练1已知sinα=，sinβ=,且α、β均为钝角,求α+β的值。思路分析:先求cos（α+β)的值，再确定α+β的值。解：∵α和β均为钝角，∴cosα=—=—，cosβ=-=—.∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=—×(—）-×=。由α和β均为钝角得π＜α+β＜2π，∴α+β=.变式训练2已知tan(α-β)=，tanβ=-，且α、β∈(0,π），求2α-β的值.思路分析:转化为2α-β的正切值，其中注意角的变换2α—β=（α—β)+α.解:∵tan(α—β)==，∴=.∴tanα=.∴0＜tanα＜tan=1。又∵α∈(0,π)，∴α∈（0，）。∴2α∈（0,）。∵β∈(0，π)，tanβ=-,∴β∈(,π）。∴—π＜2α—β＜0。∵tan(2α—β）=tan［（α—β)+α]===1＞0，∴2α—β=-。例4（2006上海春季高考卷，19）已知函数f(x）=2sin(x+)-2cosx，x∈［，π].(1）若sinx=,求函数f(x)的值；（2）求函数f(x)的值域。思路分析:本题主要考查三角函数的性质和三角恒等变换.先将f（x）的解析式恒等变形，再解决其他问题。解：（1)∵sinx=,x∈［，π］，∴cosx=-，f（x)=2（sinx+cosx)—2cosx=sinx—cosx.∴当sinx=时，函数f（x）=×-（—）=+。（2）f（x）=2sin（x+)—2cosx=sinx-cosx=2sin（x—）.∵≤x≤π，∴≤x-≤5π[]6.∴≤sin(x—）≤1.∴函数f（x）的值域为[1,2］.绿色通道:讨论三角函数的性质时，通常先将函数的解析式化简为y=Asin(ωx+φ)+b的形式,有时利用换元法转化为二次函数，再讨论其性质.变式训练1(2006广州二模,11）函数y=sin2x—cos2x的最大值是_________________.思路解析：化为y=Asin(ωx+φ)+b的形式求最值。y=sin2x—cos2x=2sin(2x—）,则最大值为2。答案：2变式训练2已知函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2，（1)若x∈R，求函数的最大值和最小值；（2）若x∈［0,］，求函数的最大值和最小值。思路分析：将sinx+cosx平方，可得1+2sinxcosx，于是sinx+cosx和2sinxcosx可用一个未知数代替,这样利用换元法就可以转化为二次函数问题.解:(1）设t=sinx+cosx=sin(x+)。∵x∈R，∴—≤t≤.则t2=1+2sinxcosx，∴2sinxcosx=t2-1.∴y=t2+t+1=(t+）2+，—≤t≤.∴当t=时，y取最大值3+；当t=-时,y取最小值。∴ymax=3+,ymin=.(2）若x∈[0，π2］,则t∈［1，]。∴y∈[3，3+]，即ymax=3+，ymin=3。问题探究问题1(1)试分别计算tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC的值:①在等边三角形ABC中；②A=210°，B=120°，C=30°；③A=—150°,B=30°，C=-60°.（2)由（1）你发现了什么结论？并加以证明。(3)利用(2）的结论计算的值。导思:从A+B+C的结果上归纳并猜想出结论。探究:（1)①由题意得A=B=C=60°.tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=tan60°+tan60°+tan60°-tan60°tan60°tan60°=++-××=0；②tanA+tanB+tanC—tanAtanBtanC=tan210°+tan120°+tan30°-tan210°tan120°tan30°=+(-）+—×(—）×=0；③tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=tan(-150°)+tan30°+tan（—60°)—tan(—150°）tan30°tan(—60°）=++(—）-××（-）=0.(2）在(1)①中A+B+C=180°，有tanA+tanB+tanC—tanAtanBtanC=0；在(1)②中A+B+C=360°，有tanA+tanB+tanC—tanAtanBtanC=0；在（1)③中A+B+C=—180°，有tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0；猜想：当A+B+C=k·180°(k∈Z)，A,B，C≠k·180°+90°时，有tanA+tanB+tanC=tanAtanB