数学例题与探究：9三角函数的简单应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1有一长为a米的斜坡，它的倾斜角为θ(0＜θ＜)，现在要将倾斜角改为，则坡底要伸长多少米？思路分析：把实际问题进行抽象转化为求线段BC的长.图3在Rt△ACD中，AD=asinθ，CD=acosθ,∴BD===2acos2=a(cosθ+1）.∴BC=BD—CD=a(cosθ+1）—acosθ=a,即坡底要伸长a米。绿色通道求长度问题常转化为求线段的长，即转化为三角形中的三角函数问题.在将实际问题转化为数学问题时，要善于运用数形结合的思想，利用三角函数列出相等或者不等关系.变式训练在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（)A.米B.米C。米D。米思路解析:如图3-3—2所示,设塔高为h米，图3-3—2则ACtan30°=ABtan60°.∴200tan30°=（200-h)tan60°。解之,得h=.答案：A例2以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元；而该商品在商店内的销售价格是在8元的基础上也是按月份随正弦曲线波动的，并且已知5月份价格最高为10元，9月份价格最低为6元。假设某商店每月购进这种商品m件，且当月能售完，请估计哪个月份赢利最大?并说明理由.思路分析:本题的关键词是“按月份随正弦曲线波动的"。因此本题的三角函数模型是y=Asin（ωx+φ）+b的形式。解:由条件得：出厂价格函数是y1=2sin（）+6,销售价格函数为y2=2sin()+8.则利润函数为y=m（y2—y1)=m［2sin(x—）］+8—2sin(x-）-6]=msinx+2m（m＞0）.∴当利润y取最大值时，x=2kπ—V（k∈Z），即此时x=8k-2(k∈Z）。又1≤x≤12,x∈Z，∴≤k≤。∴k=1。∴有x=6。∴6月份赢利最大。绿色通道：在三角函数的应用题中，通常三角函数模型是y=Asin（ωx+φ）+b.关键是确定参数A、ω、φ、b的值.变式训练某港口水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是水深数据：t（时）03691215182124y(米)10.013.09。97。010。013。010。17.010。0据上述数据描成的曲线如图3—3-3所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y=Asinωx+b的图像。（1)试根据数据表和曲线，求出y=Asinωx+b的表达式;图3-3-3（2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4。5米是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略离港所用的时间）？思路分析:(1）从拟合曲线可知函数y=Asinωx+b的周期;由t=0时的函数值和t=3时函数取得最大值，进而可求得ω，A，b的值,即得函数的表达式。（2)根据（1）中求得的函数表达式，求出数值不小于4.5+7=11。5（米)的时段.解：(1)从拟合的曲线可知函数y=Asinωx+b在一个周期内由最大变为最小需要9-3=6个小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时,因此=12,ω=。又当t=9时,ymin=7；当t=3时，ymax=13.∴A==3，b==10，即函数解析式为y=3sinx+10。（2)由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y应大于等于7+4.5=11。5(米）.由拟合的曲线可知一天24小时内水深y变化两个周期,故要使船舶在一天内停留港口的时间最长，则应从凌晨3点前进港,而从第二个周期中的下午15点后离港。令y=2sin+10≥11。5，可得sinx≥。∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z).∴12k+1≤x≤12k+5(k∈Z)。取k=0,则1≤x≤5;取k=1,则13≤x≤17.而取k=2时，则25≤x≤29（不合题意）.从而可知船舶要在一天之内在港口停留的时间最长,就应从凌晨1点（1点到5点都可以）进港，而下午17点（即13点到17点之间）前离港，在港内停留的时间最长为16小时.问题探究问题试画出应用三角函数解决实际问题的框图.导思：首先用简洁的语言写出算法，再画出框图.探究：应用三角函数解决实际问题的步骤：第一步：收集数据；第二步：画散点图;第三步：选