浙南联盟2024-2025学年高二年级上册返校联考数学试卷（含答案）

绝密★考试结束前

2024学年第一学期浙南名校联盟返校联考

高二年级数学学科试题

考生须知：

1.本卷共5页满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.

4.考试结束后，只需上交答题纸.

选择题部分

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有

一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）

1.已知集合4={才0<%<1},3=1丁y〉g则AU3=（）

A.B.R,+oojC.(0,+oo)D.

2.“2工>1”是“x〉l”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条

件

3.若直线a不平行于平面a,且a则下列结论成立的是（）

A.a内的所有直线与a是异面直线

B.a内不存在与“平行的直线

C.a内存在唯一一条直线与a平行

D.a内所有直线与a都相交

4.已知关于x的函数y=ln（x-a）在［1,2］上单调递增，则实数a的取值范围是（)

A.a<1B.a<2C.a>\D.a>2

5.已知点P（3』）是角。终边上的一点，则cos2a的值为（）

343_4

A.—B.—C.—D.

555-5

6.已知同=忖=1,恒+,=也，则G在B上的投影向量为（）

百一百-3-

A.—bB.--bC.-bD.--b

2244

7.甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可

以判断出一定没有出现点数6的是（）

A.甲：平均数为3,中位数为2B.乙：中位数为3,众数为2

C.丙：平均数为2,方差为2.4D.T：中位数为3,方差为2.8

8.设函数/（司=①皿办+9）-1（。〉0）,若对于任意实数在区间:,年上至少有2个零点,

至多3个零点，则。的取值范围是（）

*「K8T八—B.[4,5）C「上号20、〕r「820、

二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）

9.下列选项中说法正确的是（）

A.必然事件和不可能事件相互独立

B.若数据再,％,％的方差d=0,则所有的毛（，=1,2,…,可都相同

C.若P（A）＞0,P（B）＞0,则事件A,3相互独立与A,3互斥不能同时成立

D.数据m,％2,…，%的方差是V，数据%,为，…，%的方差是¥，若笫=2x,+l，则sj=2s；+l

10.已知a,仇ceR,且/+。2+°2=3,以下说法正确的是（）

A.中至少有一个不大于1B.ab+bc+ca＜3

C.（〃C+Z?C）max=2D.若〃+/?+C=0,则C4行

11.已知平行六面体A5C。—451GA的棱长均为1，/。45=/448=/44。=60。,2尸分别是棱

耳G和G2的中点，尸是AG上的动点，则下列说法正确的是（）

A.A{C=V2

B.若AP=gpG，则吊尸〃面ERC

C.若AP=3PG，则&CJ■面EEP

D.若M是线段的中点，N是线段EF上的动点，则VP+PN的最小值是场

14

非选择题部分

三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）

12.已知z=（l+i）2-l,则复数z在复平面内对应的点位于第象限.

13.甲乙丙三位同学之间相互踢建子.假设他们相互间传递建子是等可能的，并且由甲开始传，则经过3次

传递后，建子仍回到甲处的概率为.

14.已知函数〃x）=x—加=3x73,若对于Vye{y|y=/（x）,x22}（i=l,2「、〃），不等式高二数

n-1

学£%22024%恒成立，则正整数n的最小值为.

1=1

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤）

15.（本题满分13分）在△ABC中，角A,3,C所对的边分别为a,6,c,J!Ly/3asinB=c-bcosA

（1）求角3的大小；

（2）若c==求△ABC的面积.

16.（本题满分15分）已知函数〃力=%2卜2+⑪+4的图像关于直线％=1对称.

（1）求a力的值；

（2）求函数/（x）的最小值.

17.（本题满分15分）今年6月我校进行了一次数学竞赛选拔考试.从参加考试的同学中，选取50名同学

将其成绩分成六组：第1组［40,50）,第2组［50,60）,第3组［60,70）,第4组［70,80）,第5组［80,90）,

第6组［90,100］,得到频率分布直方图（如下图），观察图形中的信息，回答下列问题：

（1）从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；

（2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级.若从成绩

在［80,100］的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率.

18.（本题满分17分）如图，三棱锥P—43。,/。=90°,4。=3。,瓦/分别是A3,3c的中点，且

^P-ABC=4S^PEF-3.

(1)求点3到平面PEF的距离；

(2)若面「石尸，面45。，求平面P4C与平面PER夹角的余弦值.

19.(本题满分17分)已知正实数集4={%,出,…,4}，定义：4={q％忖吗€A}称为A的平方集.记

”(A)为集合A中的元素个数.

(1)若人={1,2,3,4},求集合片和“(T)；

(2)若"(T)=2016,求“(A)min；

(3)求证：n(A2)>2n(A)-l,并指出取等条件.

2024学年第一学期浙南名校联盟返校联考

高二年级数学学科参考答案

命题：温州第二高级中学章筱玮

审稿：永嘉中学陈献娟

一、单项选择题：

1.C2.B3.B4.A5.B6.D7.C8.B

二、多项选择题：

9.ABC10.ABD11.ACD

三、填空题：

1

12.二13.一14.3037

4

四、解答题：

15.解：(1)方法一：GasiaB=c—bcosA

V3sinAsinB=sinC-sinBcosA

V3sinAsinB=sin(A+B)-sinBcosA

即V3sinAsinB=sinBcosA+cosBsinA-sinBcosA

得：tanB=——

3

:.B=-

6

方法二：V3asinB=c-b-'+'———

2bc

得•・,2y/5acsinB=c2+a2-b2

即1V3sinB=cosB

73

得：tanB=—

3

••・T

(2)由余弦定理得：l=a2+3-26z-V3--

2

得：(T—3。+2=0

，a=1或a=2

.•.户且或s=3

24

1

方法二：由正弦定理:

sin30°sinC

16.解：（1）方法一：/（x）=/（2-x）,

代入展开得/+加+加=x4-(。+8)/+(6a+/?+24)%2-(12〃+46+32卜+8〃+4/?+16,

由等式恒成立,

a——a—8

b=6〃+b+24a=-4

则1解得卜=4

0=—12〃—48—32

0=8〃+46+16

方法二：y(x+l)=(%+1)2[(%+1)2+〃(％+l)+b]

—%4+(〃+4)/+(3〃+/?+5)%?+(3〃+2b+4)%+a+/?+1

因为/(%+l)为偶函数,

4+。=0

则《

4+3〃+2b=0

a=-4

解得4

b=4

〃0)=〃2)

方法三:

/(-1)=/⑶

a=-4

得4

b=4

(2)〃x)=%2(%2-4x+4^=[x(x-2)]2

设方=%(x—2),则％=(%—1)2—12—1

.-.y=t2>0

：.函数〃x)取得最小值为0

当且仅当x=0或x=2的时候取到.

17.(1)73

(2)第5组［80,90)的人数为：50x0.008x10=4人,

第6组［90,100］的人数为：50x0.006x10=3人，

则从中任取2人，共21种情况；

其中至少1人成绩优秀的情况共15种情况；

至少1人成绩优秀的概率p="=*.

217

18.(1)由Vp-ASC=4Vp_石尸8=4，解得：Vp-EFB=1

=

由Vp_EFBVB-EFP=^S[EFP，％，解得：%=1

所以，点8到平面PEP的距离为1.

(2)解法一：(几何法)

'面PER1面ABC

面PER门面ABC=ER

由＜

BCLEF

BCu面ABC

05。，面尸所.结合第1问，可得：BF=1.

AC//EF

由［ERu面PER,nAC//面PEF

AC<z面PEF

记面PE^n面P4C=/，

'AC//^PEF

由Q面PERA面PAC=/,=>AC〃/,nER〃AC〃/

ACu面PAC

作PM±EF,PN1AC,则PMLl,PNLI.

可知：NMPN是平面PAC与平面PER所成的一个平面角.

在RT^PMN中，解得：PM=6,MN=1,PN=而

cosNMPN=—=—V37.

PN37

所以，平面PAC与平面PER夹角的余弦值是色历.

37

(2)解法二：(向量法)

如图，建立空间直角坐标系.P(0,a,6),A(-l,2,0),C(-l,0,0).

设面PAC的法向量为h=(x,y,z).

n-AC=Q,,、

由＜_,解得：H=(-6,0,1

H-PC=0

易得，平面PER的法向量玩=(1,0,0).

由cos9=|cos^n,m^|=-^-V37

所以，平面P4C与平面尸