（沪教版2020必修三）2021学年高二数学讲义-第03讲 空间直线与平面的位置关系（第2课时）

第3讲空间直线与平面的位置关系（第2课时）

一、填空题

1.已知IAABC在平面a内，NA=90",D4J■平面a,则直线C4与03的位置关系是.

【答案】垂直

【分析】

首先由已知条件证明AB_LC4和D4LC4,然后判断C4，平面D4B,然后再由线面垂直的性质可得答案.

【教师】

•.•D4_L平面a,ACu平面a,;.DALCA,

在AABC中，-.-ZA=90°,:.ABA.CA,

且ZMcB4=A,

.•.C41•平面ZMB,O3u平面D43,

:.CA±DB.

故答案为：垂直.

【点睛】

本题考查空间中两直线垂直的证明，解决问题的关键是证明直线和平面的垂直关系，然后由线面垂直的性

质证明即可.

2.若直线丛垂直于以A8为直径的圆所在的平面，C为圆周上异于48的一点，有下列关系：

①E4_L8C②BC_L平面PAC®AC1PB④PC_LBC,

其中正确的是.

【答案】①②④

【分析】

先由题意，得到C4_LC3,根据线面垂直的判定定理以及性质，可判断①②④正确；推出AC与PC不垂直;

假设ACLP8,根据线面垂直的判定定理与性质推出AC_LPC,得出矛盾，即可得出③错.

【教师】

因为C为以A8为直径的圆上异于A8的一点，

所以C4_LCB,

因为直线R4垂直于以43为直径的圆所在的平面，所以PA，平面ABC,

因此PA_L8C；即①正确；

又P4nC4=A,且PACAu平面PAC,

所以5C_L平面PAC；即②正确；

又PCu平面PAC,所以PC_L8C；即④正确；

因为PAL平面A8C,所以R4LAC,即△PAC是以乙4为直角的直角三角形，所以AC与PC不垂直；

若ACLPB,根据CC8,PBcCB=B,尸8,C8u平面P8C,可得AC,平面P8C,则ACJ.PC,这

与“AC,PC不垂直”矛盾，故AC,不垂直；即③错.

故答案为：①②④.

【点睛】

本题主要考查线面垂直，线线垂直的判断，熟记线面垂直的判定定理和性质即可，属于常考题型.

3.如图所示，在直四棱柱逸端翦岛-盘凿:中，当底面四边形ABCD满足条件时，有A|C_LBD

（注：填上你认为正确的•个条件即可，不必考虑所有可能的情形）.

【答案】对角线互相垂直

【教师】

本题答案不唯一，要证ACBQ”只需证B1D1垂直于AC所在的平面AiCG,因为该四棱柱为直四棱柱,

所以BDi_LCCi,故只需证BIDJAICI即可.

考点：线线垂直.

4.如图，正方体的棱长为1,E,尸分别是棱BC,。口上的点，如果用平面A3尸，

则CE与之和为.

【答案】1

【分析】

利用用平面A3户，可以证明△用破WABGC,所以CG=3E,从而可得CE与。尸的长度之和为1.

【教师】

过点尸作尸G〃回，交CG与点G,连接8G,如图,

••・四边形A8GF是平行四边形,

AFUBG,AF=BG,

•：BiEABF,

:.BtElAF,△B,EB=\BGC,

CG=BE,

■：CG=DF,BE+CE=\,

；.CE与DF的长度之和为1.

故答案为：1

【点睛】

本题主要以正方体为载体，考查线面位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.

5.如图，48CD-ASCQ为正方体，下面结论中正确的结论是.（把你认为正确的结论都填上）

①80〃平面C8Q；

②AG_L平面CBQ；

③过点A与异面直线A。和CA成90。角的直线有2条.

【答案】①②

【分析】

对于①，由正方体的性质可得再由线面平行的判定定理可得结论；对于②，由正方体的性质和

线面垂直的性质可得与鼻，AG，BQ1AC,从而由线面垂直的判定定理可得结论，对于③，由线线垂直

的判定方法判断即可

【教师】

如图，正方体中，

由于B力〃与。_由直线和平面平行的判定定理可得8。//平面eq。，故①正确.

由正方体的性质可得用CC.IB.D,,故BQ_L平面ACCM，故瓦RJ_AG.

同理可得8C，AG.再根据直线和平面垂直的判定定理可得，4Gd.平面CBQ-故②正确.

过点A与异面直线AO成90。角的直线必和BC也垂直

过点A与直线C4成90°角的直线必和CB,垂直

则该直线必和平面BCCB垂直，满足条件的只有直线人用，

故③不正确.

故答案为：①②.

6.如图，在三棱锥P—ABC中，必，底面ABC,/8AC=90。，F是AC的中点，E是PC上的点，且EFLBC,

【答案】1

【教师】

在三棱锥P-A8C中，

因为方J_底面ABC,ZBAC=90°,所以ABJ_平面APC.

因为EFu平面FC,所以EFLAB,

因为E/UBC,BCC\AB=B,

所以EFJ_底面ABC,所以以〃£尸，

因为尸是4C的中点，E是PC上的点，

所以E是PC的中点，所以==1.

EC

答案：1.

7.如图，在正方体ABC。-48cA中，E,F,G分别是棱4冉，BBX,的中点，则下列结论中:

①FG工BD；②片。上面EFG：

③面E『G//面ACGA;④EFH面CDD.C,.

正确结论的序号是.

【答案】②④.

【分析】

由尸G〃8G，ABOG是正三角形，可判断①；判断出。•平面AGB,平面AG8〃平面EFG,可判断②;

假设面EFG〃面ACC/,则可以推出AA//EF可判断③；由平面平面。CCQ，EFu平面

可判断④.

【教师】

连接、,分别是BB的中点.

AG，A1,BCBD,BtD,E,F,GA]，\>4G

对于①，因方FG//BQ,ABOG是正三角形，所以FG与BD不垂直；

对于②，连接。内，因为且BQc8岑=4,所以

AG-L平面BDRBI,DB,c平面BDD档,所以AGL，同理BQ±DB,,

且A£?BGC,,所以。q_L平面AGB,因为A8〃EF,\CJIEG,且ABCAC=A，EF[}EG=E,所

以平面AGB〃平面EFG,所以BQ_L平面EFG.正确；

对于③，如果面EFG〃面ACGA,由平面EFGn平面AB81A=EF,

平面CCMACI平面B80A=AA,则A4,〃E尸，显然不正确；

对于④，因为平面A84A〃平面DCCQ,EFu平面ABB/，所以EF〃平面CD£>G，正确

故选：②④.

【点睛】

方法点睛：本题主要考查了正方体中垂直与平行关系，考查了线线垂直、线面垂直的判定、线面平行的判

断、面面平行的判断与性质，对于证明线线关系、线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有

关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明，属于中档题.

8.如图，在直三棱柱中，侧棱长为2,AC=8C=1,ZACB=90°,。是A4的中点，F是BB1

上的动点，AB〉。尸交于点E,要使A用，平面CQF,则线段的长为.

c

【分析】

设B1F=x,先由平面CQF,得到A与J.OF,设RfZ\AA4斜边A片上的高为人根据题中数据求出

h=巫,DE=B,再由久"叱=；8也•。尸尸列出方程，即可求出结果.

3322

【教师】

设81F=x,

因为平面G。/，OFu平面G。/，

所以A8IJ.OF,

由已知可得A耳=V2,

设Rt/XAA^斜边ABt上的高为h,

贝l]OE=L/7,

2

又^^4=344•9=^A耳•〃，即；x&x2=gx,+（何x〃,

所以/z=至，DE=此.

33

因为山与产'避㈤尸号如出尸,

所叫哈扪二为冬，

解得X4

故答案为：

【点睛】

本题主要考查空间几何体中的相关计算，根据线面垂直求线段长，熟记线面垂直的性质即可，属于常考题

型.

9.如图所示，在四棱锥P-43co中，P4_L平面A3C£>,PC1AD,底面438为梯形，AB//DC,

PF

ABLBC,AB=BC,点E在棱PB上,若PD〃平面E4C,则=.

【答案】2

【分析】

连接3。交4c于点。，连接。E,先由线面垂直的性质定理可知a，AD,再结合线面垂直的判定定理得

4。，面PAC,从而有AOLAC.结合A4BC为等腰用△以及AB〃£>C,可推出AACD也为等腰反△,

CD=2AB,于是黑=梁二，最后根据线面平行的性质定理可证得OE〃PD，管=等，从而得解.

ODCD2EBOb

【教师】

如图所示，连接8。交AC于点0,连接OE,

平面A8C£>,面ABC。，：.PAA.AD,

.•PCS.AD,PAC\PC^P,PA.PCu面PAC,.•.AD_L面PAC,

•.。ACu面PAC,ADYAC.

■：AB±BC,AB=BC,：,AC=y/2AB,ZBAC=45°,

又AB〃ZX:,.•.ZAC£)=NHAC=45。，「.AAC。为等腰直角三角形，CD=0AC=2AB,

•_A81

一~6D~~CD~Z•

・.・尸£)//平面£4。，PDu面PBD,且平面EACD平面尸8£>=O£\

:.OE//PDf

PEOD八

—==2.

EBOB

故答案为：2.

【点睛】

本题考查空间中线与面的位置关系，熟练运用线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查

学生的空间立体感、逻辑推理能力能力和运算能力，属于中档题.

10.如图，矩形ABC。中，AB=2AD,E为边AB的中点，将△AOE沿直线DE翻折成△AQE.若M为线段

AC的中点，则在△4OE翻折过程中，下面四个命题中正确是.(填序号即可)

4

①IBM是定值；

②总有CA_L平面AlOE成立；

③存在某个位置，使。

④存在某个位置，使MB//平面AQE.

【答案】①④

【分析】

根据翻折过程中的一些线线，线面关系不变，结合线线垂直，线面平行的相关知识一一分析即可.

【教师】

Ai

AEB

对于①：由图知，取C£＞的中点F,联结MF,BF,设=

易知NAiDE=NMFB=%,MF=}-A\D=~,FB=DE=0,

422

由余弦定理可得MB2=MF+FB?-2MF・FB・cosNMFB,

所以MB是定值，故①正确.

对于②：由反证法，若总有C4_L平面AQE成立，则C4_L4E成立，

而CE=^a,AtE=a,求得C4=。为定值，而在翻折过程中，

C4的长是一直变化的，故②错误；

对于③：在平面ABC。中的射影为AC,AC与不垂直，

；.AiC与。E一定不垂直，可得③不正确.

对于④：由①知，MFUDAx,BFIIDE,

，平面M8F//平面AQE,

〃平面AQE,故④正确.

故答案为：①④.

【点睛】

方法点睛：反证法证伪会简化解题步骤，熟练使用线线，线面关系的性质，来判断线线，线面关系.

11.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边AB=后，。为直角边BC上的一点（异于8,C）,将AACD沿直

线AO折叠至A4CQ的位置，使得点G在平面池外，且点G在平面加上的射影”在线段4B上，设

AH=x,则x的取值范围是.

【答案】友/J

【分析】

过点。作于M,连接“。.设=8=f则34=&-x，BD=l-t,在RdC、DH与RtMIDM

中，根据“。2=”/2+加£>2=a。2-©42，f>x=—,从而求解即可.

1+r

【教师】

连接C”交A£>于G,连接GG,HD,过点。作£>M_LAB于M.

设4/=x,CD=f则84=拒-x，BD=\-t,

•••在等腰直角三角形ABC中，斜边A3=&.

AC=BC=1,ZACB=9(),ZB=45

CQ=Cr)=，G(O,l),AG=4C=1,N4Go=90.

•点G在平面加上的射影H在线段AB上.

平面

CtH_LABC.

则毋=>/^

AH<ACt=],6〃=*2-7.

在中22

RfAGO"HZ)?=C]£>2_C1//2=r-(l-x)

在Rt^BDM中8例=OM=券8。=干(1t)

在RtMDM中HM=BH-BM=(>/2-x)-^(l-Z)

■BT6丫

HD2=HM2+MD2=(V2-X)-—(1-r)+^y-(l-r)=r2-(l-x2)

贝I]+=0,即x=

vre(0,1)

与x<®则x的取值范围是

故答案为：(咚

【点睛】

本题考查立体几何求线段长度的取值范围，属于较难的一道题.

12.如图，直角梯形A8CD中，AD//BC,AB1BC,BC=3AB,AD=2AB,E为A。的中点.把A4BE折

起，使A至4,若点尸是线段CA'上的动点，则有下列结论:

①存在点P,使。尸〃平面A8E;

②对任意点P,使。P与4E成异面直线；

③存在点A',使AB_L平面ABE；

④存在点4,使A'8_L平面A7)E.

其中不正确的序号是

【答案】②③④

【分析】

利用线面平行的判定定理可判断①；根据空间直线之间的位置关系即可判断②；根据线面垂直的判定定理

可判断③，④.

【教师】

解：对于①，取C8的三等分点M,使CM=28M,

当C尸=2班时，有KB//PM.又DE//aW,

二四边形阻）M为平行四边形，则。M〃8E,

故平面ABE//平面尸DW,而£>Pu平面P/W,则DP//平面A'3E，因此①正确;

对于②，当点尸与点火重合时，与4E共面，故②错误；

对于③，若平面ABE，则A8垂直于平面内的任何直线，而NABE=45。，

二A8不垂直于平面A'BE，故③错误；

对于④，若A'B_L平面A力E，则A8_LA4，，而AB=AB,

显然在自△8/VA中不成立，故④错误.

综上可得：②③④错误.

故答案为：②③④

二、单选题

13.己知直线〃?，h,c和平面a,下列条件中，能使机，a的是（）

A.mLb,mVc,bVa,c_LaB.mVb,b//a

C.mDb=A,6_LaD.m//b,bVa

【答案】D

【分析】

根据线面垂直的性质定理及判定定理一一判断可得；

【教师】

解：对于A：mLc,b-La,c±a,则"，与a可能平行或机ua,故A错误;

对于B：mLb,b//a,则m与a可能平行或相交或机ua,故B错误；

对于C：mHb=A,bla,则m与a可能平行或相交或，nua,故C错误；

对于D：由线线平行及线面垂直的判定知选项。正确.

故选：D

14.已知两条不同的直线/,〃?和两个不同的平面a,夕，有如下的命题：

①若/ua,%ua,////?,〃〃/尸，则a//£；

②若/ua,///夕，a[}p=m,贝

③若a”，则/，a,其中正确命题的个数是（）

A.3B.2

C.1D.0

【答案】B

【分析】

由面面平行得①错误，由线面平行的性质定理可得②正确，由空间线面关系得③正确，得解.

【教师】

解：对于①，若/ua,，〃ua,〃/〃，mllp,则a〃4；①错误，还需=故①错误,

对于②，若/ua,〃/£,噌夕"，由线面平行的性质定理得：/〃加；故②正确，

对于③，若a//,则/_La,故③正确.

故选：B.

15.如图，ABCD-A.B^D,为正方体，则以下结论:①30〃平面CBQ您4。-3,③AG，平面C8a.其

中正确结论的个数是（）

D.3

【答案】D

【分析】

对于①，由正方体的性质可知80〃用已，再由线面平行的判定定理可得结论；对于②，由正方体的性质可

得AC_LB£>,再结合三垂直线定理可得结论；对于③，由正方体的性质可得AG八BR,AC,CB,,从而

可由线面垂直的判定定理得到结论

【教师】

由正方体的性质得，BDUBQ、,所以结合线面平行的判定定理可得：8。//平面C4A；所以①正确.

由正方体的性质得AC180,因为AC是A&在底面ABC。内的射影，所以由三垂线定理可得：AC,±BD,

所以②正确.

A

由正方体的性质得由②可得AG所以AGBB，同理可得AG八CBt,进而结合线面

垂直的判定定理得到：AG，平面CB|R,所以③正确.

故选：D.

16.如图，在矩形ABCZ）中，AB=2AD,E为边A8的中点，将沿直线QE翻折成△A.DE.若M为

线段AC的中点，则在组翻折过程中，下列结论中正确的有：（）

①总存在某个位置，使CE_L平面AQE；

②总有3M//平面A。。

③存在某个位置，使OE^AC.

A.①②B.C.②③D.①②③

【答案】A

【分析】

对于①，由线面垂直的判定可以判断；对于②，根据面面平行证明线面平行；对于③，由线面垂直来判断.

【教师】

在①中，总存在某个位置，使CE,平面AOE,①正确;

在②中，取CO中点尸，连接“/，BF,则M尸〃AQ且=FB//ED旦FB=ED,

由MF〃A。与RB//£E>,可得平面MB尸〃平面AIDE,

二总有BM//平面AtDE,故②正确；

在③中，A。在平面ABC。中的射影为AC,AC与OE不垂直，

.•.OE与AC不垂直，故③错误.

故选：A.

17.在正方体中，下列判断正确的是（）

A.4（?_1面4用口B.AC,面A4G。C.48,面A8QD.AtB1ADt

【答案】A

【分析】

在正方体488-A8C。中，ACJBR,根据线面垂直判断定理和性质可证得ACJ•旦口，同理

A,C1AB,,可证得ACJ.平面AqR,可判断A、B选项；

连接RC,AC,则乙4RC为AB与4。所成角，由此可判断C、D选项.

【教师】

在正方体ABC。-A与GO中，AG_LBQ,

又CQ工BQ、,且AGp|CG=G,.•.用平面ACC，则

同理ACLA4,则4。，平面AS。，故A正确，B不正确；

连接。C，AC,则NARC为A/与AR所成角，为60。，故C、D不正确.

故选：A.

18.在下面四个正方体ABCD-AB'C'D中，点M、N、P均为所在棱的中点，过M、N、P作正方体截

面,则下列图形中，平面MNP不与直线4C垂直的是（）

【分析】

利用线面垂直的判定定理可判断BCD选项，利用假设法推出矛盾，可判断A选项.

【教师】

对于A选项，连接B'C,假设ACJL平面MNP,

在正方体A8CD—A'B'C'£)‘中，A'B'_L平面BQC'C,8'Cu平面58'C'C,AB'±B'C,所以，VA'3'C为

直角三角形，且NA'CB'为锐角，

因为“、N分别为BB'、BC的中点，则MN//BC,所以，MN与AC不垂直，

这与A'CJ_平面MNP矛盾，故假设不成立，即AC与平面MVP不垂直；

对于B选项，连接377、A'C,如下图所示：

因为四边形AB'C'D为正方形，则AC」氏D',

■,CC'A-平面AB'C'D,u平面A'B'C'iy,CC±B'D',

vA'C'C\CC'=C,_L平面ACC,

ACu平面ACC,AC±B£>.

-.-M,尸分别为A®、AD的中点，则,可得MPLAC,

同理可证A'C_LMN,

MPcMN=MA'C_L平面MNP；

对于C选项，连接C'。、A'N、CN、A'P.PC,取Ab的中点E,连接C'E、PE,

因为四边形CC。。为正方形，则C0LCZ),

A'DJ_平面CCT/O,C'E>u平面CCT/O,:.C'D±A'D',

S'nAD=CO，平面A'CD',

•rM、N分别为。。、。'£)’的中点，二加代〃0；.从。，加,

B'------------------C

在正方形A'B'C'D中，E、N分别为A®、C力的中点，，AE〃C'N且4E=C'N,

所以，四边形A'EC'N为平行四边形，所以，NNHCE豆KN=CE,

同理可证四边形CCEP为平行四边形，C£〃CP且CE=CP,

所以，XNHCP旦NN=CP,所以，四边形APCN为平行四边形，

易彳导A'N=CN,所以，四边形4PCN为菱形，所以，A'CYPN,

♦;MNCPN=N,平面MNP；

对于D选项，连接AC、BD,

因为四边形43co为正方形，则ACL8O,

•.•A4'_L平面A8CD,8。匚平面488,.・.44'_1_8£),

•.•ACcA4'=A,.•.8。，平面A4'C,

•.•ACu平面A/C,AC1BD,

•.•〃、N分别为C。、8c的中点，则MW/BD,-.ACA.MN,同理可证AC_LMP,

,:.A'CmMNP.

故选:A.

【点睛】

方法点睛：证明线面垂直的方法：

一是线面垂直的判定定理；

二是利用面面垂直的性质定理；

三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、

线面与面面关系的相互转化；

另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平

分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度,

经计算满足勾股定理）、直角梯形等等.

19.如图甲所示，在正方形ABC。中，E尸分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿尸及EF

把这个正方形折成一个四面体，使3、C、。三点重合，重合后的点记为，，如图乙所示，那么，在四面体

A-EEH中必有（）

C.”9所在平面D.所在平面

【答案】A

【分析】

由已知条件可得AHLHF,再由线面垂直的判定定理可得AH_L平面,从而可判断A,B

选项；由已知可得所_L平面H4G,从而得平面H4G，平面AEF,进而可对C,D选项进行判断

【教师】

根据折叠前、后4/HE,48_1所不变，二人〃_1平面瓦77,A正确；

,过A只有一条直线与平面£777垂直，8不正确；

VAGLEF,EF_LA〃，平面H4G,.,.平面H4G_L平面A£F,过〃作直线垂直于平面,一定

在平面H4G内，

.1C不正确：

•••"6不垂直于47,，〃6，平面4口不正确，。不正确.

故选：A

20.如下图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①BM//平面AQE；②力E_LBN；③平面

BDM”平面AFN；④A〃_L平面8DE.以上四个命题中，真命题的序号是（）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④

【答案】A

【分析】

把正方体的平面展开图还原成正方体A8CA-EFMN,得出8M〃平面AEWE,判断①正确；由连接AN,则

AN//BM,又ED工AN,判断②正确；由BD〃/得出BO〃平面AFN,同理〃平面AFM证明平面

80M〃平面AFN,判断③正确；由MCJ_8D,EDLAM,根据线面垂直的判定，判断④正确.

【教师】

把正方体的平面展开图还原成正方体ABC4-EFMM如图1所示；

对于①，平面2CMF〃平面ADVE,BMu平面BCMF,

...BAf〃平面AONE,①正确；

对于②，如图2所示，连接4N,则AN〃8M,又ED1AN,所以②正确；

对于③，如图2所示，

BD//FN,BOC平面AFN,FNu平面AFN,〃平面AFN；

同理8M〃平面AFN,且...平面〃平面4FM③正确；

对于④，如图3所示，连接4C,则8DLAC,又MC_L平面ABC。，8/）u平面ABC。，

所以用C_L8£>,XAC?MCC,所以8O_L平面ACM,所以8£>_L4M,

同理得EDL4M,ED^}BD=D,所以AM,平面8£>E,...④正确.

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键在于展开空间想象，将正方体的平面展开图还原，再由空间的线线，线面,

面面关系及平行，垂直的判定定理去判断命题的正确性.

21.四棱柱的底面为正方形，侧棱与底面垂直，点尸是侧棱。。的中点，M=2,AB=1,

若点Q在侧面BCC,BI（包括其边界）上运动，且总保持AQLBP,则动点Q的轨迹是（）

B

D.'

G

【答案】D

【分析】

利用正方体的性质可得体对角线垂直于平面ACM,进而得出动点的轨迹.

【教师】

正四棱柱ABCO-ABCA截去下半部分，剩余部分为正方体，

如图所示：连接AC,CM,4W,8N,

由正方体性质易知AM_L3N,NP_L平面ABA/N,

所以AW_L8N,NPA.AM,

因为BNCNP=N,所以40，平面切VP,

所以同理可得MCLBP,

因为=M,

可得8Pl,平面ACM,

M

即动点2在侧面BBCC（包括其边界）上的运动轨迹为线段CM

故选：D

【点睛】

本题考查立体几何中的轨迹问题，本题解题的关键在于构造正方体，使得BP为正方体的体对角线，进而易

知8尸，平面ACM,进而得其轨迹.考查空间思维能力，是中档题.

21

22.如图所示，在正方体ABCQ-A耳CR中，E、F分别在AQ、4C上，且=§，4/=§47.则（）

A.EF至多与A。、AC之一垂直B.EF是AQ、AC的公垂线

C.EF与8。相交D.EF与异面

【答案】B

【分析】

延长AE与力。交于点G,连接30与AC交于点。，连接G0,证明EF〃GO〃£）［8,D,B,AC1D.B,

得到答案.

【教师】

如图所示：延长AK与交于点G,连接BO与AC交于点。，连接GO.

2|

4£=-A^-根据AME~AGQE知OG=mM，G为。。中点.

BO与AC交于点。，AF=^AC,故AAEF〜A4G9,故E尸〃GO〃"B.

易知平面RA8,R8u平面故同理ACLRB.

故选：B.

【点睛】

本题考查了直线和直线的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.

三、解答题

23.如图，在直三棱柱ABC-481cl中，ABLAC,AB=AAi,ABiHA\B=M.求证：Ai8J_平面MAC.

【答案】证明见教师

【分析】

依题意可得4田，AM,AC1A4.,即可得到4C,平面A2B4,由线面垂直的性质得到AC1A4,即可

得证；

【教师】

证明：因为在直三棱柱ABC-4BC1中，AB1.AC,AB=AAi,AiBQABt=M,

所以AiB_LAM,ACLAAi,

因为ABnA4i=A,所以AC_L平面ABBiAi,Agu平面A881A

所以ACLAB,

因为AMClAC=A,AM,ACu平面M4c

所以A|B_L平面MAC.

24.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形A8CD是ND4B=60。且边长为a的菱形，△PAD

为正三角形，其所在平面垂直于底面ABC。，G为AD的中点.求证：

(1)8Gl.平面PAD-,

(2)ADLPB.

【答案】(1)证明见教师；(2)证明见教师.

【分析】

(1)利用正三角形的性质得尸GJ.AO,由面面垂直的性质定理得得线面垂直，从而有线线垂直，PGLBG,

再由菱形得正三角形，得由纯平面垂直判定定理可证结论；

(2)在(1)的基础上可得与平面PBG垂直，从而得证线线垂直.

【教师】

(1)由题意知△出力为正三角形，G是AO的中点，

：.PG±AD.

又平面B4£>_L平面ABCD,平面平面ABCD=AD,PGu平面PAD,

平面ABC。，又BGu平面48CD,

：.PG±BG.

又,:四边形ABCD是菱形且ZD4B=60。，

.'.△ABO是正三角形，：.BG±AD.

又A£)nPG=G,AD,PGu平面抬£),

.*.BG_L平面PAD.

(2)由(1)可知BG_LA£>,PGLAD,BGC\PG=G,BG,尸Gu平面PBG,

.♦.AQ_L平面PBG,

又PBu平面尸BG,.•.A£>_LP8

【点睛】

思路点睛：本题考查线面垂直的判定定理和性质定理，解题时掌握定理的条件是解题关键，一般需要把定

理的条件全部罗列出来，才能得出结论，否则解题过程不完整，容易出现错误.证垂直时注意线线垂直、

线面垂直、面面垂直之间的相互转化.

25.如图，在三棱锥P-ABC中，PAJ•平面ABC,底面ABC是直角三角形，PA=AB=BC^4,。是棱AC

的中点，G是AAQB的重心，。是雨的中点.

（1）求证：平面E4B；

（2）求证：10G〃平面PBC；

【答案】（1）证明见教师；（2）证明见教师.

【分析】

（1）由线面垂直推出「4,8。，由直角三角形推出ABL8C,即可证明线面垂直；（2）连结0G并延长交45

于点£,连结Q。，DE,通过证明。£//平面尸8C、。0〃平面P8C证明平面。0E〃平面PBC,从而推出

线面平行.

【教师】

（1）证明：♦.•E4JL平面48C,且BCu平面ABC,J.E4_LBC,

••,底面48c是直角三角形且AB=8C,.•.AB1.8C,

又R4u平面以B,A8i平面以B,PA[}AB=A,

■■■BC_L平面

（2）证明：连结0G并延长交AB于点£,连结OO,DE,

••,6是。。8的重心，,OE为A3边上的中线，E为A3边上的中点,

又有。为E4边上的中点，DE//PB,

PBu平面PBC,DEH平面PBC,

同理可得。0〃平面PBC,

又•.•£>£•<=平面。OE,£>Ou平面。OE,DEcDO=D,

平面OOE〃平面PBC,

又有ZXJu平面£>OE,..DG〃平面PBC

26.如图，在正三棱柱中，若AB=^BB、,AD=DC,试证明:

(1)44〃平面BCQ；

(2)ABt1fiC,.

【答案】(1)证明见教师；(2)证明见教师.

【分析】

(1)连接BC交BG于点E,连接DE,则E为8c的中点，利用中位线的性质可得OE/AAB1,再利用线面

平行的判定定理可证得结论成立；

(2)取8c中点尸，连接AF、B、F,证明出BQ,平面AB7,进而可证得4百，8G.

【教师】

(1)连接AC交BG于点E,连接OE,

在正三棱柱ABC-A4G中，四边形8与GC为平行四边形，且BCC|BG=E,则E为5c的中点，

又QO为AC的中点，所以AB//OE,

又Aga平面8G。，DEu平面8CQ,所以A8//平面BCQ；

(2)取BC中点F,连接A尸、BtF,设gFnBG=。，

在正三棱柱ABC-A,BC中，8片，平面ABC,

AFu平面，4尸-LBB],

为正三角形，且尸为BC的中点，・・.AFJ.8C,

・・・54nBC=3,「.AF，平面33CC，

•・•BQu平面BB'GC,AF±BC\,

在侧面BCC冉中，BC=^BB',尸是8C的中点，.•.暮=号=瞿,

BB、281G

又NBQF=NBB£=90,所以，Rt^BB.Q~Rt^FBB,,

NBFB，=ZB,BC,,所以，ZBFBt+NCBC,=ZB,BCt+ZCBC,=90,

Z.BOF=90°.所以8G，AF,

vAF^B,F=F,所以，8Gl面AB/,

因为AAu平面ABtF,所以BC、1AB,.

【点睛】

方法点睛：证明线面垂直的方法：

一是线面垂直的判定定理；

二是利用面面垂直的性质定理；

三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、

线面与面面关系的相互转化；

另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平

分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度,

经计算满足勾股定理）、直角梯形等等.

27.如图，已知正方体ABCD-ASGA

（2）M,N分别为81D1与Ci。上的点，且MNLCiD,求证：MNHAxC.

【答案】（1）证明见教师：（2）证明见教师

【分析】

（1）由线面垂直的判定定理可证平面4GC,从而BQi,4c.

（2）垂直于同一平面的两直线平行，先证出MN_L平面AB出和AiC_L平面从而AC//MN.

【教师】

（1）如图，连接4G.

因为CCJ_平面A\B\C\D\,BiOiU平面A\B\C\D\,

所以CGIBiDi.

因为四边形是正方形，

所以AiC_LBA.

又因为CC£AIG=CI,

所以8Qi_L平面AGC.

又因为AiCu平面ACC,所以8QiJ_AC.

（2）如图，连接如A,ADi.

因为

所以四边形AOGB为平行四边形,

所以CiDHABi,

因为MN_LG。，所以MN_LABi.

又因为MN_LBQi,Abn8Q=3,

所以MML平面ABiOi.

由⑴知4c

同理可得4CJ_ABi.

又因为A8n8i£)i=Bi,

所以ACJ_平面ABIOI.

所以AC//MN.

【点睛