2.2 基本不等式 -(必修第一册) (教师版)

基本不等式1基本不等式若a>0,b>0，则a+b≥2ab(当且仅当a=b②基本不等式的几何证明(当点D、O重合，即a=b时，取到等号)③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.一正指的是a>0,b>0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.2基本不等式及其变形2(调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.①a+b≥2ab，3对勾函数①概念形如y=x+a②图像③性质函数图像关于原点对称，在第一象限中，当0<x<a时，函数递减，当x>④与基本不等式的关系由图很明显得知当x>0时，x=a时取到最小值y其与基本不等式x+ax≥2【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解情况1一正：a求函数y=【误解】x+1x【误解分析】误解中套用基本不等式，a=x,b=1x，当忽略了【正解】∵x<0∴−x>0,−1∴−x+−1x≥2∴x+故函数y=x+情况2二定：ab定值求函数y=【误解】y【误解分析】套用基本不等式a=x,b=1x−1，满足a、b均为正数，但是最后求不出最值，因为【正解】y=x+(通过凑项得到定值“x−1∙1故函数y=x+情况3三等：取到等号求函数y=x【误解】y=x2+5【误解分析】在误解中把a=x2+4,b=1x2【正解】y=x2+5x2因为对勾函数y=t+1t在[2,+∞)上单调递增，当t=2时，取得最小值故y=x2+5【题型二】基本不等式运用的常见方法方法1直接法【典题1】设x>0、y>0、z>0，则三个数1x+4y、1y+4z、A．都大于4 B．至少有一个大于4 C．至少有一个不小于4 D．至少有一个不大于4【解析】假设三个数1x+4y<4且1y相加得：1x由基本不等式得：1x+4x≥4；1y相加得：1x所以假设不成立，三个数1x+4y、1y+4z、故选：C．【点拨】本题利用了反证法求解，当遇到“至少”“至多”等的字眼可考虑反证法：先假设，再推导得到矛盾从而证明假设不成立.【典题2】设x>①(x+1x)(y+1y③x2+9x2+5A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】∵x>0，y>0，∴x+1x≥2,y+1y≥2，当x+y1x+1y=2+xx2+5+4xx+y+2xy≥2故正确的有三个，故选：C．【点拨】①直接使用基本不等式求解最值时，一是要做到“一正二定三等”，二是要选择适当的式子充当"a,b".②连等问题本题中④x+y+2xy≥2这里连续用到基本不等式，这要注意连等问题，即要确定两个等号是否能同时取到，x+y≥2xy是当x=y时取到等号，2xy+即要同时满足方程组x=yxy=1(∗)才行，而方程组(∗)有解即x+y+2xy≥4再看一例子：设x,y∈R∗,x+y=1误解1：∵x+1x≥2,y+误解2：∵x+以上两种解法问题在哪里呢？【典题3】已知实数a，b满足ab>0，则aa+b【解析】aa+b−a∵ab>0∴ab+∴1ab【点拨】要用基本不等式的直接法求解需要寻找“乘积为定值的两个式子”，比如x与1x，ab与2ba方法2凑项法【典题1】若x>1，则函数y=4x+1x−1的最小值为【解析】y=4x+1x−1=4∴函数y=4x+1x−1的最小值为【点拨】把4x凑项成4x−1，目的是使得4x−1与【典题2】若x>1，则2x+9x+1+分析：2x、9x+1、1x−1x−1，而它们的和刚好是2x，故想到令【解析】2x+9当且仅当x+1=3，x－1=1，即x=2时取等号，(用了两次基本不等式，要注意是否能同时取到等号)故2x+9x+1+【典题3】设a>b>0，则ab+4b2【解析】∵a>b>0∴a−b>0；∴ab+4=ab−b2+1b(a−b)+=b当且即当b(a−b)=1b(a−b)且b∴ab+4b2【点拨】凑项的目的是使得“ab为定值”，它需要一定的技巧！本题观察到4b2、1b(a−b)方法3凑系数【典题1】若0<a<12，则a(1−2a)的最大值是【解析】∵0<a<12，∴a>0且则a1−2a当且仅当2a=1−2a,即a=14时等号成立，即a(1−2a)的最大值为【点拨】基本不等式的变形2a+1−2a【典题2】已知a,b为正数，4a2+b2【解析】因为4a则a1+(这里用到了不等式ab≤a2当且仅当4a【点拨】①不等式ab≤a2+b22把ab，②平时做题要多注意常见二元关系：倒数和、积、和、平方和，能够灵活使用以下不等式能够达到快速解题的效果.

2方法4巧“1”法【典题1】已知x>0，y>0，x+y=2，则x+y的最大值是【解析】∵x+1≥2x,y+1≥2y(加“1”巧妙的把x与x，y与y联系起来)相加得x+y+2≥2即2x+y【典题2】已知x>0，y>0，且2x+1y=2【解析】∵2xx+2y=(x+2y)∙1当且仅当xy=4y故x+2y的最小值为4.【点拨】本题的方法很多，比如消元法、换元法等，但属巧"1"法最简洁了！【典题3】设a>2，b>0，若a+b=3，则1a−2+1【解析】若a+b=3，则(a−2)+b=1，(凑项再利用巧"1"法)则1a−2又由a>2,b>0，则ba−2+a−2则1a−2+1b=2+方法5换元法【典题1】若x>1，则y=x−1x2+x−1的最大值为【解析】令t=x−1，则x=t+1，t>0原式=t当且仅当t=1即x=2时等号成立.故y=x−1x【点拨】本题是属于求函数y=【典题1】若a,b∈R∗，a+b=1，则a+12【解析】设s=a+则a=s∵a+b=1∴(这相当已知s2+t2=2求s+t∴s+t即a+12+【点拨】①本题本来是“已知a+b=1求a+12+“已知s2+t2=2求s+t的最大值(2)你说a+1是的，它们的解法本质是一样的，换元法本质是“整体思想”.用上换元法更容易找到解答思路.②本题还有其他的解法，可多思考体会下数学思维的魅力！【典题2】设a、b是正实数，且a+2b=2，则a2a+1+【解析】令a+1=s，2b+1=t，则a=s−1，2b=t−1；由题意得s,t为正实数，且s−1+t−1=2⇒s+t=4；∴a(以上纯是运算，没太大难度，作到这就相当于“已知s+t=4，求1s=1当且仅当s=t=2即a=1,b=1即a2a+1+【点拨】本题再次让你体验到换元法能把问题转化为更简单的形式，本题是分母“换元”，“宁愿分子复杂些，也想分母简单些”就这么朴素的想法！方法6不等式法【典题1】已知a,b∈(0,+∞)，且1+2ab=9a+b分析：1+2ab=9a+b相当是“关于ab与a+b的方程”，而由基本不等式a+b≥2ab又确定了“关于【解析】∵a,b∈(0,+∞)，∴a+b≥2ab由1+2ab=9a+b得ab=整理可得，a+b2解得1≤a+b≤8.【典题2】已知2a+b+2ab=3，a>0，b>0，则2a+b的取值范围是.【解析】∵a>0，b>0，∴0<2ab≤(2a+b)2(这要确定2ab与2a+b的关系，想法与上题相似，利用2ab与2a+b的等式关系与不等关系最终得到关于2a+b的不等式而3∴0<3−(2a+b)≤(2a+b∴2a+b的取值范围是[2,3)．巩固练习1(★★)已知a+b+c=2，则ab+bc+ca与2的比较．【答案】ab+bc+ca<2【解析】已知a+b+c=2，因为a+b+c2=a所以3(ab+bc+ca)≤4，解得ab+bc+ca≤4所以ab+bc+ca的值小于2．2(★★)已知x，y∈R+，若x+y+xy=8，则xy的最大值为【答案】2【解析】∵正数x，y满足x+y+xy=8，∴8－xy=x+y≥2xy，解得0<xy故xy≤4，当且仅当x=y=2时取等号．∴xy的最大值为(★★)若x，y∈R+，且3x+1y=5【答案】5【解析】∵x，y∈R∴3=13当且仅当xy=4yx，4(★★)函数y=x2+x−5x−2(x【答案】7【解析】令x－2=t，t>0；y=f(x)=(当且仅当t=1，即x=3时，等号成立)，故函数f(x)=x2+x−55(★★)已知实数a、b,ab>0，则aba2+b2+a【答案】16【解析】由于a2所以aba故：ab2ab+a26(★★)[多选题]下列说法正确的是()A．x+1x(x>0)的最小值是2 B．C．x2+5x2+4的最小值是2【答案】AB【解析】由基本不等式可知，x>0时，x+1x≥2，当且仅当x=1xB：x2+2x2+2C：x2+5x2+4=x因为y=t+1t在[2，+∞)上单调递增，当t=2时，取得最小值52D：2−(3x+4x)在故选：AB．7(★★★)[多选题]设a>0，b>0，且a+2b=4，则下列结论正确的是()A．1a+1b的最小值为2 B．C．1a+2b的最小值为9【答案】BC【解析】因为a>0，b>0，且a+2b=4，对于A，1a当且仅当a=42−4，b=4−22对于B，2a当且仅当a=2，b=1时取等号，故选项B正确；对于C，1a当且仅当a=43，b=对于D，当a=43，b=43时，a+2b=4故选：BC．8(★★★)若实数m，n>0，满足2m+n=1，以下选项中正确的有()A．mn的最小值为18 B．1m+C．2m+1+9n+2的最小值为5 【答案】D【解析】∵实数m，n>0，∴整理得：mn≤18，当且仅当n=12m=∵1m+当且仅当m=2−22n=2∵2m+n=1，∴∴2=1当且仅当m=0n=1时取“=“∴2m+1+∵2m+n=1∴1=∴4m2+n2≥故选：D．9(★★★)已知正实数a，b满足a+b=1，则2a2+1a+【答案】11【解析】正实数a，b满足a+b=1，则2a当且仅当ba=4ab且a+b=1即10(★★★)若正数x、y满足x+4y−xy=0，则4x+y的最大值为【答案】49【解析】∵正数x、y满足x+4y−xy=0∴y=xx−4∴4当且仅当x－4=4∴4x+y的最大值为11(★★★)已知0<a<1，则11−a+4a的最小值是【答案】9【解析】0<a<1，则=5+a12(★★★)已知a，b∈R，a+b=2，则1a2+1+【答案】2+1【解析】a，b∈R，则1=(a+b令t=ab－1=a(2－a)－1=－a－1则4−2(ab−1)(ab−1令4－2t=s(s≥4)，即t=4−s可得4−2tt由s+32当且仅当s=42，t=2－2可得4s+则1a2+113(★★★)若正数a，b满足1a+1b=1，则aa−1【答案】9【解析】∵正数a，b满足1a+1b1a+1b=∴(a－1)(b－1)=1，∴a－1=1∴a当且仅当1a−1=4(a－1)，即a=1±12时取“=”(由于∴aa−1+14(★★★★)已知实数a>0，b>－2，且满足2a+b=1，则2a2+1【答案】53【解析】∵实数a>0，b>－2，且满足2a+b=1，∴b+2>0，2a+(b+2)=3又∵2∴=－1+13(b+2a故答案为：5315(★★★★)已知x>0，y>0，则2xyx2+8y2【答案】23【解析】2xy=3(令t=xy+当且仅当x=2y时取等号，∵函数y=t+2∴y=t+2t∴y=t+∴3∴2xy