2022年人教版七年级下册数学第五章相交线与平行线单元教案及教学反思

第五章相交线与平行线

5.1相交线

5.1.1相交线

◊教学目标0

【知识与技能】

1.理解相交线、邻补角、对顶角的概念；

2.理解对顶角相等的性质.

【过程与方法】

经历动手画图、观察、推断、交流、归纳小结等数学活动，初步感受学习几何知识的方法,

培养学生的观察、转化、推理能力和数学语言规范表达能力.

【情感'态度与价值观】

通过对对顶角性质的研究，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.

◊教学重难点◊

【教学重点】

对顶角的性质.

【教学难点】

探究对顶角相等的性质.

◊教学过程◊

一、情境导入

同学们，你们见过芜湖长江二桥吗?这座独一无二的半飘浮体系钢箱梁斜拉桥，它的左右两

侧是由很多互相平行的横梁相连，倒Y型宝瓶型分散式双塔上分布着无数的斜拉链，给我们以相

交线的感觉.在日常生活中蕴涵着大量的相交线和平行线.从今天起，我们开始学习相交线与平

行线.这节课首先研究两条直线相交形成哪些角，这些角又具有何种特征.

二'合作探究

探究点1邻补角的概念及其性质

典例1已知直线AB与CD相交于点。,乙4。。=40°,。/平分NBOC,则NAOD=;Z

COF=;ZDOF=.

［解析］因为NAOC=40°,所以根据邻补角互补可得NAO£>=N3OC=140°,又因为。/平分N

BOC,所以NCOF=70°,所以NOOF=110°.

［答案］140°70°110°

归纳总结

有一条公共边，并且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.

变式训练〔如图，直线A8,CO相交于点。，作射线。瓦则图中邻补角有（）

A.4对B.6对C.7对D.8对

［答案］B

探究点2对顶角的概念及其性质

典例2如图所示,21和N2是对顶角的是（）

BCD

［解析］前三个图都只满足有公共的顶点，但不具备两个角的两边分别互为反向延长线.

「答案］D

归纳总结

如果两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两

个角互为对顶角.

变式训练如图,剪刀剪开纸张的过程，随着两个把手之间的夹角(NOOC)逐渐变小，剪刀刀刃

之间的夹角(NA08)相应，理由是.

［答案］变小对顶角相等

三、板书设计

相交线

1.两直线相交形成位置关系的角:邻补角和对顶角.

2.对顶角的性质:对顶角相等.

◊教学反思◊

本课时的重点内容是对顶角的性质.教科书从剪刀剪布片过程中角的变化来引出研究两条

相交直线所成的角的问题,如果把剪刀的构造看作是两条相交的直线，剪刀就构成了一个相交线

的模型，如果慢慢地握紧把手，两个把手之间的角度就会不断地变化，当然两条相交线所形成的

角也在不断地变化，但是这些角之间存在不变的位置关系，这样自然地引出了邻补角和对顶角的

概念.紧接着，结合图形，让学生根据“同角的补角相等''探究得出对顶角的性质，同时，要用文字语

言叙述这个说理过程，使学生明白由什么条件，根据什么道理,得出什么结果，让学生知道，这个过

程的每一步都要有根据,初步养成言之有据的习惯.

5.1.2垂线

◊教学目标^

【知识与技能】

1.理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；

2.理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离；

3.掌握垂线的两个性质:在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;连接直线

外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

【过程与方法】

经历观察、操作、探索、归纳、总结的过程，初步形成几何概念的认识方式和几何结论的

归纳方法.

【情感'态度与价值观】

体会探究的乐趣,能对感性认识到理性认识有初步的体验.

◊教学重难点◊

【教学重点】

垂线的定义及性质.

【教学难点】

垂线的画法.

◊教学过程◊

一、问题导入

如图,45是河岸，现要把河中的水引到农田P处，如何挖能使渠道最短?为什么？图中的比例

尺为1：100000,修水渠的费用是每米50元，问修水渠的最低费用是多少？

二'合作探究

探究点1垂线的相关概念

典例1如图，三条直线相交于点。.若CO，A8,N1=56°,则N2等于(

A.30°B.34°

C.450D.560

［解析］因为所以NBOC=90°，又因为N1+N3=/BOC,N1=56°，所以/3=34°，所以

Z2=Z3=34°.

［答案］B

归纳总结

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直

线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

变式训练|如图40,8。,。。_10瓦。/平分乙4。。,/40七=35°.

(1)求NC。。的度数；

(2)求NAOF的度数；

(3)你能找出图中有关角的等量关系吗?(写出3个即可)

［解析］(1)NCO0=NOOE+NEOC=NDOE+(NAOC-NAOE)=9O°+(90°-35°)=145°.

⑵NAO/7W/OOA=?NEOD-/AOE)=S(90°-35°)=27.5°.

(3)答案不唯一，如NAO8=NAOC,N8OO=NAO£,NAOO=NEOC.

探究点2垂线的性质及其应用

典例2如图，在一张透明的纸上画一条直线/,在I外任取一点Q并折出过点。且与/垂直的直

线.这样的直线能折出()

Q

---------------------------1

A.O条B.l条

C.2条D.3条

［解析］根据垂线的性质来判断，这样的直线只有一条.

［答案］B

【技巧点拨】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.也就是说,过一点画已知

直线的垂线,只能画一条.

变式训练如图，要把水渠中的水引到水池C,需在渠岸AB上开沟.在AB上的何处开沟可使水

池C到水渠的距离最短?请你在图中找到符合题意的开沟处。，并说明这样开沟距离最短的道

理

［解析］如图所示，过点C作CD_LAB,垂足为。，则点D就是符合题意的开沟处.理由是:垂线段

最短.

探究点3点到直线的距离

典例3如图，点P在直线AB外,在过点P的四条线段中表示点P到直线AB距离的是

()

A.线段PA的长B.线段PB的长

C.线段PC的长D.线段PD的长

［解析］由图知所以线段PD为垂线段,即线段PD的长可表示点P到直线AB的距离.

［答案］D

易错警示

点到直线的距离是从直线外一点向这条直线所作的垂线段的长度，它是一个数量概念，只能量出

或求出，而不能画出，画出的是垂线段,不是点到直线的距离.聂加画如图,AC_LBC,且

BC=5,AC=12,AB=13,则点A到BC的距离是，点B到AC的距离是，点B到点A

的距离是.

B

［答案］12513

三、板书设计

垂线

L垂直的定义；

2.垂直的表示方法；

3.垂线的画法；

4.垂线的两条性质；

5.点到直线的距离及其应用.

◊教学反思◊

垂线的概念不但是本节的重点,也是本章的重点之一.因为垂线是“图形与几何”领域的基础

知识,在以后的学习中要经常用至IJ.学好这部分内容的关键是使学生理解与相交线有关的角.垂

线的两条性质“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直''和"垂线段最短”,前一条性质是我们

过一点作已知直线的垂线的依据，后一条性质是解决一些实际问题的依据，需引起重视.

5.1.3同位角、内错角、同旁内角

◊教学目标0

【知识与技能】

1.了解同位角、内错角、同旁内角的概念；

2.在图形中识别同位角、内错角、同旁内角.

【过程与方法】

通过在图形中识别同位角、内错角、同旁内角,提高识图能力，体会分类的思想.

【情感'态度与价值观】

从两直线相交到两直线被第三条直线所截的变化过程，感受数学的发展与变化关系.

◊教学重难点◊

【教学重点】

同位角、内错角、同旁内角的概念.

【教学难点】

在具体图形中识别同位角、内错角和同旁内角.

◊教学过程◊

一、情境导入

风筝是由我国古代劳动人民发明的，它起源于春秋时期，至今已有两千多年.相传墨翟以木

头制成木鸟，是人类最早的风筝起源.后来鲁班用竹子改进墨翟的风筝材质，进而演变成为今日

的多线风筝.

观察图中风筝的骨架结构,它可以抽象成两条直线被第三条直线所截而构成.那么这两条直

线被第三条直线所截而构成的不同顶点的角可以分为几类?

二'合作探究

探究点同位角、内错角、同旁内角

典例如图所示，/是与/2的截线.找出N1的同位角，标上N2,找出N1的同旁内角，标上N3.下

列选项中为N1,N2,N3正确的位置图的是（

［解析］同位角位于截线的同侧,被截直线的同一方;同旁内角位于截线的同侧，且位于被截直线

之间.根据同位角和同旁内角的定义，只有C项正确.

［答案］C

【技巧点拨】判别同位角、内错角或同旁内角时，应从角两边入手,具有上述关系的角必有两边

在同一直线上，此直线为截线,而另外不在同一直线的两边，它们所在的直线为被截的两条直线.

变式训练|如图所示，内错角共有对;同位角共有对.

［答案］46

三'板书设计

同位角'内错角'同旁内角

1.同位角、内错角、同旁内角的概念;

2.识别同位角、内错角、同旁内角.

◊教学反思◊

本节课主要是学习同位角、内错角、同旁内角的概念，在研究了两条相交直线构成的角（对

顶角、邻补角）的基础上进一步探究平面上三条直线相交形成的不共顶点的角的位置关系，主要

有同位角、内错角、同旁内角.它是进一步学习平行线的判定和性质的必要准备.

5.2平行线及其判定

5.2.1平行线

◊教学目标0

【知识与技能】

1.了解平行线的概念，了解平面内两条直线的相交和平行的两种位置关系，知道平行公理以

及平行公理的推论；

2.会用符号语言表示平行公理的推论，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的

平行线.

【过程与方法】

经历动手操作、观察、归纳平行线的概念及平行公理的过程，提高观察归纳、动手操作、

空间想象及逻辑思维能力.

【情感'态度与价值观】

在解决实际问题的过程中让学生感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.

◊教学重难点◊

【教学重点】

平行公理及其推论.

【教学难点】

对平行线本质属性的理解.

◊教学过程◊

一、情境导入

在日常生活中，我们常常看到两条线段所在的直线没有公共点的现象，如条形码、双杠、铁

轨、电梯，等等.这样的两条直线称之为什么直线呢？

二、合作探究

探究点1平行线的概念

典例1在同一平面内，两条不重合直线的位置关系有()

A.平行或相交B.垂直或相交

C.垂直或平行D.平行、垂直或相交

［解析］在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系:平行和相交.

［答案］A

易错警示

垂直是相交的一种特殊情况.

变式训练|在同一平面内有三条互不重合的直线，它们交点的个数为.

［答案］0或1或2或3

探究点2平行公理及其推论

典例2探究猜想：

(1)平面内有三条直线仇c,若满足a//b,b//c,则a与c的位置关系为.

(2)平面内有四条直线。，"c",如果a〃@〃c,c〃4，那么a//d吗?为什么?

(3)平面内有n条直线…,/"，若八〃/2,/2〃/3,/3〃以…,/”一1〃加猜想这n条直线的位置关系.

［解析］(i)a//c.

(2)因为a//b,b〃c,所以a〃c,又因为c〃4所以a//d.

(3)这〃条直线都互相平行.

【技巧点拨】平行公理的推论是针对三条直线来说的,这个推论可以推广到n条直线.

变式训练;如图,在梯形ABCD中是AB的中点，过点P作AD的平行线交DC于点

Q.

⑴画出线段PQ『。与BC平行吗?为什么?

(2)测量DQ和CQ是否相等？

⑶通过测量判断49+3O2P。是否成立?

［解析］(1)线段PQ如图所示.P。与3C平行，理由如下:因为AO〃BC,「。〃AQ,

所以PQ〃BC(两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行).

AD

p，

B/-------------------------------Ac

⑵经测量DQ=CQ.

(3)经测量AD+BC=2PQ成立.

三'板书设计

平行线

1.平行线的概念及表示方法；

2.平行公理及推论.

◊教学反思◊

本课内容是后面平行线的性质和判定,进一步认识三角形、平行四边形、梯形等图形的特

征的基础.

本节课要充分利用现实世界中的实物模型，让学生直观感受，通过设置“观察”“讨论”等活动

来鼓励学生勤思考、多交流，培养学生的探索精神、应用意识以及创新能力.

5.2.2平行线的判定

◊教学目标^

【知识与技能】

1.理解平行线的判定方法；

2.能运用平行线的判定方法判断两直线是否平行.

【过程与方法】

经历平行线判定的探究过程，从中体会转化的思想和研究平行线判定的方法.

【情感'态度与价值观】

通过师生的共同活动，促使学生在学习活动中学会与人交流,提高学生的主动参与意识.

◊教学重难点◊

【教学重点】

直线平行的判定方法的应用.

【教学难点】

探索并掌握直线平行的判定方法.

◊教学过程◊

一、情境导入

装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条。与墙壁边缘所夹的角

为多少度时，才能使木条a与木条b平行？

二、合作探究

探究点1平行线的判定方法

典例1如图,不添加辅助线，请写出一个能判定EB//AC的条件:.

［解析］本题答案不唯一，由根据“同位角相等，两直线平行”可以得到EB〃AC;由

NEBA=NBAC,根据“内错角相等，两直线平行”可以得到EB〃AC;由NE3C+NACB=180°,根据

“同旁内角互补，两直线平行”可以得到EB//AC.

［答案］NE3O=NAG5或NEBA=NBAC或NE8C+NACB=180°（答案不唯一）

【技巧点拨】同位角相等、内错角相等、同旁内角互补都可以判定两直线平行.

变式训练|将两块含有45°角的直角三角板如图放置,AC8。在同一条直线上,写出图中所有

的平行线.

［答案］AE//BF,DF//CE

探究点2平行线判定方法的实际应用

典例2你能说出木工用图中的角尺画平行线的道理吗?（不少于两种说法）

［解析］道理是“同位角相等，两直线平行”或"同旁内角互补，两直线平行

【技巧点拨】在解决实际问题时,要先从实物抽象到几何图形，再运用所学几何知识解决问题.

变式训练|课堂上同学们正在讨论课本中的一道习题:如图，为了说明示意图中的平安大道与

长安街是互相平行的，在地图上量得Nl=90°,你能通过度量图中已标出的其他的角来验证这个

结论吗?说出你的理由.

长安街4丫,3

同学甲:度量N2的度数，若N2=90°，则满足Nl+N2=180°,根据，就可以验证

这个结论；

同学乙:度量/3的度数，若满足N3=N1=9O°,

根据，就可以验证这个结论；

同学丙:度量N5的度数，若满足N5=N1=9O°,

根据，就可以验证这个结论；

同学丁:度量/4的度数，若/4=90°,也能验证这个结论.

请你说明同学丁的理由.

［解析］同旁内角互补，两直线平行；

同位角相等,两直线平行；

内错角相等,两直线平行.

同学丁的理由:若N4=90°,由对顶角相等得N4=N2,可以得到Nl+N2=180°,根据“同旁内角

互补，两直线平行”，就可以验证这个结论.

三'板书设计

平行线的判定

1.同位角相等，两直线平行.

2.内错角相等，两直线平行.

3.同旁内角互补,两直线平行.

◊教学反思◊

本节课在探究平行线的判定定理时，先让学生动手操作，通过测量、观察等活动探究出同位

角、内错角、同旁内角有什么样的关系时，才能判定两直线平行.让学生自主探究,既能够加深学

生对知识的理解，追本溯源,又能够培养学生主动探究的意识和能力.

5.3平行线的性质

5.3.1平行线的性质

◊教学目标0

【知识与技能】

1.掌握平行线的三条性质；

2.运用平行线性质进行简单的推理和计算；

3.区分平行线的性质和判定，并能综合应用平行线的性质与判定.

【过程与方法】

经历观察、猜想、测量、推理等过程，进一步发展学生的推理能力和有条理表达的能力.

【情感'态度与价值观】

在自己独立思考的基础上，积极参与小组讨论，使学生体会从特殊到一般的数学思想.

◊教学重难点◊

【教学重点】

平行线的三条性质.

【教学难点】

区分平行线的性质与判定.

◊教学过程◊

一、情境导入

如图，两位自行车爱好者小红、小亮分别在两条平行的公路a,b上骑行，他们要去公路c上

的M处.猜一猜:图中N1,N2的大小关系如何？

二'合作探究

探究点1平行线的性质

典例1如图，已知N1=100°CD,则Z2=,N3=,N4=.

［解析］根据平行线的性质，由AB//CD可以得出N2=Nl=100°（两直线平行，内错角相等）;N

3=/1=100°（两直线平行，同位角相等）;N4+Nl=180°（两直线平行，同旁内角互补）.

［答案］100°100°80°

归纳总结

由两条直线平行可以得到:同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.

变式训练如图分别是AC,。尸上的点,N1=N2,NC=ND

⑴NAB。与NC相等吗?为什么？

（2）/4与//相等吗?请说明理由.

［解析］（1）NA8D与NC相等.

理由:•.•N1=N2,

...OB〃EC（内错角相等，两直线平行），

...N48D=NC（两直线平行洞位角相等）.

（2）NA与NF相等.

理由:由⑴知NA3O=NC.

又,：乙C=4D、

...N4BD=Nr＞（等量代换），

...。尸〃AC（内错角相等，两直线平行），

二NA=NF（两直线平行，内错角相等）.

探究点2平行线性质的实际应用

典例2如图,是一块梯形铁片的残余部分，量得NA=100°,NB=115°,则梯形的另外两个角分

别是多少度？

D...............——…一，C

1/

AB

［解析］因为梯形的上、下两底相互平行，即AB〃CD,

所以NA+ND=180°,ZB+ZC=180°,

于是NO=180°-ZA=180°-100°=80°,ZC=180°-ZB=180°-115°=65°.

所以梯形的另外两个角分别是80°,65°.

【技巧点拨】先找出所求的角与已知角之间存在何种关系,再根据梯形有一对边互相平行的性

质，得出已知角与未知角相等或互补，最后得出结论.

三'板书设计

平行线的性质

1.平行线的性质；

2.平行线的性质与判定的区别.

◊教学反思◊

本节课让学生通过猜测、测量、观察、动手操作，引导学生探究得出“两直线平行，同位角相

等''后，进一步让学生探究两直线平行时，内错角、同旁内角又有何关系.这样，既加深了学生对新

知识的理解，又培养了学生主动探究的意识和能力.

5.3.2命题、定理、证明

◊教学目标^

【知识与技能】

1.了解命题的概念和构成，并能区分命题的题设和结论；

2.知道什么是真命题和假命题.

【过程与方法】

通过命题的真假，培养分类意识;通过命题的构成,培养学生分析问题的能力;通过命题的构

成,培养语言推理技能.

【情感、态度与价值观】

通过学习命题的真假，培养学生尊重科学、实事求是的态度.

◊教学重难点◊

【教学重点】

命题的构成及命题的真假.

【教学难点】

用“如果……那么……”的句式表达的命题的“题设”和“结论

◊教学过程◊

一、情境导入

电脑播放河流的画面，并提出问题：

(1)如果B处水流受到污染，那么处水流便受到污染;

(2)如果C处水流受到污染，那么处水流便受到污染;

(3)如果D处水流受到污染，那么处水流便受到污染.

(4)上述三句话有什么共同特征?这样的语句称之为什么？

二'合作探究

探究点1命题的概念

一典例1下列语句不是命题的是（）

A.两条直线相交，只有一个交点

B.两点之间，线段最短

C.熊猫没有翅膀

D.连接A,B两点

［解析］选项D不符合命题的定义，不是判断性语句，所以不是命题.

［答案］D

【技巧点拨】判断一件事情的语句就是命题，没有判断一件事情，这句话就不是命题.

变式训练|下列命题:①两条直线平行，同旁内角互补;②同位角相等，两直线平行;③内错角相等,

两直线平行;④垂直于同一直线的两直线平行.其中是判断两直线平行的命题的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

［答案］C

探究点2命题的组成

＞一典例2命题“相等的两个角是对顶角”的题设和结论分别是什么？

［解析］题设是两个角相等,结论是这两个角是对顶角.

变式训缄把命题“垂直于同一直线的两直线平行”改写成"如果……那么……”的形式.

［解析］“如果两条直线都与同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行

探究点3命题的真假

J一典例3如图，直线AB,CD被直线EF所截，命题“若N1=N2,则MP〃NQ”是真命题吗?若

是真命题,请说明理由;若不是，请你再添加一个条件，使该命题成为真命题,并证明这个真命题.

［解析］命题为假命题.添加条件不唯一，如:NONE=NBME.

证明:；N1=N2,NDNE=ZBME,

/QNE=NPME,

.••MP〃NQ（同位角相等，两直线平行）.

变式训练I阅读后解答：

“同位角相等，两直线平行”“两直线平行，同位角相等”,这两个命题的题设和结论在命题中的位置

恰好对调,我们把其中一个命题叫做另一个命题的逆命题.

(1)“若则⑷=例"，这个命题的逆命题是.

逆命题的题设是.结论是，它是命题(填“真”或

“假”).

(2)请你自己写一组互逆的命题，要求两个命题都是真命题.

［解析］(1)若|3=依,则a=b,,\a\=\b\,,a=b-,^..

(2)答案不唯一，例:两直线平行,同位角相等;逆命题为同位角相等，两直线平行.

三'板书设计

命题、定理、证明

1.命题的概念；

2.命题的构成；

3.命题的真假.

◊教学反思◊

本节课主要是学习命题的概念、命题的构成、真假命题的判断、定理、初步感知证明过程.

其中正确找出命题的题设和结论是基础，特别是题设和