专题04 高一上期中考前必刷卷02（全解全析）2024-2025学年高一数学上学期期中考试（人教A版2019必修第一册）

第第页专题04高一上期中考前必刷卷02注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】并集的概念及运算【分析】利用并集的运算即可求解.【详解】.故选：B.2．使“”成立的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】判断命题的充分不必要条件、分式不等式【分析】先解分式不等式，求得解集，依题意，只需使选项的范围是该解集的真子集即得.【详解】由，得，解得，则选项中的的范围组成的集合是的真子集，由选项知，选项均不满足，选项B满足.故使“”成立的一个充分不必要条件可以是“”.故选：B.3．已知，若的解集为，则函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【知识点】函数对称性的应用、函数图像的识别【分析】根据已知函数的解集，再结合函数关于y轴对称得出图象.【详解】由的解集为，可知函数的大致图象为选项D中的图象，又函数与的图象关于y轴对称,可得出图象为C选项.故选:C．4．已知函数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】求函数值【分析】根据题意分别令、和，运算求解即可.【详解】因为，令，可得；令，可得；两式相加可得，令，可得；则，即.故选：D.5．在上定义运算“”：，则满足的实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】解不含参数的一元二次不等式【分析】根据规定的新定义运算法则化简不等式，然后直接求解一元二次不等式就可以得到正确答案【详解】根据给出在上定义运算，由得，解之得，故该不等式的解集是．故选：B6．定义在上的奇函数满足，当时，，当时，.不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的应用【分析】由奇函数的定义可得，根据已知条件确定函数在不同区间的符号，通过不等式性质解不等式可得所求解集.【详解】由奇函数的定义可得，当时，则，，当时，则，，由或，根据分析可得解集为.故选：C7．已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可.【详解】对任意，当时都有成立，所以函数在上是增函数，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.8．已知为正实数，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】把化简为为，然后利用基本不等式即可求出最小值【详解】因为，则，由于，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围可能是（）A． B．C． D．【答案】BCD【知识点】含有一个量词的命题的否定的应用【分析】先根据命题是假命题得到对应的真命题，然后利用判别式完成计算，从而确定出的可能范围.【详解】因为命题是假命题，所以可知“,”为真命题，所以，所以，又因为“”可以推出“”，“”可以推出“”，故选：BCD.10．下列说法中，正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】BCD【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可.【详解】对于A，若，则，故A错误；对于B，可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确；对于C，利用作差法知，由，，知，即，故C正确；对于D，由，知，由不等式同向可加性的性质知D正确.故选：BCD11．已知函数的定义域为，若，且在上单调递增，，则（

）A． B．C．是奇函数 D．【答案】ABD【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的定义与判断、求函数值【分析】根据给定条件，结合赋值法计算判断ABC；结合选项C的结论，分段探讨的取值情况判断D.【详解】对于A，令，得，则，由在上单调递增，得不恒为1，因此，A正确；对于B，令，得，则，而，因此，B正确；对于C，，取，则，即有，因此函数是偶函数，又时，，则函数不是奇函数，C错误；对于D，，令，则，当时，；当时，，，，因此，当时，，，所以，D正确.故选：ABD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数的最大值与最小值的差为.【答案】【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交并补混合运算【分析】根据阴影部分进行分类讨论，由此求得正确答案.【详解】阴影部分表示，若，真子集有个.若，真子集有个.所以真子集个数的最大值与最小值的差为.故答案为：13．函数，，若，使成立，则的取值范围是．【答案】【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值【分析】根据一次函数以及二次函数单调性分别求得两函数值域，再根据题意得出两值域的包含关系即可得出的取值范围.【详解】由以及可得；再由以及可得；若，使成立可得，即，解得；又，因此的取值范围是.故答案为：14．记为两数的最大值，当正数变化时，的最小值为．【答案】4【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】根据题意分析可得，结合基本不等式运算求解，注意等号成立的条件.【详解】由题意可知：，且，则，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当，即时，等号成立，且，当且仅当，即时，等号成立，综上所述：当时，可得，即，此时，所以的最小值为4.故答案为：4.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知集合.（1）若中没有元素，求实数的取值集合；（2）若中只有一个元素，求实数的取值集合.【答案】（1）；（2）.【知识点】根据集合中元素的个数求参数【分析】（1）分和两种情况讨论，当时，由一元二次方程中根的判别式建立不等式解之可得答案.（2）分和两种情况讨论，当时，由一元二次方程中根的判别式建立方程解之可求得实数的取值集合.【详解】（1）对于方程，若，则，不合题意，故，此时方程是关于的一元二次方程.集合中没有元素，则，即.所以实数的取值集合为.（2）对于方程，若，则，符合题意；若，方程是关于的一元二次方程.中只有一个元素，即，即.综上，实数的取值集合为.16．（15分）函数是定义在上的奇函数，且.(1)求的解析式；(2)判断并证明的单调性；【答案】(1)(2)为增函数，证明见解析【知识点】由奇偶性求参数、由奇偶性求函数解析式、定义法判断或证明函数的单调性【分析】（1）根据函数奇偶性及已知条件代入即可求出未知参量，从而得出.（2）先下结论，再根据单调性的定义法判断的单调性.【详解】（1）由题函数是定义在上的奇函数，所以，解得，又由，得，解得，所以，则定义域为，且，所以.（2）在区间上为增函数.证明如下：设，则，由，得，即，，，所以，即，所以函数在上单调递增.17．（15分）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为．(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低?(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围．【答案】(1)长度为4米时，报价最低(2)【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解；（2）由（1）可知，转化为不等式恒成立，参变分离后，转化为求最值的问题.【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（），则屋子前面新建墙体长为，则即，当且仅当，即时，等号成立，故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元；（2）由题意可知，当对任意的恒成立，即，所以，即，，当，，即时，的最小值为12，即，所以的取值范围是.18．（17分）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，．(1)证明：函数是奇函数；(2)证明：在上是增函数；(3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【知识点】函数不等式恒成立问题、函数奇偶性的定义与判断、利用函数单调性求最值或值域、定义法判断或证明函数的单调性【分析】（1）令可得，再令，结合奇函数定义，即可证明；（2）设任意且，作差，结合条件赋值法可证明，再结合奇函数性质，即可得证；（3）可转化为即，结合性质所证明性质求出，再主元变换解决关于的函数恒成立问题，列出不等式组求解即可.【详解】（1）令，得，，，令，，，所以函数是奇函数；（2）设任意且，由题意，，又由（1）是奇函数，得，，，已知当时，，从而有，故，即，在上单调递增，根据奇函数的性质可知在上也单调递增，故在上是增函数；（3）对任意恒成立，即，由（2）得，在上是增函数，所以当时，，又（1）可知，函数是奇函数，则，即.所以对任意恒成立，设，，要使恒成立，则，即，解得或，所以实数的取值范围是．19．（17分）若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值在上的取值范围是（m是常数），则称函数具有性质M．(1)当时，函数是否具有性质M？若具有，求出区间；若不具有，说明理由；(2)若定义在上的函数具有性质M，求m的取值范围．（本题中函数的单调性不必给出证明）【答案】(1)在区间上具有性质M(2)．【知识点】函数与方程的综合应用、利用函数单调性求最值或值域【分析】（1）首先求出函数的定义域与单调性，根据题意，解得即可;（2）分为和两